2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題

1.設(shè)集合M={H0vxv4},N=.1；《冗《5卜則MP1N=()

1，

A.<xO<x<—?B.<x-<x<4>

33

C.{A|4<X<5}D.1x|O<x<5}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可

【詳解】因?yàn)镸={x|0vxv4},N={jd』VxV5},所以"cN=Wx<4?,

3I3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)比頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)

的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.

【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可

作為息體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確：

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正確；

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確；

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.044-5x0.10+6x0.14+7x0.204-8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68（萬(wàn)元），超

過(guò)6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率

的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均

頻率

值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于X組距.

麗

3.已知(1—i)2z=3+2i,則2=()

3333

A.-1--zB.-1+—fC.——+zD.------i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得z=—根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解..

-2i

【詳解】(l-i)2z=-2iz=3+2i,

3+2/(3+2/)-/-2+3，?3.

z=------=------------=---------=-1+-/.

-2i-2ii22

故選：B.

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù),，五分記錄法的數(shù)據(jù)/和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)/的滿(mǎn)足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（啊BI.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】

分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)L=4.9時(shí)，求出IgV,再用指數(shù)表示丫，即可求解.

【詳解】由L=5+lgV,當(dāng)L=4.9時(shí)，lgV=-0.1,

]11

則丫=10°」=107=」*-----a0.8.

胸1.259

故選：C.

5.已知小"是雙曲線(xiàn)c的兩個(gè)焦點(diǎn)，夕為c上一點(diǎn)，且/片『g=60。,仍用=3儼q，則c的離心率為

（）

A.—B.—C.近D.V13

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義及條件，表示出|「娟,|產(chǎn)鳥(niǎo)|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨尸用=3|刊訃由雙曲線(xiàn)的定義可得|尸周一|尸園=2|尸周二2，

所以|P閭=〃"尸制=3a；

因?yàn)?60。，由余弦定理可得4c2=9?2+a2-2x3i?^cos60°，

整理可得4。2=7/,所以/=￡.=1,即e=立.

a242

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線(xiàn)的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立?C間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)力的三條棱的中點(diǎn)分別為區(qū)F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多

面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.

【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

故選：D

7.等比數(shù)列｛4｝的公比為6前〃項(xiàng)和為S”，設(shè)甲：q>0,乙：｛5〃｝是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

-B

【解析】

【分析】當(dāng)4>0時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)｛s,｝是遞增數(shù)列時(shí)，必有4>0成立即可

說(shuō)明q>0成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列-2,-4,-8,???時(shí)，滿(mǎn)足q>0,

但是⑸｝不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛SJ是遞增數(shù)列，則必有%>0成立，若鄉(xiāng)>0不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則4>0

成立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過(guò)

程.

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m),三角高程測(cè)量

法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)星法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有4B,C三點(diǎn)，且46,C在同

一水平面上的投影滿(mǎn)足NACg=45。，NA'BV=60。.由。點(diǎn)測(cè)得3點(diǎn)的仰角為15。，BB'與

CC的差為100；由8點(diǎn)測(cè)得4點(diǎn)的仰角為45。，則4C兩點(diǎn)到水平面48C'的高度差A(yù)A—CC約為

(V3?1.732)()

C.446D.473

【答案】B

【解析】

【分析】通過(guò)做輔助線(xiàn)，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得48'，進(jìn)而得到答案.

A

詳解】

過(guò)C作CH_L33',過(guò)8作班)J_AA'，

故CC=8")=AV-89+100=AD+100,

由題，易知△4)8為等腰直角三角形，所以A￡)=OB.

