新高考數(shù)學題型全歸納之排列組合專題15隔板法模型含答案及解析

專題15隔板法模型例1．2020年高考強基計劃中，北京大學給了我校10個推薦名額，現(xiàn)準備將這10個推薦名額分配給高三理科的6個班級，這6個班級每班至少要給一個名額，則關于分配方案的種數(shù)為（）A．462 B．126C．210 D．132例2．不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)為（）A． B． C． D．例3．有30個完全相同的蘋果，分給4個不同的小朋友，每個小朋友至少分得4個蘋果，問有多少種不同的分配方案？()A．680 B．816 C．1360 D．1456例4．從、、、4個班級中選10人組成衛(wèi)生檢查小組，每班至少選一人，每班人數(shù)的不同情況有多少種（）A．42 B．56 C．84 D．168例5．把9個完全相同的口罩分給6名同學，每人至少一個，不同的分法有（）種A．41 B．56 C．156 D．252例6．方程的正整數(shù)解共有（）組A．165 B．120 C．38 D．35例7．把16個相同的小球放到三個編號為1，2，3的盒子中，且每個盒子內的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（）A．18 B．28 C．36 D．42例8．把座位號為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數(shù)為（）A． B． C． D．例9．（1）把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？例10．（1）求方程的非負整數(shù)解的個數(shù)；（2）某火車站共設有4個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客求—個小組4人進站的不同方案種數(shù)，要求寫出計算過程.例11．現(xiàn)有本書和位同學，將書全部分給這三位同學.（1）若本書完全相同，每個同學至少有一本書，共有多少種分法？（2）若本書都不相同，共有多少種分法？（3）若本書都不相同，每個同學至少有一本書，共有多少種分法？例12．（1）六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒，共有多少種放法？（注：最后結果需用數(shù)字作答）例13．將6個相同的小球放入4個不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有_________種放法.（用數(shù)字作答）例14．方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.例15．現(xiàn)有15個省三好學生名額分給1、2、3、4共四個班級，其中1班至少2個名額，2班、4班每班至少3個名額，3班最多2個名額，則共有_________種不同分配方案.例16．小紅同學去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇（可以有糖果不被選擇），單價均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有______種.例17．10個相同的小球放在三個編號為1，2，3的盒中，每盒至少1個，有_________種方分法.例18．將3個1，11個0排成一列，使得每兩個1之間至少隔著兩個0，則共有__________種不同的排法.例19．24個志愿者名額分給3個學校，則每個學校至少有1個名額且學校名額互不相同的分法有________種．例20．在5月6日返校體檢中，學號為（）的五位同學的體重增加量是集合中的元素，并滿足，則這五位同學的體重增加量所有可能的情況有________種

