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文檔簡介

2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題

1.設(shè)集合M={H0vxv4},N=.1;《冗《5卜則MP1N=()

1,

A.<xO<x<—?B.<x-<x<4>

33

C.{A|4<X<5}D.1x|O<x<5}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集定義運算即可

【詳解】因為M={x|0vxv4},N={jd』VxV5},所以"cN=Wx<4?,

3I3.

故選:B.

【點睛】本題考查集合的運算,屬基礎(chǔ)題,在高考中要求不高,掌握集合的交并補的基本概念即可求解.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)比頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率,即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)

的頻率,然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值,也就是總體平均值的估計值,計算后即可判定C.

【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可

作為息體的相應(yīng)比率的估計值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確:

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為

3x0.02+4x0.044-5x0.10+6x0.14+7x0.204-8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(萬元),超

過6.5萬元,故C錯誤.

綜上,給出結(jié)論中不正確的是C.

故選:C.

【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值,屬基礎(chǔ)題,樣本的頻率可作為總體的頻率

的估計值,樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值,可以作為總體的平均

頻率

值的估計值.注意各組的頻率等于X組距.

3.已知(1—i)2z=3+2i,則2=()

3333

A.-1--zB.-1+—fC.——+zD.------i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得z=—根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則,即可求解..

-2i

【詳解】(l-i)2z=-2iz=3+2i,

3+2/(3+2/)-/-2+3,?3.

z=------=------------=---------=-1+-/.

-2i-2ii22

故選:B.

4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù),,五分記錄法的數(shù)據(jù)/和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)/的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()(啊BI.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】

分析】根據(jù)關(guān)系,當(dāng)L=4.9時,求出IgV,再用指數(shù)表示丫,即可求解.

【詳解】由L=5+lgV,當(dāng)L=4.9時,lgV=-0.1,

]11

則丫=10°」=107=」*-----a0.8.

胸1.259

故選:C.

5.已知小"是雙曲線c的兩個焦點,夕為c上一點,且/片『g=60。,仍用=3儼q,則c的離心率為

()

A.—B.—C.近D.V13

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件,表示出|「娟,|產(chǎn)鳥|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因為|尸用=3|刊訃由雙曲線的定義可得|尸周一|尸園=2|尸周二2,

所以|P閭=〃"尸制=3a;

因為=60。,由余弦定理可得4c2=9?2+a2-2x3i?^cos60°,

整理可得4。2=7/,所以/=£.=1,即e=立.

a242

故選:A

【點睛】關(guān)鍵點睛:雙曲線的定義是入手點,利用余弦定理建立?C間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

6.在一個正方體中,過頂點力的三條棱的中點分別為區(qū)F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,所得多

面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖,結(jié)合直觀圖進行判斷.

【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖,如圖所示,

故選:D

7.等比數(shù)列{4}的公比為6前〃項和為S”,設(shè)甲:q>0,乙:{5〃}是遞增數(shù)列,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

-B

【解析】

【分析】當(dāng)4>0時,通過舉反例說明甲不是乙的充分條件;當(dāng){s,}是遞增數(shù)列時,必有4>0成立即可

說明q>0成立,則甲是乙的必要條件,即可選出答案.

【詳解】由題,當(dāng)數(shù)列-2,-4,-8,???時,滿足q>0,

但是⑸}不是遞增數(shù)列,所以甲不是乙的充分條件.

若{SJ是遞增數(shù)列,則必有%>0成立,若鄉(xiāng)>0不成立,則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況,是矛盾的,則4>0

成立,所以甲是乙的必要條件.

故選:B.

【點睛】在不成立的情況下,我們可以通過舉反例說明,但是在成立的情況下,我們必須要給予其證明過

程.

8.2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量

法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測星法的一個示意圖,現(xiàn)有4B,C三點,且46,C在同

一水平面上的投影滿足NACg=45。,NA'BV=60。.由。點測得3點的仰角為15。,BB'與

CC的差為100;由8點測得4點的仰角為45。,則4C兩點到水平面48C'的高度差A(yù)A—CC約為

(V3?1.732)()

C.446D.473

【答案】B

【解析】

【分析】通過做輔助線,將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中,借助正弦定理,求得48',進而得到答案.

A

詳解】

過C作CH_L33',過8作班)J_AA',

故CC=8")=AV-89+100=AD+100,

由題,易知△4)8為等腰直角三角形,所以A£)=OB.