所以A4」CC'=03+100=A'3'+100.

inn

因?yàn)镹5C”=15。，所以C〃=C'8'=------

tan15°

在“TB'。中，由正弦定理得：

45'_CE_100_100

sin450-sin75°-tanl50cosl5°.sin15°'

而sin150=sin(45°-30°)=sin450cos30°-cos450sin30°=瓜心

100x4x—

朋以A'3'=—=-=2-=100(X/3+1)?273,

V6-V2

所以A4:CC'=AB+100p373.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線(xiàn)的方式轉(zhuǎn)化為⑷9+100

(八乃、ccosa

9.若aw0,—Ltan2a=-——；——，貝］tana=()

I2J2-sina

A.姮B.叵C.如D.巫

15533

【答案】A

【解析】

qin2a2sinotcosciI

【分析】由二倍角公式可得tan2a-再結(jié)合已知可求得sina二二,利用同角三

cos2al-2sm-af4

角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

ccosa

（詳解】?/tan2a=-------

2-sina

_sin2a2sinacosacosa

tan2a=------=--------——=-------，

cos2al-2sin~a2-sina

ae（0,cosaw0,——=---!----,解得sina=~,

12）l-、2‘s訪(fǎng)i：n2a2-sina4

A—r-;-V15sinaV15

cosa=VI-sina=---，tana-----=-----

4cosa15

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出sina.

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A.-B.-C.-D.一

3535

【答窠】C

【解析】

【分析】采用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，分2個(gè)0相鄰和2個(gè)0不相鄰進(jìn)行求解.

【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，

若2個(gè)0相鄰，則有C；=5種排法，若2個(gè)。不相鄰，則有C；=10種排法，

所以2個(gè)0不相鄰的概率為一二二］.

5+103

故選：C.

11.已如兒B,。是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,4C=8C=1,則三棱錐O-ABC

的體積為（）

A應(yīng)R6c近n6

A.--D.C.D.

121244

【答案】A

【解析】

【分析】由題可得△A6C為等腰直角三角形，得出△A6C外接圓的半徑，則可求得0到平面4BC的距

離，進(jìn)而求得體積.

【詳解】.?△ABC為等腰直角三角形，=夜，

則△力外接圓的半徑為變，又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面ABC的距離為d,

所以%1SA"?d=LX，X1X1X—=--

332212

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面

距離的勾股關(guān)系求解.

12.設(shè)函數(shù)/(/)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，,f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[L2]時(shí)，

,、，(9

f(x)=ax2+b.若/(0)+/⑶=6,則/-=()

\/

-27

BC.-D

4-"141

【答案】D

【解析】

【分析】通過(guò)/(x+1)是奇函數(shù)和/(戈+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式/(工)=-2爐+2,進(jìn)

而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?(工+1)是奇函數(shù)，所以/(一1+1)=-/(工+1)①;

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以f(x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=—/(2)=-(4〃+〃)，由②得：/(3)=/(1)=〃+〃,

因?yàn)?(0)+/(3)=6,所以一(4a+b)+a+力=6=a=-2,

令1=0,由①得：/(1)=—/(l)=/(l)=0=b=2,所以/(x)=_2f+2.

思路一：從定義入手.

一噌卜一嗎

所以喧H圖二|

思路二：從周期性入手

由兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)/(X)的周期7=4.

所以尼卜噌卜/圖惠

故選：D.

【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，我們通?？梢越柚恍┒?jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)

算的效果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線(xiàn)y二一二在點(diǎn)(-1,-3)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________.

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】

【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線(xiàn)上，再求導(dǎo)，代入切線(xiàn)方程公式即可.

【詳解】由題，當(dāng)x=T時(shí)，y=-3,故點(diǎn)在曲線(xiàn)上.

2(x+2)—(2x—1)5

求導(dǎo)得：y'

(x+2)2-(x+2)2所以y'l.v=-i=5.

故切線(xiàn)方程為5x—y+2=O.

故答案為：5x-y+2=0.

14.已知向量5=(3,1)石=(1,0),2=￡+攵尻若Z_L",則4=_______.

…小10

【答案】一二■.

3

【解析】

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量乙的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得2的值

【詳解】,.?5=(3,l),^=(l,0),..c=a+^=(3+A:,l),

-.-alc,.*.?^c=3(3+A:)+lxl=0,解得出二一號(hào)，

故答案為：一不~.

3

【點(diǎn)睛】本題考杳平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

萬(wàn)=（%，y）%=（乙，%）垂直的充分必要條件是其數(shù)量積X\X2+）'l）'2=°?

