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文檔簡介
2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題
1.設(shè)集合M={H0vxv4},N=.1;《冗《5卜則MP1N=()
1,
A.<xO<x<—?B.<x-<x<4>
33
C.{A|4<X<5}D.1x|O<x<5}
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集定義運算即可
【詳解】因為M={x|0vxv4},N={jd』VxV5},所以"cN=Wx<4?,
3I3.
故選:B.
【點睛】本題考查集合的運算,屬基礎(chǔ)題,在高考中要求不高,掌握集合的交并補的基本概念即可求解.
2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得
根據(jù)比頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()
A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%
B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%
C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【答案】c
【解析】
【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率,即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)
的頻率,然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值,也就是總體平均值的估計值,計算后即可判定C.
【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可
作為息體的相應(yīng)比率的估計值.
該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確:
該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正確;
該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為
0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確;
該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為
3x0.02+4x0.044-5x0.10+6x0.14+7x0.204-8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(萬元),超
過6.5萬元,故C錯誤.
綜上,給出結(jié)論中不正確的是C.
故選:C.
【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值,屬基礎(chǔ)題,樣本的頻率可作為總體的頻率
的估計值,樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值,可以作為總體的平均
頻率
值的估計值.注意各組的頻率等于X組距.
麗
3.已知(1—i)2z=3+2i,則2=()
3333
A.-1--zB.-1+—fC.——+zD.------i
2222
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得z=—根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則,即可求解..
-2i
【詳解】(l-i)2z=-2iz=3+2i,
3+2/(3+2/)-/-2+3,?3.
z=------=------------=---------=-1+-/.
-2i-2ii22
故選:B.
4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄
視力數(shù)據(jù),,五分記錄法的數(shù)據(jù)/和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)/的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法
的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()(啊BI.259)
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)關(guān)系,當(dāng)L=4.9時,求出IgV,再用指數(shù)表示丫,即可求解.
【詳解】由L=5+lgV,當(dāng)L=4.9時,lgV=-0.1,
]11
則丫=10°」=107=」*-----a0.8.
胸1.259
故選:C.
5.已知小"是雙曲線c的兩個焦點,夕為c上一點,且/片『g=60。,仍用=3儼q,則c的離心率為
()
A.—B.—C.近D.V13
22
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件,表示出|「娟,|產(chǎn)鳥|,結(jié)合余弦定理可得答案.
【詳解】因為|尸用=3|刊訃由雙曲線的定義可得|尸周一|尸園=2|尸周二2,
所以|P閭=〃"尸制=3a;
因為=60。,由余弦定理可得4c2=9?2+a2-2x3i?^cos60°,
整理可得4。2=7/,所以/=£.=1,即e=立.
a242
故選:A
【點睛】關(guān)鍵點睛:雙曲線的定義是入手點,利用余弦定理建立?C間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.
6.在一個正方體中,過頂點力的三條棱的中點分別為區(qū)F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,所得多
面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是()
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖,結(jié)合直觀圖進行判斷.
【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖,如圖所示,
故選:D
7.等比數(shù)列{4}的公比為6前〃項和為S”,設(shè)甲:q>0,乙:{5〃}是遞增數(shù)列,則()
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
-B
【解析】
【分析】當(dāng)4>0時,通過舉反例說明甲不是乙的充分條件;當(dāng){s,}是遞增數(shù)列時,必有4>0成立即可
說明q>0成立,則甲是乙的必要條件,即可選出答案.
【詳解】由題,當(dāng)數(shù)列-2,-4,-8,???時,滿足q>0,
但是⑸}不是遞增數(shù)列,所以甲不是乙的充分條件.
若{SJ是遞增數(shù)列,則必有%>0成立,若鄉(xiāng)>0不成立,則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況,是矛盾的,則4>0
成立,所以甲是乙的必要條件.
故選:B.
【點睛】在不成立的情況下,我們可以通過舉反例說明,但是在成立的情況下,我們必須要給予其證明過
程.