所以A4」CC'=03+100=A'3'+100.

inn

因為N5C”=15。,所以C〃=C'8'=------

tan15°

在“TB'。中,由正弦定理得:

45'_CE_100_100

sin450-sin75°-tanl50cosl5°.sin15°'

而sin150=sin(45°-30°)=sin450cos30°-cos450sin30°=瓜心

100x4x—

朋以A'3'=—=-=2-=100(X/3+1)?273,

V6-V2

所以A4:CC'=AB+100p373.

故選:B.

【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為⑷9+100

(八乃、ccosa

9.若aw0,—Ltan2a=-——;——,貝]tana=()

I2J2-sina

A.姮B.叵C.如D.巫

15533

【答案】A

【解析】

qin2a2sinotcosciI

【分析】由二倍角公式可得tan2a-再結(jié)合已知可求得sina二二,利用同角三

cos2al-2sm-af4

角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

ccosa

(詳解】?/tan2a=-------

2-sina

_sin2a2sinacosacosa

tan2a=------=--------——=-------,

cos2al-2sin~a2-sina

ae(0,cosaw0,——=---!----,解得sina=~,

12)l-、2‘s訪i:n2a2-sina4

A—r-;-V15sinaV15

cosa=VI-sina=---,tana-----=-----

4cosa15

故選:A.

【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查三角函數(shù)的化簡問題,解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sina.

10.將4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為()

1224

A.-B.-C.-D.一

3535

【答窠】C

【解析】

【分析】采用插空法,4個1產(chǎn)生5個空,分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.

【詳解】將4個1和2個。隨機排成一行,可利用插空法,4個1產(chǎn)生5個空,

若2個0相鄰,則有C;=5種排法,若2個。不相鄰,則有C;=10種排法,

所以2個0不相鄰的概率為一二二].

5+103

故選:C.

11.已如兒B,。是半徑為1的球。的球面上的三個點,且AC_LBC,4C=8C=1,則三棱錐O-ABC

的體積為()

A應(yīng)R6c近n6

A.--D.C.D.

121244

【答案】A

【解析】

【分析】由題可得△A6C為等腰直角三角形,得出△A6C外接圓的半徑,則可求得0到平面4BC的距

離,進而求得體積.

【詳解】.?△ABC為等腰直角三角形,=夜,

則△力外接圓的半徑為變,又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面ABC的距離為d,

所以%1SA"?d=LX,X1X1X—=--

332212

故選:A.

【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查球內(nèi)幾何體問題,解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面

距離的勾股關(guān)系求解.

12.設(shè)函數(shù)/(/)的定義域為R,〃x+l)為奇函數(shù),,f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)xe[L2]時,

,、,(9

f(x)=ax2+b.若/(0)+/⑶=6,則/-=()

\/

-27

BC.-D

4-"141

【答案】D

【解析】

【分析】通過/(x+1)是奇函數(shù)和/(戈+2)是偶函數(shù)條件,可以確定出函數(shù)解析式/(工)=-2爐+2,進

而利用定義或周期性結(jié)論,即可得到答案.

【詳解】因為/(工+1)是奇函數(shù),所以/(一1+1)=-/(工+1)①;

因為/(x+2)是偶函數(shù),所以f(x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得:/(0)=—/(2)=-(4〃+〃),由②得:/(3)=/(1)=〃+〃,

因為/(0)+/(3)=6,所以一(4a+b)+a+力=6=a=-2,

令1=0,由①得:/(1)=—/(l)=/(l)=0=b=2,所以/(x)=_2f+2.

思路一:從定義入手.

一噌卜一嗎

所以喧H圖二|

思路二:從周期性入手

由兩個對稱性可知,函數(shù)/(X)的周期7=4.

所以尼卜噌卜/圖惠

故選:D.

【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候,我們通??梢越柚恍┒壗Y(jié)論,求出其周期性進而達到簡便計

算的效果.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.曲線y二一二在點(-1,-3)處的切線方程為__________.

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】

【分析】先驗證點在曲線上,再求導(dǎo),代入切線方程公式即可.

【詳解】由題,當(dāng)x=T時,y=-3,故點在曲線上.

2(x+2)—(2x—1)5

求導(dǎo)得:y'

(x+2)2-(x+2)2所以y'l.v=-i=5.

故切線方程為5x—y+2=O.

故答案為:5x-y+2=0.

14.已知向量5=(3,1)石=(1,0),2=£+攵尻若Z_L",則4=_______.