專題15隔板法模型例1．2020年高考強基計劃中，北京大學給了我校10個推薦名額，現(xiàn)準備將這10個推薦名額分配給高三理科的6個班級，這6個班級每班至少要給一個名額，則關于分配方案的種數(shù)為（）A．462 B．126C．210 D．132【解析】將10個名額分為6份，即從9個分段中選擇5個段分開，且不分順序，共有種方案.故選：B.例2．不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)將個相同小球放入三個盒子，允許有空盒的放法種數(shù).現(xiàn)在在每個盒子里各加一個相同的小球，問題等價于將個相同小球放入三個盒子，沒有空盒的放法種數(shù)，則只需在個小球中形成的空位（不包含兩端）中插入兩塊板即可，因此，不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)為.故選：C.例3．有30個完全相同的蘋果，分給4個不同的小朋友，每個小朋友至少分得4個蘋果，問有多少種不同的分配方案？()A．680 B．816 C．1360 D．1456【解析】先給每個小朋友分三個蘋果，剩余個蘋果利用“隔板法”，個蘋果有個空，插入三個“板”，共有680種方法.故選：A.例4．從、、、4個班級中選10人組成衛(wèi)生檢查小組，每班至少選一人，每班人數(shù)的不同情況有多少種（）A．42 B．56 C．84 D．168【解析】將10個人排成一排，然后從中間形成的9個空中選3個，分別放入一個隔板，即可將10個人分為4個部分，且每部分至少1個人，由此可得每班人數(shù)的不同情況有種．故選C．例5．把9個完全相同的口罩分給6名同學，每人至少一個，不同的分法有（）種A．41 B．56 C．156 D．252【解析】問題可轉化為將9個完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一個，求其方法數(shù)．事實上，只需在上述9個完全相同的口罩所產生的8個“空檔”中選出5個“空檔”插入檔板，即產生符合要求的方法數(shù)．故有種．故選：B例6．方程的正整數(shù)解共有（）組A．165 B．120 C．38 D．35【解析】如圖，將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個空隙中任選三個插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數(shù)目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，反之，方程的每一組解都對應著一種在12個球中插入隔板的方式，故方程的正整數(shù)解的數(shù)目為：，故選：A.例7．把16個相同的小球放到三個編號為1，2，3的盒子中，且每個盒子內的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（）A．18 B．28 C．36 D．42【解析】根據題意，個相同的小球放到三個編號為的盒子中，且每個盒子內的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，則原問題可以轉化為將剩下的個小球，放入個盒子，每個盒子至少放個的問題，將剩下的個球排成一排，有個空位，在個空位中任選個，插入擋板，有種不同的放法，即有個不同的符合題意的放法；故選：C．例8．把座位號為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】因為每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，又分給甲、乙、丙、丁四個人，則在座位號、、、、、的五個空位插3個板子，有種，然后再分給甲、乙、丙、丁四個人，有種，所以不同的分法種數(shù)為,故選：B例9．（1）把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？【解析】（1）6個不同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少一個小球，先把6個小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個不同的箱子，故不同的方法共有（種）（2）6個不同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少一個小球，先把6個小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個相同的箱子，故不同的方法共有（種）（3）6個相同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少一個小球，則采用插板法，在個空中插入塊板，則不同的方法共有（種）（4）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子至少一個小球，故可以首先每個箱子放入個小球，還剩下個小球，則這個小球，只有兩種結果，即兩個在一個箱子中，或兩個小球分別在一個箱子中，故只有種放法.例10．（1）求方程的非負整數(shù)解的個數(shù)；（2）某火車站共設有4個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客求—個小組4人進站的不同方案種數(shù)，要求寫出計算過程.【解析】（1）若定義，其中，則是從方程的非負整數(shù)解集到方程的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程正整數(shù)解得個數(shù)是從而方程的非負整數(shù)解得個數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過安檢口有4種情況：從1個安檢口通過，從2個安檢口通過，從3個安檢口通過，從4個安檢口通過。從1個安檢口通過共有：種方案；從2個安檢口通過，可能有1個安檢口通過1人，另一個安檢口通過3人有：種方案；從2個安檢口通過，可能每一個安檢口都通過2人有：種方案；從3個安檢口通過，可能有2個安檢口各通過1人，有1個安檢口通過2人有：種方案；從4個安檢口通過共有：種方案，所以這4個旅客進站的不同方案有：種.例11．現(xiàn)有本書和位同學，將書全部分給這三位同學.（1）若本書完全相同，每個同學至少有一本書，共有多少種分法？（2）若本書都不相同，共有多少種分法？（3）若本書都不相同，每個同學至少有一本書，共有多少種分法？【解析】（1）根據題意，若本書完全相同，將本書排成一排，中間有個空位可用，在個空位中任選個，插入擋板，有種情況，即有種不同的分法；（2）根據題意，若本書都不相同，每本書可以分給人中任意1人，都有3種分法，則5本不同的書有種；（3）根據題意，分2步進行分析：①將本書分成組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有種分組方法；②將分好的三組全排列，對應名學生，有種情況，則有種分法.例12．（1）六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒，共有多少種放法？（注：最后結果需用數(shù)字作答）【解析】（1）按照最左端排誰分兩類：①排甲：其余5個人作全排列，有種，②排乙：最右端不排甲有種，其余四人作全排列有種，故共有種，由分類計數(shù)原理共有種；（2）分步完成：①將A，B捆在一起當作一個元素與除C的3個元素一起作全排列，有種，②將C插入到已經排好的排列中，讓A，C不相鄰，有種，由分步計數(shù)原理可得共有種；（3）四個不同的小球編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，有種不同的放法.例13．將6個相同的小球放入4個不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有_________種放法.（用數(shù)字作答）【解析】根據題意，將6個小球排成一排，排好后有5個可用的空位，在5個空位中任選3個，插入擋板，共有種情況，可以將6個小球分成4組，依次放入4個不同的盒子中即可，所以共有10中不同的放法．例14．方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.【解析】問題中的看作是三個盒子，問題則轉化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法．將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球．隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個空內．共有種．

故答案為：例15．現(xiàn)有15個省三好學生名額分給1、2、3、4共四個班級，其中1班至少2個名額，2班、4班每班至少3個名額，3班最多2個名額，則共有_________種不同分配方案.【解析】由3班最多2個名額，3班有2、或1個，或0個名額三種情況.（1）、當3班有2個名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的8個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.相當于將8個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.（2）、當3班有1個名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的9個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.相當于將9個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.（3）、當3班沒有分得名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的10個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.相當于將10個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.所以一共有種不同的分配方案.故答案為：85.例16．小紅同學去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇（可以有糖果不被選擇），單價均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有______種.【解析】把7元看作7個相同的小球，四種糖果看作是四個盒子，問題變?yōu)榘?個小球放到4個盒子中，允許有空盒，因此補充4個小球，共11個小球，分到四個盒子中，用插隔板方法，共有方法數(shù)為．故答案為：120．例17．10個相同的小球放在三個編號為1，2，3的盒中，每盒至少1個，有_________種方分法.【解析】依據題意，10個相同的小球放在3個盒中，每盒至少1個，可轉化為將10個相同小球分成三組，每組至少1個；可將10個小球排成一列，進而在排除兩端的9個空位中，選取2個，插入隔板即可，由組合公式可得共有種分法.故答案為：.例18．將3個1，11個0排成一列，使得每兩個1之間至少隔著兩個0，則共有__________種不同的排法.【解析】解：符合條件的排列中，3個1將11個0分成四段，設每一段分別有個0，則，，，且，令，，則．因此原問題等價于求方程的自然數(shù)解的組數(shù)，將7個1與3塊隔板進行排列，其排列數(shù)即對應方程自然數(shù)解的組數(shù)，所