8.2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量
法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測星法的一個示意圖,現(xiàn)有4B,C三點,且46,C在同
一水平面上的投影滿足NACg=45。,NA'BV=60。.由。點測得3點的仰角為15。,BB'與
CC的差為100;由8點測得4點的仰角為45。,則4C兩點到水平面48C'的高度差A(yù)A—CC約為
(V3?1.732)()
C.446D.473
【答案】B
【解析】
【分析】通過做輔助線,將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中,借助正弦定理,求得48',進而得到答案.
A
詳解】
過C作CH_L33',過8作班)J_AA',
故CC=8")=AV-89+100=AD+100,
由題,易知△4)8為等腰直角三角形,所以A£)=OB.
所以A4」CC'=03+100=A'3'+100.
inn
因為N5C”=15。,所以C〃=C'8'=------
tan15°
在“TB'。中,由正弦定理得:
45'_CE_100_100
sin450-sin75°-tanl50cosl5°.sin15°'
而sin150=sin(45°-30°)=sin450cos30°-cos450sin30°=瓜心
100x4x—
朋以A'3'=—=-=2-=100(X/3+1)?273,
V6-V2
所以A4:CC'=AB+100p373.
故選:B.
【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為⑷9+100
(八乃、ccosa
9.若aw0,—Ltan2a=-——;——,貝]tana=()
I2J2-sina
A.姮B.叵C.如D.巫
15533
【答案】A
【解析】
qin2a2sinotcosciI
【分析】由二倍角公式可得tan2a-再結(jié)合已知可求得sina二二,利用同角三
cos2al-2sm-af4
角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
ccosa
(詳解】?/tan2a=-------
2-sina
_sin2a2sinacosacosa
tan2a=------=--------——=-------,
cos2al-2sin~a2-sina
ae(0,cosaw0,——=---!----,解得sina=~,
12)l-、2‘s訪i:n2a2-sina4
A—r-;-V15sinaV15
cosa=VI-sina=---,tana-----=-----
4cosa15
故選:A.
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查三角函數(shù)的化簡問題,解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sina.
10.將4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為()
1224
A.-B.-C.-D.一
3535
【答窠】C
【解析】
【分析】采用插空法,4個1產(chǎn)生5個空,分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.
【詳解】將4個1和2個。隨機排成一行,可利用插空法,4個1產(chǎn)生5個空,
若2個0相鄰,則有C;=5種排法,若2個。不相鄰,則有C;=10種排法,
所以2個0不相鄰的概率為一二二].
5+103
故選:C.
11.已如兒B,。是半徑為1的球。的球面上的三個點,且AC_LBC,4C=8C=1,則三棱錐O-ABC
的體積為()
A應(yīng)R6c近n6
A.--D.C.D.
121244
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得△A6C為等腰直角三角形,得出△A6C外接圓的半徑,則可求得0到平面4BC的距
離,進而求得體積.
【詳解】.?△ABC為等腰直角三角形,=夜,
則△力外接圓的半徑為變,又球的半徑為1,
2
設(shè)。到平面ABC的距離為d,
所以%1SA"?d=LX,X1X1X—=--
332212
故選:A.
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查球內(nèi)幾何體問題,解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面
距離的勾股關(guān)系求解.
12.設(shè)函數(shù)/(/)的定義域為R,〃x+l)為奇函數(shù),,f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)xe[L2]時,
,、,(9
f(x)=ax2+b.若/(0)+/⑶=6,則/-=()
\/
-27
BC.-D
4-"141
【答案】D
【解析】
【分析】通過/(x+1)是奇函數(shù)和/(戈+2)是偶函數(shù)條件,可以確定出函數(shù)解析式/(工)=-2爐+2,進
而利用定義或周期性結(jié)論,即可得到答案.
