高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)單元測(cè)評(píng)卷：第六章 平面向量及其應(yīng)用（含解析）

高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)單元測(cè)評(píng)卷：第六章平面向量及其應(yīng)用全卷滿分150分考試用時(shí)120分鐘一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則BE=()A.12.在三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b=5,c=42,B=45°,則sinC=()A.13.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A=π3,a=14,b=4,那么滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.不確定4.若e1,e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,則a=2e1+e2與b=-3e1+2e2的夾角為()A.30°B.60°C.120°D.150°5.已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足OA+2OB=mOC,B.-D.-B.-2C.4D.-46.已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=π3,點(diǎn)P滿足AP=λAB,λ∈R,若BD·CP=-3,則A.17.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinCA.38.在△ABC中,已知AB·AC=9,sinB=cosAsin∠ACB,S△ABC=6,P為線段AB上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且CP=x·CA|CA|+y·CB|CBA.7+2二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.對(duì)于任意的平面向量a,b,c,下列說法錯(cuò)誤的是()A.若a∥b且b∥c,則a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,則b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)10.已知平面向量a=(m,1),b=(2,n),c=(1,-2),則下列說法正確的是()A.若a∥c,則m=-1B.若b⊥c,則n=1C.若b與c的夾角為銳角,則n<1D.|2a-c|的最小值為411.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.若a2=b2+c2+2bc,則A=45°B.若a2+b2>c2,則△ABC為銳角三角形C.=AB+D.若AB·BC<0,則△12.已知△ABC的外心為O,重心為G,垂心為H,則下列結(jié)論正確的是()A.OAB.AOC.向量AH與D.過點(diǎn)G的直線l分別與AB,AC交于E,F兩點(diǎn),若AE=λAB,AF三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(1,2),b=(-3,t),若a⊥b,則|a+2b|=.

14.已知在△ABC中,∠ACB=90°,CA=4,CB=3,D為BC的中點(diǎn),AE=2EB,CE交AD于F,則CE·15.如圖,在平面四邊形ABCD中,∠A=45°,∠B=60°,∠D=150°,AB=2BC=2,則四邊形ABCD的面積為.

16.在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足b2-a2=ac,則1tanA-四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)設(shè)a與b的夾角為θ,求cosθ的值;(3)若向量a+kb與a-kb互相垂直,求k的值.18.(12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分別為AB,BC上的點(diǎn),且AE=2EB,CF=2FB.(1)若DE=xAB+yAD,(2)求AB·DE(3)求cos∠BEF的值.19.(12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=3,c=4,且2bcosA=acosC+ccosA,BD=2DC,求|20.(12分)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且2b-c=2acosC.(1)求角A;(2)若△ABC為銳角三角形,c=2,求△ABC面積的取值范圍.21.(12分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑:一種是從A處沿直線步行到C處;另一種是先從A處乘纜車到B處,再從B處沿直線步行到C處.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A處乘纜車到B處,在B處停留1min后,再從B處勻速步行到C處.假設(shè)纜車的速度為130m/min,山路AC的長為1260m,經(jīng)測(cè)量cosA=1213,cosC=3(1)乙出發(fā)多長時(shí)間后,乙在纜車上與甲的距離最短?(2)為使甲、乙在C處互相等待的時(shí)間不超過3min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?22.(12分)某商場經(jīng)營者陳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地?cái)偂?經(jīng)營冷飲生意.已知該商場門前是一塊角形區(qū)域,如圖所示,其中∠APB=120°,且在該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)R處有一個(gè)路燈,經(jīng)測(cè)量點(diǎn)R到區(qū)域邊界PA,PB的距離分別為RS=4,RT=6.陳某準(zhǔn)備過點(diǎn)R修建一條長椅MN(點(diǎn)M,N分別落在射線PA,射線PB上,長椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計(jì)),以供購買冷飲的人休息.(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)R的距離;(2)為優(yōu)化經(jīng)營面積,當(dāng)PM為多少時(shí),三角形PMN的面積最小?并求出最小面積.