22

15.已知耳,鳥(niǎo)為橢圓G粉+?=1兩個(gè)焦點(diǎn)，月0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|二忸閭，

則四邊形尸耳。鳥(niǎo)的面積為

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)己知可得26設(shè)1尸61=皿1尸61=〃，利用勾股定理結(jié)合根+〃=8,求出機(jī)〃，四

邊形尸片。K面積等于根〃，即可求解.

【詳解】因?yàn)槭?，。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，

且IPQH4入I,所以四邊形尸:Q4為矩形,

設(shè)|PFt|=m,\PF2\=n，則/+〃=8,+〃2=4§,

所以64=（加+〃）2=W2+2mn+/?2=48+2mn,

〃仞=8,即四邊形尸用2鳥(niǎo)面積等于8.

故答案：8.

16.已知函數(shù)/（x）=2cos（〃沈+9）的部分圖像如圖所示，則滿(mǎn)足條件

/（笛-/卜子））/（%）-/（與）＞0的最小正整數(shù)X為_(kāi)______?

【解析】

【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)/(X)的解析式，再求出/(-一),/(一)的值，然后求解三角不等式可得最小

43

正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.

【詳解】由圖可知37二四一二二型，^T=—=7T,所以口=2；

41234co

由五點(diǎn)法可得2xf+e=],即°=一2；

326

所以『(X)=2cos(2x—看).

「、，￡，7兀、.(11兀、.幾、_/5兀、八

因?yàn)?(--)=2cosl---1=1,/(y)=2cosly1=0；

7TC47t

所以由(/(x)-/(-y))(/(x)-/(y))>0可得/?>1或f(x)<0；

因?yàn)?(1)=2cos(2<2cosf———=1,所以，

\6/\26/

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足/(x)<。，即cos(2x-m)<0,

解得女兀+色<X<人兀+變,ZEZ,令人二0,可得巳<彳〈區(qū),

3636

可得X的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足/(幻<0,又f(2)=2cos(4-^|<0,符合題意，可得x的

最小正整數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解。，根據(jù)特殊點(diǎn)求解心

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分

別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(++c)(b+d)

P（K、k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】本題考查頻率統(tǒng)計(jì)和獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)給出公式計(jì)算即可

【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為埋=75%,

200

120

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為一=60%.

200

2

40()(150x80-120x50)=400>10>6,635>

⑵K2=

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.已知數(shù)列｛〃”｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛q｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另

外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛瘋｝是等差數(shù)列；③生二34.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出底，結(jié)合凡,S”的關(guān)系求出4,利用｛4｝是等差數(shù)列可證

%=3。1；

選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出瘋，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；

選②③作條件證明①時(shí),設(shè)出瘋=m+b，結(jié)合凡,S”的關(guān)系求出根據(jù)〃2=3《可求人然后可證｛《J

是等差數(shù)列.

【詳解】選①②作條件證明③：

設(shè)y[s^t=an+b[a>0),則Sn=(〃〃+/?『，

2

當(dāng)〃=1時(shí)，aA==(a+Z?)；

22

當(dāng)〃22時(shí)，atl=Sn-Sn_｝=(?/?+Z?)-(az?-a+Z?)=a(2an-a+2b)；

因?yàn)椋鹮j也是等差數(shù)列，所以(々4b)2=a(2〃_a+2￡>),解得b=0：

所以=々2(2〃-1),所以〃2=3q.

選①③作條件證明②：

因?yàn)槌?3%,｛4｝是等差數(shù)列，

所以公差d=a2-a1=2《，

2

所以5”=Id=na],即y[S^t=?

因?yàn)?^7一底=日(〃+1)一師2=8，

所以｛￡｝是等差數(shù)列?

選②③作條件證明①：

設(shè)伙。>0)，則5〃=(〃〃+/?『，

當(dāng)〃=1時(shí)，q=￡=(a+Z?)2；

22

當(dāng)〃22時(shí)，an-Sn-Sn_t=(an+Z?)-(an-a+Z?)=a(2an-a-\-2b)；

因?yàn)槌?3q,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得匕=0或〃=一與；

當(dāng)人=0時(shí)，4=/，4=/(2〃_1),當(dāng)〃之2時(shí)，a,f“=2/滿(mǎn)足等差數(shù)列的定義，此時(shí)｛%｝為等差

數(shù)列;

當(dāng)人=一當(dāng)時(shí)，y[s^=an+b=an-^at廓=一]<0不合題意，舍去.