【詳解】因為/(工+1)是奇函數(shù),所以/(一1+1)=-/(工+1)①;
因為/(x+2)是偶函數(shù),所以f(x+2)=/(-x+2)②.
令x=l,由①得:/(0)=—/(2)=-(4〃+〃),由②得:/(3)=/(1)=〃+〃,
因為/(0)+/(3)=6,所以一(4a+b)+a+力=6=a=-2,
令1=0,由①得:/(1)=—/(l)=/(l)=0=b=2,所以/(x)=_2f+2.
思路一:從定義入手.
一噌卜一嗎
所以喧H圖二|
思路二:從周期性入手
由兩個對稱性可知,函數(shù)/(X)的周期7=4.
所以尼卜噌卜/圖惠
故選:D.
【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候,我們通??梢越柚恍┒壗Y(jié)論,求出其周期性進而達到簡便計
算的效果.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.曲線y二一二在點(-1,-3)處的切線方程為__________.
x+2
【答案】5x-y+2=0
【解析】
【分析】先驗證點在曲線上,再求導(dǎo),代入切線方程公式即可.
【詳解】由題,當(dāng)x=T時,y=-3,故點在曲線上.
2(x+2)—(2x—1)5
求導(dǎo)得:y'
(x+2)2-(x+2)2所以y'l.v=-i=5.
故切線方程為5x—y+2=O.
故答案為:5x-y+2=0.
14.已知向量5=(3,1)石=(1,0),2=£+攵尻若Z_L",則4=_______.
…小10
【答案】一二■.
3
【解析】
【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量乙的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為零求得2的值
【詳解】,.?5=(3,l),^=(l,0),..c=a+^=(3+A:,l),
-.-alc,.*.?^c=3(3+A:)+lxl=0,解得出二一號,
故答案為:一不~.
3
【點睛】本題考杳平面向量的坐標(biāo)運算,平面向量垂直的條件,屬基礎(chǔ)題,利用平面向量
萬=(%,y)%=(乙,%)垂直的充分必要條件是其數(shù)量積X\X2+)'l)'2=°?
22
15.已知耳,鳥為橢圓G粉+?=1兩個焦點,月0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且|PQ|二忸閭,
則四邊形尸耳。鳥的面積為
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)己知可得26設(shè)1尸61=皿1尸61=〃,利用勾股定理結(jié)合根+〃=8,求出機〃,四
邊形尸片。K面積等于根〃,即可求解.
【詳解】因為尸,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,
且IPQH4入I,所以四邊形尸:Q4為矩形,
設(shè)|PFt|=m,\PF2\=n,則/+〃=8,+〃2=4§,
所以64=(加+〃)2=W2+2mn+/?2=48+2mn,
〃仞=8,即四邊形尸用2鳥面積等于8.
故答案:8.
16.已知函數(shù)/(x)=2cos(〃沈+9)的部分圖像如圖所示,則滿足條件
/(笛-/卜子))/(%)-/(與)>0的最小正整數(shù)X為_______?
【解析】
【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)/(X)的解析式,再求出/(-一),/(一)的值,然后求解三角不等式可得最小
43
正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.
【詳解】由圖可知37二四一二二型,^T=—=7T,所以口=2;
41234co
由五點法可得2xf+e=],即°=一2;
326
所以『(X)=2cos(2x—看).
「、,£,7兀、.(11兀、.幾、_/5兀、八
因為/(--)=2cosl---1=1,/(y)=2cosly1=0;
7TC47t
所以由(/(x)-/(-y))(/(x)-/(y))>0可得/?>1或f(x)<0;
因為7(1)=2cos(2<2cosf———=1,所以,
\6/\26/
方法一:結(jié)合圖形可知,最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(x)<。,即cos(2x-m)<0,
解得女兀+色<X<人兀+變,ZEZ,令人二0,可得巳<彳〈區(qū),
3636
可得X的最小正整數(shù)為2.
方法二:結(jié)合圖形可知,最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(幻<0,又f(2)=2cos(4-^|<0,符合題意,可得x的
最小正整數(shù)為2.