答案全解全析1.B2.B3.C4.C5.D6.A7.A8.D9.ACD10.ABD11.ABD12.BCD1.B因?yàn)锳D為BC邊上的中線,所以AD=因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),所以BE=AE-2.B根據(jù)正弦定理可知bsinB=csinC,即5sin453.C在△ABC中,A=π3由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即14=16+c2-4c,即c2-4c+2=0,解得c=2±2,所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為2.故選C.4.C因?yàn)閍·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+e1·e2+2|a|=(2e|b|=(-3e所以cos<a,b>=a·又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=120°.故選C.5.D由OA+2設(shè)m3OC=OD∴A,B,D三點(diǎn)共線,且OC,OD反向共線,∵OC與OD反向共線,∴∴S△AOBS△ABC一題多解奔馳定理:已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),則有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.由題目條件整理可得OA+2所以由奔馳定理可得S△OAB∶S△OAC∶S△OBC=-m∶2∶1,即S△OAB∶S△ABC=-m∶(-m+3),所以-m-m6.A由題意可得BD·CP=(=(BA+BC)·[(=(BA+BC)·[(λ-1)=(1-λ)BA=4(1-λ)-λ×2×2×cosπ3解得λ=12,故選一題多解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),C(1,3),D(-1,所以AB=(2,0),設(shè)P(x,0),則CP=(x-1,-所以BD·CP=(-3,解得x=1.∵AP=λAB,7.A由sin(A+C)cosBb得sinBcosB由余弦定理得sinBa2即sinBb=1,∴b=sinB.∴asin∴a+c=sinA+sinC,∵B=π3∴a+c=sinA+sin2π3-A=∵0<A<2π3,∴∴32<3sinA+故選A.8.D設(shè)AB=c,BC=a,AC=b.∵sinB=cosAsin∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin∠ACBcosA,即sinAcos∠ACB+sin∠ACBcosA=sin∠ACBcosA,∴sinAcos∠ACB=0,∵sinA≠0,∴cos∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB·AC=9,S△∴bccosA=9,12bcsinA=6,∴tanA=4根據(jù)三角形ABC是直角三角形可得sinA=45,cosA=35,∴c=5,b=3,a=4.以C為原點(diǎn),AC所在直線為x軸,BC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA=(3,0),∵P為線段AB上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),∴存在實(shí)數(shù)λ,使得CP=λ易得CA|∴CP=x·CA|CA|∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x∈(0,3),y∈(0,4).則1x+1y=1121x+1y故1x+19.ACD當(dāng)b為零向量時(shí),a與c不一定共線,故A中說法錯(cuò)誤;由向量數(shù)量積的分配律得(a+b)·c=a·c+b·c,故B中說法正確;因?yàn)閍·b=a·c,所以a·(b-c)=0,又a≠0,所以b=c或a⊥(b-c),故C中說法錯(cuò)誤;取a,b,c為非零向量,且a與b垂直,b與c不垂直,則(a·b)·c=0,a·(b·c)≠0,故D中說法錯(cuò)誤.故選ACD.10.ABD若a∥c,則-2m-1=0,∴m=-12,故A正確若b⊥c,則2-2n=0,∴n=1,故B正確;若b與c的夾角為銳角,則b·c=2-2n>0,即n<1,但當(dāng)n=-4時(shí),b與c同向共線,b與c的夾角為0°,不是銳角,故C錯(cuò)誤;|2a-c|=|2a故當(dāng)m=12時(shí),|2a-c|取得最小值,為4,故D正確故選ABD.11.ABD對(duì)于A,若a2=b2+c2+2bc,即b2+c2-a2=-2bc,則cosA=b2+c2-a22bc=-22,對(duì)于B,若a2+b2>c2,則a2+b2-c2>0,即有cosC=a2故C為銳角,無法確定其他兩角的大小,故無法判斷三角形的形狀,故B中說法錯(cuò)誤;顯然C中說法正確;對(duì)于D,AB·BC=|AB|·|所以cosB>0,即B為銳角,無法確定其他兩角的大小,故無法判斷三角形的形狀,故D中說法錯(cuò)誤.