綜上可知｛〃“｝為等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】這類(lèi)題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住己知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等

差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法.

19.已知直三棱柱ABC-A由G中，側(cè)面44田田為正方形，AB=8C=2,￡,尸分別為AC和Cq的中

點(diǎn)，〃為棱A片上的點(diǎn).BF±A.B.

（1）證明：BFA.DE;

（2）當(dāng)耳。為何值時(shí)，面BBC。與面。尸石所成的二面角的正弦值最??？

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BQJ

2

【解析】

【分析】通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線(xiàn)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)

垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案.

【詳解】因?yàn)槿庵?8C—4MG是直三棱柱，所以BgJ.底面A8C,所以BgJLAB

因?yàn)锳B'/AB,BF1,所以

又BB、cBF=B,所以平面BCCM.

所以用兩兩垂直.

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以8ABe,8片所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

所以B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,g（0,0,2），A（2,0,2），G（0,2,2）,

E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設(shè)。(〃,0,2)(OVa?2).

（1）因?yàn)橛?（0,2,1）,詼=（1一。,1,一2）,

所以游?詼=0x(l—a)+2xl+lx(-2)=0,所以

（2）設(shè)平面。氏E的法向量為〃?=（x,y,

因?yàn)辂?(-1,1,1),詼=(1-41,一2),

mEF=0-x+y+z=0

所以一，即《

tfi-DE=0(l-tz)x+y-2z=0

令z=2-。，則歷=（3/+。,2—。）

因?yàn)槠矫?CG用的法向量為麗=（2,0,0）,

設(shè)平面BCC.B,與平面DEF的二面角的平面角為J,

,小眄?明6

3

則cos。=彳|1=——I,

|m|-|BA|2xV2a2-2?+14/2〃2-2。+14?

i27

當(dāng)〃二不時(shí)，2/一20+4取最小值為二

22

3_>/6

此時(shí)cos。取最大值為（27-3.

vT

所以（sin。）,=

\/mm

此時(shí)打。一

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的相關(guān)計(jì)算，能夠根據(jù)題意設(shè)出。（。,0,2）（0WQK2）,在第二問(wèn)中通過(guò)余弦

值最大，找到正弦值最小是關(guān)鍵一步.

20.拋物線(xiàn)。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0.焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)/：x=l交C于凡。兩點(diǎn)，且。尸_LOQ.已知

點(diǎn)M（2,0）,且OM與/相切.

（1）求乙0M的方程；

（2）設(shè)A，&，4是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)A4，A4均與0M相切.判斷直線(xiàn)44與0M的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

【答窠】（1）拋物線(xiàn)C:y2=x,0M方程為（x-2>+y2=i；（2）相切，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知拋物線(xiàn)與4=1相交，可得出拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱(chēng)性設(shè)出P,。

坐標(biāo)，由OPJ_OQ,即可求出P；由圓M與直線(xiàn)x=l相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；

（2）先考慮A4斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由a,4三

點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，將直線(xiàn)A4，A4，A24斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由44,與圓M相切，得出

%+丫3，%,為與乂的關(guān)系，最后求出M點(diǎn)到直線(xiàn)A2%的距離，即可得出垢論.

【詳解】（1）依顆意設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=2px（〃>0）,P（l,yo）,Q（L—yo）,

-OP.LOQ,.\OPOQ=\-yl=l-2p=0,:.2p=\,

所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為V=x,

M（0,2）,OM與工=1相切，所以半徑為

所以0M的方程為（x—2）2+V=1；

（2）設(shè)4（修,），4（工2，必），413，）’3）

若44斜率不存在，則44方程為x=i或x=3,

若A4方程為1=1，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)A。，1），

則過(guò)A與圓M相切的另一條直線(xiàn)方程為y=L

此時(shí)該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在人,，不合題意；

若A4方程為％=3,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)A（3,△）,4（3,-6）,

則過(guò)A與圓M相切的直線(xiàn)AA為y—J5=￥*—3），

又Z--1—1

大一天y+必，3+、33

W=0,4（0,0）,此時(shí)直線(xiàn)AA，44關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