故答案為:2.
【點睛】關(guān)鍵點睛:根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵,根據(jù)周期求解。,根據(jù)特殊點求解心
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出交字說明、證明過程或演算步驟,第17?21題為必考題,
每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量,分
別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:
一級品二級品合計
甲機床15050200
乙機床12080200
合計270130400
(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?
(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?
_n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(++c)(b+d)
P(K、k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
【答案】(1)75%;60%;
(2)能.
【解析】
【分析】本題考查頻率統(tǒng)計和獨立性檢驗,屬基礎(chǔ)題,根據(jù)給出公式計算即可
【詳解】(1)甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為埋=75%,
200
120
乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為一=60%.
200
2
40()(150x80-120x50)=400>10>6,635>
⑵K2=
270x130x200x20039
故能有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
18.已知數(shù)列{〃”}的各項均為正數(shù),記S”為{q}的前〃項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另
外一個成立.
①數(shù)列{q}是等差數(shù)列:②數(shù)列{瘋}是等差數(shù)列;③生二34.
注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】選①②作條件證明③時,可設(shè)出底,結(jié)合凡,S”的關(guān)系求出4,利用{4}是等差數(shù)列可證
%=3。1;
選①③作條件證明②時,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出瘋,結(jié)合等差數(shù)列定義可證;
選②③作條件證明①時,設(shè)出瘋=m+b,結(jié)合凡,S”的關(guān)系求出根據(jù)〃2=3《可求人然后可證{《J
是等差數(shù)列.
【詳解】選①②作條件證明③:
設(shè)y[s^t=an+b[a>0),則Sn=(〃〃+/?『,
2
當(dāng)〃=1時,aA==(a+Z?);
22
當(dāng)〃22時,atl=Sn-Sn_}=(?/?+Z?)-(az?-a+Z?)=a(2an-a+2b);
因為{qj也是等差數(shù)列,所以(々4b)2=a(2〃_a+2£>),解得b=0:
所以=々2(2〃-1),所以〃2=3q.
選①③作條件證明②:
因為出=3%,{4}是等差數(shù)列,
所以公差d=a2-a1=2《,
2
所以5”=Id=na],即y[S^t=?
因為7^7一底=日(〃+1)一師2=8,
所以{£}是等差數(shù)列?
選②③作條件證明①:
設(shè)伙。>0),則5〃=(〃〃+/?『,
當(dāng)〃=1時,q=£=(a+Z?)2;
22
當(dāng)〃22時,an-Sn-Sn_t=(an+Z?)-(an-a+Z?)=a(2an-a-\-2b);
因為出=3q,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得匕=0或〃=一與;
當(dāng)人=0時,4=/,4=/(2〃_1),當(dāng)〃之2時,a,f“=2/滿足等差數(shù)列的定義,此時{%}為等差
數(shù)列;
當(dāng)人=一當(dāng)時,y[s^=an+b=an-^at廓=一]<0不合題意,舍去.
綜上可知{〃“}為等差數(shù)列.
【點睛】這類題型在解答題中較為罕見,求解的關(guān)鍵是牢牢抓住己知條件,結(jié)合相關(guān)公式,逐步推演,等
差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法.
19.已知直三棱柱ABC-A由G中,側(cè)面44田田為正方形,AB=8C=2,£,尸分別為AC和Cq的中
點,〃為棱A片上的點.BF±A.B.
(1)證明:BFA.DE;
(2)當(dāng)耳。為何值時,面BBC。與面。尸石所成的二面角的正弦值最?。?/p>
【答案】(1)見解析;(2)BQJ
2
【解析】
【分析】通過已知條件,確定三條互相垂直的直線,建立合適的空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量證明線線
垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大,進而可以確定出答案.
【詳解】因為三棱柱48C—4MG是直三棱柱,所以BgJ.底面A8C,所以BgJLAB
因為AB'/AB,BF1,所以
又BB、cBF=B,所以平面BCCM.