…小10

【答案】一二■.

3

【解析】

【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量乙的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為零求得2的值

【詳解】,.?5=(3,l),^=(l,0),..c=a+^=(3+A:,l),

-.-alc,.*.?^c=3(3+A:)+lxl=0,解得出二一號,

故答案為:一不~.

3

【點睛】本題考杳平面向量的坐標(biāo)運算,平面向量垂直的條件,屬基礎(chǔ)題,利用平面向量

萬=(%,y)%=(乙,%)垂直的充分必要條件是其數(shù)量積X\X2+)'l)'2=°?

22

15.已知耳,鳥為橢圓G粉+?=1兩個焦點,月0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且|PQ|二忸閭,

則四邊形尸耳。鳥的面積為

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)己知可得26設(shè)1尸61=皿1尸61=〃,利用勾股定理結(jié)合根+〃=8,求出機〃,四

邊形尸片。K面積等于根〃,即可求解.

【詳解】因為尸,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,

且IPQH4入I,所以四邊形尸:Q4為矩形,

設(shè)|PFt|=m,\PF2\=n,則/+〃=8,+〃2=4§,

所以64=(加+〃)2=W2+2mn+/?2=48+2mn,

〃仞=8,即四邊形尸用2鳥面積等于8.

故答案:8.

16.已知函數(shù)/(x)=2cos(〃沈+9)的部分圖像如圖所示,則滿足條件

/(笛-/卜子))/(%)-/(與)>0的最小正整數(shù)X為_______?

【解析】

【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)/(X)的解析式,再求出/(-一),/(一)的值,然后求解三角不等式可得最小

43

正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.

【詳解】由圖可知37二四一二二型,^T=—=7T,所以口=2;

41234co

由五點法可得2xf+e=],即°=一2;

326

所以『(X)=2cos(2x—看).

「、,£,7兀、.(11兀、.幾、_/5兀、八

因為/(--)=2cosl---1=1,/(y)=2cosly1=0;

7TC47t

所以由(/(x)-/(-y))(/(x)-/(y))>0可得/?>1或f(x)<0;

因為7(1)=2cos(2<2cosf———=1,所以,

\6/\26/

方法一:結(jié)合圖形可知,最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(x)<。,即cos(2x-m)<0,

解得女兀+色<X<人兀+變,ZEZ,令人二0,可得巳<彳〈區(qū),

3636

可得X的最小正整數(shù)為2.

方法二:結(jié)合圖形可知,最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(幻<0,又f(2)=2cos(4-^|<0,符合題意,可得x的

最小正整數(shù)為2.

故答案為:2.

【點睛】關(guān)鍵點睛:根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵,根據(jù)周期求解。,根據(jù)特殊點求解心

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出交字說明、證明過程或演算步驟,第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分.

17.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量,分

別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(++c)(b+d)

P(K、k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)75%;60%;

(2)能.

【解析】

【分析】本題考查頻率統(tǒng)計和獨立性檢驗,屬基礎(chǔ)題,根據(jù)給出公式計算即可

【詳解】(1)甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為埋=75%,

200

120

乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為一=60%.

200

2

40()(150x80-120x50)=400>10>6,635>

⑵K2=

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.已知數(shù)列{〃”}的各項均為正數(shù),記S”為{q}的前〃項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另

外一個成立.

①數(shù)列{q}是等差數(shù)列:②數(shù)列{瘋}是等差數(shù)列;③生二34.

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】選①②作條件證明③時,可設(shè)出底,結(jié)合凡,S”的關(guān)系求出4,利用{4}是等差數(shù)列可證

%=3。1;

選①③作條件證明②時,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出瘋,結(jié)合等差數(shù)列定義可證;

選②③作條件證明①時,設(shè)出瘋=m+b,結(jié)合凡,S”的關(guān)系求出根據(jù)〃2=3《可求人然后可證{《J

是等差數(shù)列.

【詳解】選①②作條件證明③:

設(shè)y[s^t=an+b[a>0),則Sn=(〃〃+/?『,

2

當(dāng)〃=1時,aA==(a+Z?);

22

當(dāng)〃22時,atl=Sn-Sn_}=(?/?+Z?)-(az?-a+Z?)=a(2an-a+2b);

因為{qj也是等差數(shù)列,所以(々4b)2=a(2〃_a+2£>),解得b=0:

所以=々2(2〃-1),所以〃2=3q.