故選ABD.12.BCD因?yàn)镺為外心,所以O(shè)A=OB=OC,所以當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=∠AOC=∠BOC時(shí),才有OA·OB=OA·AO·AB=|AO||AB|cos∠OAB,因?yàn)閨AO|cos∠OAB=|AB|易得AB=|AB所以AB|AB|cosB+所以AH與AB|AB|cosB如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD,則G為AD上靠近D的三等分點(diǎn),AG=因?yàn)镋,G,F三點(diǎn)共線,所以13λ+13μ=1,故故選BCD.13.答案52解析∵a⊥b,∴1×(-3)+2×t=0,解得t=32,∴b=-3,32,則a故|a+2b|=(-5)214.答案-7解析由題意得CE=∵∠ACB=90°,∴CA⊥CB,即CA·∴CE·15.答案6解析如圖,連接AC,在△ABC中,AB=2BC=2,∠B=60°,利用余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC·AB·cosB=3,∴AC=3(負(fù)值舍去),則AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴S△ABC=12×1×3∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=15°,∵∠ADC=150°,∴∠DCA=180°-150°-15°=15°,則∠DAC=∠DCA,故AD=CD.過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,則AE=12∴DE=AEtan15°=32則S△ACD=12∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=3216.答案1,解析由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,因?yàn)閎2-a2=ac,所以ac=c2-2accosB,所以a=c-2acosB,由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB,即sinA=sin(A+B)-2sinAcosB=sinAcosB+cosA·sinB-2sinAcosB=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A),因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A,B∈0,π2,所以B-A∈-π2,由A,B,C∈0,π2,得A∈π6,π41tan易得sinB∈32,1,所以17.解析(1)因?yàn)閍=(1,2),b=(-3,1),所以a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(7,0).(3分)(2)由題意得cosθ=a·b|(3)由a=(1,2),b=(-3,1)可得a+kb=(1,2)+k(-3,1)=(1-3k,2+k),a-kb=(1,2)-k(-3,1)=(1+3k,2-k).(8分)因?yàn)橄蛄縜+kb與a-kb互相垂直,所以(a+kb)·(a-kb)=(1-3k)(1+3k)+(2+k)(2-k)=0,即2k2=1,解得k=±22.(10分18.解析(1)易得DE=DA+AE=23(2)由(1)可得AB·DE=AB·(3)易得EF=EB+BF=13∴|EF|=13∴cos∠BEF=EB·EF|19.解析因?yàn)?bcosA=acosC+ccosA,所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,(2分)即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,(3分)因?yàn)閟inB≠0,所以2cosA=1,即cosA=12.(5分因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π3.(6分由已知得AD=AB+所以AD2=19AB所以|AD|=21920.解析(1)解法一:因?yàn)?b-c=2acosC,所以由正弦定理得2sinB-sinC=2sinAcosC,又sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以2(sinAcosC+cosAsinC)-sinC=2sinAcosC.所以2cosAsinC-sinC=0.(2分)因?yàn)?<C<π,所以sinC≠0,所以cosA=12因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π3.(4分解法二:因?yàn)?b-c=2acosC,所以由余弦定理的推論得2b-c=2a·a2整理得b2+c2-a2=bc,(2分)所以cosA=b2又0<A<π,所以A=π3.(4分(2)由(1)得A=π3,又△ABC為銳角三角形所以0<C<在△ABC中,由正弦定理得csin所以b=csinBsin因?yàn)棣?<C<π2所以3tanC∈(0,3),所以1+3tanC所以S△ABC=12bcsinA=3所以△ABC面積的取值范圍是32,2321.解析(1)∵cosA=1213,cosC=35,A,C∴sinA=513,sinC=4∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365.(2分由ABsinC=ACsin∴乙在纜車上的時(shí)間為1040130=8(min).(4分設(shè)乙出發(fā)t(0≤t≤8)min后,甲、乙的距離為dm,則d2=(130t)2+[50(2+t)]2-2×130t×50(2+t)×121