所以用兩兩垂直.
以4為坐標(biāo)原點,分別以8ABe,8片所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),g(0,0,2),A(2,0,2),G(0,2,2),
E(l,l,0),F(0,2,l).
由題設(shè)。(〃,0,2)(OVa?2).
(1)因為游=(0,2,1),詼=(1一。,1,一2),
所以游?詼=0x(l—a)+2xl+lx(-2)=0,所以
(2)設(shè)平面。氏E的法向量為〃?=(x,y,
因為麗=(-1,1,1),詼=(1-41,一2),
mEF=0-x+y+z=0
所以一,即《
tfi-DE=0(l-tz)x+y-2z=0
令z=2-。,則歷=(3/+。,2—。)
因為平面8CG用的法向量為麗=(2,0,0),
設(shè)平面BCC.B,與平面DEF的二面角的平面角為J,
,小眄?明6
3
則cos。=彳|1=——I,
|m|-|BA|2xV2a2-2?+14/2〃2-2。+14?
i27
當(dāng)〃二不時,2/一20+4取最小值為二
22
3_>/6
此時cos。取最大值為(27-3.
vT
所以(sin。),=
\/mm
此時打。一
【點睛】本題考查空間向量的相關(guān)計算,能夠根據(jù)題意設(shè)出。(。,0,2)(0WQK2),在第二問中通過余弦
值最大,找到正弦值最小是關(guān)鍵一步.
20.拋物線。的頂點為坐標(biāo)原點0.焦點在x軸上,直線/:x=l交C于凡。兩點,且。尸_LOQ.已知
點M(2,0),且OM與/相切.
(1)求乙0M的方程;
(2)設(shè)A,&,4是C上的三個點,直線A4,A4均與0M相切.判斷直線44與0M的位置關(guān)系,
并說明理由.
【答窠】(1)拋物線C:y2=x,0M方程為(x-2>+y2=i;(2)相切,理由見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)已知拋物線與4=1相交,可得出拋物線開口向右,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用對稱性設(shè)出P,。
坐標(biāo),由OPJ_OQ,即可求出P;由圓M與直線x=l相切,求出半徑,即可得出結(jié)論;
(2)先考慮A4斜率不存在,根據(jù)對稱性,即可得出結(jié)論;若斜率存在,由a,4三
點在拋物線上,將直線A4,A4,A24斜率分別用縱坐標(biāo)表示,再由44,與圓M相切,得出
%+丫3,%,為與乂的關(guān)系,最后求出M點到直線A2%的距離,即可得出垢論.
【詳解】(1)依顆意設(shè)拋物線C:y2=2px(〃>0),P(l,yo),Q(L—yo),
-OP.LOQ,.\OPOQ=\-yl=l-2p=0,:.2p=\,
所以拋物線C的方程為V=x,
M(0,2),OM與工=1相切,所以半徑為
所以0M的方程為(x—2)2+V=1;
(2)設(shè)4(修,),4(工2,必),413,)’3)
若44斜率不存在,則44方程為x=i或x=3,
若A4方程為1=1,根據(jù)對稱性不妨設(shè)A。,1),
則過A與圓M相切的另一條直線方程為y=L
此時該直線與拋物線只有一個交點,即不存在人,,不合題意;
若A4方程為%=3,根據(jù)對稱性不妨設(shè)A(3,△),4(3,-6),
則過A與圓M相切的直線AA為y—J5=¥*—3),
又Z--1—1
大一天y+必,3+、33
W=0,4(0,0),此時直線AA,44關(guān)于x軸對稱,
所以直線44與圓M相切;
若直線A4,AA3,斜率均存在,
,111
貝|J鼠4=-7-~7~,鼠人=---,
X+必H+必必+%
所以直線44方程為丁一乂=了干(工一辦),
整理得不一(凹十%”+%%二°,
同理直線A4的方程為x-(y+%)>+y[%=°,
直線44的方程為x-(y2+y3)y+y2y}=0,
|2+必必1i
與圓加相切'飛+9廣
整理得(犬-1)£+2yM+3-^=0,
AA與圓M相切,同理(y;-Dy;+2y%+3-y;=o
所以為,為為方程(寸-1)丁+2凹〉+3-犬=。的兩根,
2M3-x
%+曠3二--
Ji-1XT
M到直線44的距離為:
42+必為1.才-1
>/1+(%+%)2Jl+(一『7
…L舊十1一8+!-1
J(y:-l)2+4y;W+1
所以直線A2%與圓M相切;
綜上若直線44,44與圓M相切,則直線Azd與圓M相切.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:(1)過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))表示,將問題轉(zhuǎn)化為
只與縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))有關(guān);(2)要充分利用的對稱性,抽象出>2+)'3,%?丁3與耳關(guān)系,把
%,%的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用),i表示.