所以直線(xiàn)44與圓M相切；

若直線(xiàn)A4,AA3,斜率均存在，

,111

貝|J鼠4=-7-~7~，鼠人=---,

X+必H+必必+%

所以直線(xiàn)44方程為丁一乂=了干（工一辦），

整理得不一（凹十%”+%%二°，

同理直線(xiàn)A4的方程為x-（y+%）＞+y[％=°，

直線(xiàn)44的方程為x-(y2+y3)y+y2y}=0,

|2+必必1i

與圓加相切'飛+9廣

整理得(犬-1)￡+2yM+3-^=0,

AA與圓M相切，同理（y；-Dy；+2y%+3-y；=o

所以為，為為方程（寸-1）丁+2凹〉+3-犬=。的兩根,

2M3-x

%+曠3二--

Ji-1XT

M到直線(xiàn)44的距離為:

42+必為1.才-1

＞/1+(%+%)2Jl+(一『7

…L舊十1一8+!-1

J(y：-l)2+4y；W+1

所以直線(xiàn)A2%與圓M相切；

綜上若直線(xiàn)44,44與圓M相切，則直線(xiàn)Azd與圓M相切.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)過(guò)拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)直線(xiàn)斜率只需用其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

只與縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))有關(guān)；(2)要充分利用的對(duì)稱(chēng)性，抽象出＞2+)'3，％?丁3與耳關(guān)系，把

%，%的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用),i表示.

Xa

21.已知。>0且awl,函數(shù)/(X)==(%>()).

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求/(力的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線(xiàn)y=/(x)與直線(xiàn)y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

(22

【答案】(1)0,一上單調(diào)遞增;--,+00上單調(diào)遞減；(2)(l,e)D(e,+x)).

Iln2ln2

【解析】

【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線(xiàn)y=/(x)與直線(xiàn)y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程

乎二等有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線(xiàn)y=g(x)與直線(xiàn)》=焉有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的

單調(diào)性，并結(jié)合g(x)的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析g(x)的圖象，進(jìn)而得到0＜W＜L發(fā)現(xiàn)這正好是

ae

。＜g(〃)＜g(e)，然后根據(jù)g(力的圖象和單調(diào)性得到。的取值范圍.

、%2x222、-f?2、In222'(2-xln2)

【詳解】(1)當(dāng)。=2時(shí)，f(x)=^J(x)=-------廠手-------=-------/-------，

2(2")4

，229

令/'(力=。得二,當(dāng)。＜不＜不二時(shí),當(dāng)“＞不二時(shí)'f(x)＜。,

m2m2m2

/21「2、

???函數(shù)在0,丁大上單調(diào)遞增；丁不小上單調(diào)遞減；

7Iln2ln2J

(2)=m=oxina=alnx=電^=^q,設(shè)函數(shù)g(x)Inx

x

貝Ug'(x)=M^，令g'(x)=。，得x"，

X

在(0,。內(nèi)g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

??g")〃s=g(e)=j

又g(l)=。，當(dāng)x趨近于+00時(shí)，g(x)趨近于0,

所以曲線(xiàn)y=/(X)與直線(xiàn)y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線(xiàn)y=g(x)與直線(xiàn)丁=扁有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必

要條件是0〈吆<L這即是Ovg(〃)<g(e),

ae

所以a的取值范圍是乂0,+oo).

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，屬較

難試題，關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，

利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)。的極坐標(biāo)方程為

p=2>f2cos0.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)力的直角坐標(biāo)為(1,0),附為。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)2滿(mǎn)足而=夜而，寫(xiě)出尸的軌跡G的參數(shù)方程，

并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

【答窠】⑴(X-V2)2+/=2；⑵P的軌跡G的參數(shù)方程為「(。為參數(shù))，,與

G沒(méi)有公共點(diǎn).

【解析】

【分析】(1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為p2=2&0cos。，將X=pcos6,y=psin。代入可得;

(2)設(shè)P(x,y),設(shè)M(夜+J^cos。,、歷sin。)，根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡G的參數(shù)方程，求出

兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.