選①③作條件證明②:

因為出=3%,{4}是等差數(shù)列,

所以公差d=a2-a1=2《,

2

所以5”=Id=na],即y[S^t=?

因為7^7一底=日(〃+1)一師2=8,

所以{£}是等差數(shù)列?

選②③作條件證明①:

設(shè)伙。>0),則5〃=(〃〃+/?『,

當(dāng)〃=1時,q=£=(a+Z?)2;

22

當(dāng)〃22時,an-Sn-Sn_t=(an+Z?)-(an-a+Z?)=a(2an-a-\-2b);

因為出=3q,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得匕=0或〃=一與;

當(dāng)人=0時,4=/,4=/(2〃_1),當(dāng)〃之2時,a,f“=2/滿足等差數(shù)列的定義,此時{%}為等差

數(shù)列;

當(dāng)人=一當(dāng)時,y[s^=an+b=an-^at廓=一]<0不合題意,舍去.

綜上可知{〃“}為等差數(shù)列.

【點睛】這類題型在解答題中較為罕見,求解的關(guān)鍵是牢牢抓住己知條件,結(jié)合相關(guān)公式,逐步推演,等

差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法.

19.已知直三棱柱ABC-A由G中,側(cè)面44田田為正方形,AB=8C=2,£,尸分別為AC和Cq的中

點,〃為棱A片上的點.BF±A.B.

(1)證明:BFA.DE;

(2)當(dāng)耳。為何值時,面BBC。與面。尸石所成的二面角的正弦值最?。?/p>

【答案】(1)見解析;(2)BQJ

2

【解析】

【分析】通過已知條件,確定三條互相垂直的直線,建立合適的空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量證明線線

垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大,進而可以確定出答案.

【詳解】因為三棱柱48C—4MG是直三棱柱,所以BgJ.底面A8C,所以BgJLAB

因為AB'/AB,BF1,所以

又BB、cBF=B,所以平面BCCM.

所以用兩兩垂直.

以4為坐標(biāo)原點,分別以8ABe,8片所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.

所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),g(0,0,2),A(2,0,2),G(0,2,2),

E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設(shè)。(〃,0,2)(OVa?2).

(1)因為游=(0,2,1),詼=(1一。,1,一2),

所以游?詼=0x(l—a)+2xl+lx(-2)=0,所以

(2)設(shè)平面。氏E的法向量為〃?=(x,y,

因為麗=(-1,1,1),詼=(1-41,一2),

mEF=0-x+y+z=0

所以一,即《

tfi-DE=0(l-tz)x+y-2z=0

令z=2-。,則歷=(3/+。,2—。)

因為平面8CG用的法向量為麗=(2,0,0),

設(shè)平面BCC.B,與平面DEF的二面角的平面角為J,

,小眄?明6

3

則cos。=彳|1=——I,

|m|-|BA|2xV2a2-2?+14/2〃2-2。+14?

i27

當(dāng)〃二不時,2/一20+4取最小值為二

22

3_>/6

此時cos。取最大值為(27-3.

vT

所以(sin。),=

\/mm

此時打。一

【點睛】本題考查空間向量的相關(guān)計算,能夠根據(jù)題意設(shè)出。(。,0,2)(0WQK2),在第二問中通過余弦

值最大,找到正弦值最小是關(guān)鍵一步.

20.拋物線。的頂點為坐標(biāo)原點0.焦點在x軸上,直線/:x=l交C于凡。兩點,且。尸_LOQ.已知

點M(2,0),且OM與/相切.

(1)求乙0M的方程;

(2)設(shè)A,&,4是C上的三個點,直線A4,A4均與0M相切.判斷直線44與0M的位置關(guān)系,

并說明理由.

【答窠】(1)拋物線C:y2=x,0M方程為(x-2>+y2=i;(2)相切,理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知拋物線與4=1相交,可得出拋物線開口向右,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用對稱性設(shè)出P,。

坐標(biāo),由OPJ_OQ,即可求出P;由圓M與直線x=l相切,求出半徑,即可得出結(jié)論;

(2)先考慮A4斜率不存在,根據(jù)對稱性,即可得出結(jié)論;若斜率存在,由a,4三

點在拋物線上,將直線A4,A4,A24斜率分別用縱坐標(biāo)表示,再由44,與圓M相切,得出

%+丫3,%,為與乂的關(guān)系,最后求出M點到直線A2%的距離,即可得出垢論.