Xa
21.已知。>0且awl,函數(shù)/(X)==(%>()).
(1)當(dāng)4=2時,求/(力的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.
(22
【答案】(1)0,一上單調(diào)遞增;--,+00上單調(diào)遞減;(2)(l,e)D(e,+x)).
Iln2ln2
【解析】
【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性;
(2)利用指數(shù)對數(shù)的運算法則,可以將曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程
乎二等有兩個不同的實數(shù)根,即曲線y=g(x)與直線》=焉有兩個交點,利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的
單調(diào)性,并結(jié)合g(x)的正負(fù),零點和極限值分析g(x)的圖象,進而得到0<W<L發(fā)現(xiàn)這正好是
ae
。<g(〃)<g(e),然后根據(jù)g(力的圖象和單調(diào)性得到。的取值范圍.
、%2x222、-f?2、In222'(2-xln2)
【詳解】(1)當(dāng)。=2時,f(x)=^J(x)=-------廠手-------=-------/-------,
2(2")4
,229
令/'(力=。得二,當(dāng)。<不<不二時,當(dāng)“>不二時'f(x)<。,
m2m2m2
/21「2、
???函數(shù)在0,丁大上單調(diào)遞增;丁不小上單調(diào)遞減;
7Iln2ln2J
(2)=m=oxina=alnx=電^=^q,設(shè)函數(shù)g(x)Inx
x
貝Ug'(x)=M^,令g'(x)=。,得x",
X
在(0,。內(nèi)g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
??g")〃s=g(e)=j
又g(l)=。,當(dāng)x趨近于+00時,g(x)趨近于0,
所以曲線y=/(X)與直線y=l有且僅有兩個交點,即曲線y=g(x)與直線丁=扁有兩個交點的充分必
要條件是0〈吆<L這即是Ovg(〃)<g(e),
ae
所以a的取值范圍是乂0,+oo).
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題,屬較
難試題,關(guān)鍵是將問題進行等價轉(zhuǎn)化,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,圖象,
利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第
一題計分.
[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
22.在直角坐標(biāo)系xQy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線。的極坐標(biāo)方程為
p=2>f2cos0.
(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點力的直角坐標(biāo)為(1,0),附為。上的動點,點2滿足而=夜而,寫出尸的軌跡G的參數(shù)方程,
并判斷C與G是否有公共點.
【答窠】⑴(X-V2)2+/=2;⑵P的軌跡G的參數(shù)方程為「(。為參數(shù)),,與
G沒有公共點.
【解析】
【分析】(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為p2=2&0cos。,將X=pcos6,y=psin。代入可得;
(2)設(shè)P(x,y),設(shè)M(夜+J^cos。,、歷sin。),根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡G的參數(shù)方程,求出
兩圓圓心距,和半徑之差比較可得.