【詳解】(1)由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程0=2播cos。可得。2=2⑦cos。，

將x=pcosay=psin。代入可得f+V=2后,即卜一夜丫+丁=2,

即曲線(xiàn)。的直角坐標(biāo)方程為［一Ji)?+),2=2；

(2)設(shè)尸(x,y),設(shè)M(夜+0cos6,夜sin。)

AP=y/2AM

(x-1,y)=A/2(5/2+5/2cos6-1,&sin6)=(2+2cos0-2sin6),

x-l=2+2cos6-&口(x=3-&+2cos6

則tI〈，即〈，

y=2sin。［y=2sin。

故尸的軌跡G的參數(shù)方程為，入一3-夜+2cos'(6為參數(shù))

y=2sin。

???曲線(xiàn)C的圓心為(J5,o),半徑為正，曲線(xiàn)G的圓心為(3-收,0),半徑為2,

貝IJ圓心距為3—2加，???3—2亞＜2—0，???兩圓內(nèi)含，

故曲線(xiàn)C與&沒(méi)有公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程的求解，解題的關(guān)鍵是設(shè)出M的參數(shù)坐標(biāo)，利用向量關(guān)系求解.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3］—|2x-1|.

(1)畫(huà)出y=f(x)和y=g(x)的圖像;

（2）若f（x+a）Ng（x）,求a的取值范圍.

【答案】（1）圖像見(jiàn)解析；（2）aN?

2

【解析】

【分析】（1）分段去絕對(duì)值即可畫(huà)出圖像;

（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將y=/（x）向左平移可滿(mǎn)足同角，求得y=/（x+。）過(guò)時(shí)。

的值可求.

2-x,x<2

【詳解】（1）可得f（x）=|x—2|=?cc，畫(huà)出圖像如下:

x-2,x>2

畫(huà)出函數(shù)圖像如下:

y

(2)f(x+a)=\x+a-2\t

如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫(huà)出/(x),g(R)圖像，

y=/(x+〃)是y=f(x)平移了|/i|個(gè)單位得到,

則要使f(%+a)Ng(x),需將y=/(x)向左平移，即4>0,

f1AiiI

當(dāng)y=/(x+〃)過(guò)4彳，4時(shí)，|-+?-2|=4,解得。=不或一-（舍去）,

/222

則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=/(x)向左平移日?個(gè)單位，a2U

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.

2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題

1.設(shè)集合M={H0vxv4},N=.1；《冗《5卜則MP1N=()

1，

A.<xO<x<—?B.<x-<x<4>

33

C.{x|4Kx<5}D.1x|O<x<5|

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.已知（l—i）2z=3+2i,則2=（）

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)￡和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)，的滿(mǎn)足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（而?1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知月，鳥(niǎo)是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且/￡尸鳥(niǎo)=60。,|班|=3歸用，則。的離心率為

（）

A.—B.—C.J7D.屈

22

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)/!的三條棱的中點(diǎn)分別為區(qū)F,G.該正方體截去三棱錐A-瓦G后，所得多

面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

7.等比數(shù)列｛4；｝的公比為s前〃項(xiàng)和為S“，設(shè)甲：4>0,乙：｛'｝是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測(cè)量

法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有力，B,C三點(diǎn)，且4B,。在同

一水平面上的投影A,8',C'滿(mǎn)足NAC8=45。，ZA^C=60°.由C點(diǎn)測(cè)得3點(diǎn)的仰角為15。，BB'與

CC”勺差為100；由8點(diǎn)測(cè)得力點(diǎn)的仰角為45。，則4。兩點(diǎn)到水平面A8C的高度差A(yù)A'-CC約為

（1.732）（）

A

A.345B.373C.446D.473

"乃、"cosa…

9.若0,Ltan2a=.,P!Jtana-()

<2)2-sma

岳R有「小叵

A.----D.L.D.

15---------------------5-----------------------33

10.招4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（)

1224

A.B.-C.D.

3535

11.已如4B,。是半徑為1的球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_L8cAe=BC=則三棱錐O—ABC

的體積為（）

BC

A.也得近