【詳解】(1)依顆意設(shè)拋物線C:y2=2px(〃>0),P(l,yo),Q(L—yo),

-OP.LOQ,.\OPOQ=\-yl=l-2p=0,:.2p=\,

所以拋物線C的方程為V=x,

M(0,2),OM與工=1相切,所以半徑為

所以0M的方程為(x—2)2+V=1;

(2)設(shè)4(修,),4(工2,必),413,)’3)

若44斜率不存在,則44方程為x=i或x=3,

若A4方程為1=1,根據(jù)對稱性不妨設(shè)A。,1),

則過A與圓M相切的另一條直線方程為y=L

此時該直線與拋物線只有一個交點,即不存在人,,不合題意;

若A4方程為%=3,根據(jù)對稱性不妨設(shè)A(3,△),4(3,-6),

則過A與圓M相切的直線AA為y—J5=¥*—3),

又Z--1—1

大一天y+必,3+、33

W=0,4(0,0),此時直線AA,44關(guān)于x軸對稱,

所以直線44與圓M相切;

若直線A4,AA3,斜率均存在,

,111

貝|J鼠4=-7-~7~,鼠人=---,

X+必H+必必+%

所以直線44方程為丁一乂=了干(工一辦),

整理得不一(凹十%”+%%二°,

同理直線A4的方程為x-(y+%)>+y[%=°,

直線44的方程為x-(y2+y3)y+y2y}=0,

|2+必必1i

與圓加相切'飛+9廣

整理得(犬-1)£+2yM+3-^=0,

AA與圓M相切,同理(y;-Dy;+2y%+3-y;=o

所以為,為為方程(寸-1)丁+2凹〉+3-犬=。的兩根,

2M3-x

%+曠3二--

Ji-1XT

M到直線44的距離為:

42+必為1.才-1

>/1+(%+%)2Jl+(一『7

…L舊十1一8+!-1

J(y:-l)2+4y;W+1

所以直線A2%與圓M相切;

綜上若直線44,44與圓M相切,則直線Azd與圓M相切.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:(1)過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))表示,將問題轉(zhuǎn)化為

只與縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))有關(guān);(2)要充分利用的對稱性,抽象出>2+)'3,%?丁3與耳關(guān)系,把

%,%的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用),i表示.

Xa

21.已知。>0且awl,函數(shù)/(X)==(%>()).

(1)當(dāng)4=2時,求/(力的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.

(22

【答案】(1)0,一上單調(diào)遞增;--,+00上單調(diào)遞減;(2)(l,e)D(e,+x)).

Iln2ln2

【解析】

【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性;

(2)利用指數(shù)對數(shù)的運算法則,可以將曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程

乎二等有兩個不同的實數(shù)根,即曲線y=g(x)與直線》=焉有兩個交點,利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的

單調(diào)性,并結(jié)合g(x)的正負(fù),零點和極限值分析g(x)的圖象,進而得到0<W<L發(fā)現(xiàn)這正好是

ae

。<g(〃)<g(e),然后根據(jù)g(力的圖象和單調(diào)性得到。的取值范圍.

、%2x222、-f?2、In222'(2-xln2)

【詳解】(1)當(dāng)。=2時,f(x)=^J(x)=-------廠手-------=-------/-------,

2(2")4

,229

令/'(力=。得二,當(dāng)。<不<不二時,當(dāng)“>不二時'f(x)<。,

m2m2m2

/21「2、

???函數(shù)在0,丁大上單調(diào)遞增;丁不小上單調(diào)遞減;

7Iln2ln2J

(2)=m=oxina=alnx=電^=^q,設(shè)函數(shù)g(x)Inx

x

貝Ug'(x)=M^,令g'(x)=。,得x",

X

在(0,。內(nèi)g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

??g")〃s=g(e)=j

又g(l)=。,當(dāng)x趨近于+00時,g(x)趨近于0,

所以曲線y=/(X)與直線y=l有且僅有兩個交點,即曲線y=g(x)與直線丁=扁有兩個交點的充分必

要條件是0〈吆<L這即是Ovg(〃)<g(e),

ae

所以a的取值范圍是乂0,+oo).

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題,屬較

難試題,關(guān)鍵是將問題進行等價轉(zhuǎn)化,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,圖象,

利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第

一題計分.

[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

22.在直角坐標(biāo)系xQy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線。的極坐標(biāo)方程為

p=2>f2cos0.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點力的直角坐標(biāo)為(1,0),附為。上的動點,點2滿足而=夜而,寫出尸的軌跡G的參數(shù)方程,

并判斷C與G是否有公共點.