【詳解】(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程0=2播cos??傻谩?=2⑦cos。,
將x=pcosay=psin。代入可得f+V=2后,即卜一夜丫+丁=2,
即曲線。的直角坐標(biāo)方程為[一Ji)?+),2=2;
(2)設(shè)尸(x,y),設(shè)M(夜+0cos6,夜sin。)
AP=y/2AM
(x-1,y)=A/2(5/2+5/2cos6-1,&sin6)=(2+2cos0-2sin6),
x-l=2+2cos6-&口(x=3-&+2cos6
則tI〈,即〈,
y=2sin。[y=2sin。
故尸的軌跡G的參數(shù)方程為,入一3-夜+2cos'(6為參數(shù))
y=2sin。
???曲線C的圓心為(J5,o),半徑為正,曲線G的圓心為(3-收,0),半徑為2,
貝IJ圓心距為3—2加,???3—2亞<2—0,???兩圓內(nèi)含,
故曲線C與&沒有公共點.
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查參數(shù)方程的求解,解題的關(guān)鍵是設(shè)出M的參數(shù)坐標(biāo),利用向量關(guān)系求解.
[選修4-5:不等式選講](10分)
23.已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3]—|2x-1|.
(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像;
(2)若f(x+a)Ng(x),求a的取值范圍.
【答案】(1)圖像見解析;(2)aN?
2
【解析】
【分析】(1)分段去絕對值即可畫出圖像;
(2)根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將y=/(x)向左平移可滿足同角,求得y=/(x+。)過時。
的值可求.
2-x,x<2
【詳解】(1)可得f(x)=|x—2|=?cc,畫出圖像如下:
x-2,x>2
畫出函數(shù)圖像如下:
y
(2)f(x+a)=\x+a-2\t
如圖,在同一個坐標(biāo)系里畫出/(x),g(R)圖像,
y=/(x+〃)是y=f(x)平移了|/i|個單位得到,
則要使f(%+a)Ng(x),需將y=/(x)向左平移,即4>0,
f1AiiI
當(dāng)y=/(x+〃)過4彳,4時,|-+?-2|=4,解得。=不或一-(舍去),
/222
則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=/(x)向左平移日?個單位,a2U
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查絕對值不等式的恒成立問題,解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.
2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題
1.設(shè)集合M={H0vxv4},N=.1;《冗《5卜則MP1N=()
1,
A.<xO<x<—?B.<x-<x<4>
33
C.{x|4Kx<5}D.1x|O<x<5|
2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得
根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()
A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%
B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元農(nóng)戶比率估計為10%
C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
3.已知(l—i)2z=3+2i,則2=()
4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄
視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)£和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù),的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法
的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()(而?1.259)
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
5.已知月,鳥是雙曲線C的兩個焦點,尸為C上一點,且/£尸鳥=60。,|班|=3歸用,則。的離心率為
()
A.—B.—C.J7D.屈
22
6.在一個正方體中,過頂點/!的三條棱的中點分別為區(qū)F,G.該正方體截去三棱錐A-瓦G后,所得多
面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是()
7.等比數(shù)列{4;}的公比為s前〃項和為S“,設(shè)甲:4>0,乙:{'}是遞增數(shù)列,則()
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8.2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量
法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現(xiàn)有力,B,C三點,且4B,。在同
一水平面上的投影A,8',C'滿足NAC8=45。,ZA^C=60°.由C點測得3點的仰角為15。,BB'與
CC”勺差為100;由8點測得力點的仰角為45。,則4。兩點到水平面A8C的高度差A(yù)A'-CC約為
(1.732)()
A
A.345B.373C.446D.473
"乃、"cosa…
9.若0,Ltan2a=.,P!Jtana-()
<2)2-sma
岳R有「小叵
A.----D.L.D.
15---------------------5-----------------------33
10.招4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為()
1224
A.B.-C.D.
3535
11.已如4B,。是半徑為1的球0的球面上的三個點,且AC_L8cAe=BC=則三棱錐O—ABC
的體積為()
BC
A.也得近
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