【答窠】⑴(X-V2)2+/=2;⑵P的軌跡G的參數(shù)方程為「(。為參數(shù)),,與

G沒有公共點.

【解析】

【分析】(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為p2=2&0cos。,將X=pcos6,y=psin。代入可得;

(2)設(shè)P(x,y),設(shè)M(夜+J^cos。,、歷sin。),根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡G的參數(shù)方程,求出

兩圓圓心距,和半徑之差比較可得.

【詳解】(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程0=2播cos??傻谩?=2⑦cos。,

將x=pcosay=psin。代入可得f+V=2后,即卜一夜丫+丁=2,

即曲線。的直角坐標(biāo)方程為[一Ji)?+),2=2;

(2)設(shè)尸(x,y),設(shè)M(夜+0cos6,夜sin。)

AP=y/2AM

(x-1,y)=A/2(5/2+5/2cos6-1,&sin6)=(2+2cos0-2sin6),

x-l=2+2cos6-&口(x=3-&+2cos6

則tI〈,即〈,

y=2sin。[y=2sin。

故尸的軌跡G的參數(shù)方程為,入一3-夜+2cos'(6為參數(shù))

y=2sin。

???曲線C的圓心為(J5,o),半徑為正,曲線G的圓心為(3-收,0),半徑為2,

貝IJ圓心距為3—2加,???3—2亞<2—0,???兩圓內(nèi)含,

故曲線C與&沒有公共點.

【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查參數(shù)方程的求解,解題的關(guān)鍵是設(shè)出M的參數(shù)坐標(biāo),利用向量關(guān)系求解.

[選修4-5:不等式選講](10分)

23.已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3]—|2x-1|.

(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像;

(2)若f(x+a)Ng(x),求a的取值范圍.

【答案】(1)圖像見解析;(2)aN?

2

【解析】

【分析】(1)分段去絕對值即可畫出圖像;

(2)根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將y=/(x)向左平移可滿足同角,求得y=/(x+。)過時。

的值可求.

2-x,x<2

【詳解】(1)可得f(x)=|x—2|=?cc,畫出圖像如下:

x-2,x>2

畫出函數(shù)圖像如下:

y

(2)f(x+a)=\x+a-2\t

如圖,在同一個坐標(biāo)系里畫出/(x),g(R)圖像,

y=/(x+〃)是y=f(x)平移了|/i|個單位得到,

則要使f(%+a)Ng(x),需將y=/(x)向左平移,即4>0,

f1AiiI

當(dāng)y=/(x+〃)過4彳,4時,|-+?-2|=4,解得。=不或一-(舍去),

/222

則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=/(x)向左平移日?個單位,a2U

【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查絕對值不等式的恒成立問題,解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.

2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題

1.設(shè)集合M={H0vxv4},N=.1;《冗《5卜則MP1N=()

1,

A.<xO<x<—?B.<x-<x<4>

33

C.{x|4Kx<5}D.1x|O<x<5|

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.已知(l—i)2z=3+2i,則2=()

4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)£和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù),的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()(而?1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知月,鳥是雙曲線C的兩個焦點,尸為C上一點,且/£尸鳥=60。,|班|=3歸用,則。的離心率為

()

A.—B.—C.J7D.屈

22

6.在一個正方體中,過頂點/!的三條棱的中點分別為區(qū)F,G.該正方體截去三棱錐A-瓦G后,所得多

面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

7.等比數(shù)列{4;}的公比為s前〃項和為S“,設(shè)甲:4>0,乙:{'}是遞增數(shù)列,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量

法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現(xiàn)有力,B,C三點,且4B,。在同

一水平面上的投影A,8',C'滿足NAC8=45。,ZA^C=60°.由C點測得3點的仰角為15。,BB'與

CC”勺差為100;由8點測得力點的仰角為45。,則4。兩點到水平面A8C的高度差A(yù)A'-CC約為

(1.732)()

A

A.345B.373C.446D.473

"乃、"cosa…

9.若0,Ltan2a=.,P!Jtana-()

<2)2-sma

岳R有「小叵

A.----D.L.D.

15---------------------5-----------------------33

10.招4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為()

1224

A.B.-C.D.

3535

11.已如4B,。是半徑為1的球0的球面上的三個點,且AC_L8cAe=BC=則三棱錐O—ABC

的體積為()

BC

A.也得近

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