平行線等分線段定理、三角形中位線定、理梯形中位線定理

[文件]sxcbk0078.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初二/幾何/中位線/例題[標(biāo)題]平行線等分線段定理、三角形中位線定、理梯形中位線定理[內(nèi)容]平行線等分線段定理、三角形中位線定、理梯形中位線定理【內(nèi)容綜述】1.三角形中位線性質(zhì)定理，梯形中位線性質(zhì)定理，是三角形、梯形的重要性質(zhì)。特別是三角形中位線，是繼三角形的角平分線、中線、高線后的又一條重要線段。因此在研究三角形問(wèn)題中，三角形中位線是常常需要添加的輔助線。

2.在復(fù)雜圖形中，通過(guò)觀察圖形，聯(lián)系已知條件，聯(lián)想并構(gòu)造平行線等分線段定理、三角形中位線定理及梯形中位線定理的基本圖形。定理與基本圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是我們正確聯(lián)想，添加輔助線，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將不熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，形成思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

【例題分析】

★例1：如圖，MN分別是平形四邊形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，CM交BD于E，AN交BD于F，求證：BE=EF=FD

思路：觀察圖形，若要證在同一條直線上的三條線段相等，聯(lián)想相關(guān)的定理，顯然是需要構(gòu)成“平行線等分線段定理的”基本圖形，由于M.N分別是AB、CD的中點(diǎn)，因此有AM=MB，DN=NC，若有AN∥MC，則可構(gòu)造出一組平行線，從而使問(wèn)題得證。這樣，推證AN∥MC成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

由于ABCD是平行四邊形，因此有AB//=CD，由于M,N分別是AB、CD的中點(diǎn)，因此NC//=AM，從而可推證出AN//CM。這樣我們分別過(guò)D，B兩點(diǎn)作AN的平行線，則“平行線等分線段定理”的基本圖形構(gòu)成使思路形成。

思路二：若我們沒(méi)有想到“平行線等分線段定理”，而在平行四邊形ABCD中，觀察到M，N點(diǎn)分別是△DEC及△AFB的CD、AB邊的中點(diǎn)，這時(shí)，我們自然聯(lián)想“平行線等分線段定理推論”的基本圖形，只需要推證出F點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，E點(diǎn)是FB的中點(diǎn)，顯然，不論是聯(lián)想“平行線等分線段定理”的基本圖形，還是“平行線等分線段定理推論”的基本圖形，其共性特點(diǎn)，即解決問(wèn)題的關(guān)鍵，都需要推證出AN//MC，兩種思路但根據(jù)已知條件，推證AN//MC的方法是一樣的。

證明一：分別過(guò)D、B兩點(diǎn)GD//AN，BH//AN四邊形ABCD是平行四邊形，CD//=AB.

又M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AM//=NC，四邊形AMCN是平行四邊形，AN//MC.GD//AN//MC//BH.BE=EF=FD（一組平行線在一條直線上截得的線段相等，在其它直線上截得的線段邊相等。）

證明二：四邊形ABCD是平行四邊形，AB//=CD，又M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AM//=NC，四邊形AMCN是平行四邊形。AN//CM。NF//CE，ME//AF。F點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，E點(diǎn)是BF的中點(diǎn)。（經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)，與另一邊平行的直線必平分第三邊。）FE=FD，BE=FE即BE=EF=FD。

說(shuō)明：平行線等分線段定理及推論常需要與平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)綜合應(yīng)用。特別需要注意的是運(yùn)用平行線等分線段定理的推論是說(shuō)明中點(diǎn)的。因此，在推證中“點(diǎn)X是中點(diǎn)”這一步是絕不可省略不寫(xiě)的。

★★例2：如圖，梯形ABCD中，AD//BC，BC>AD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，C=54，B=36，求證：EF=（BC-AD）

思路一：要推證梯形上底，下底中點(diǎn)連線等于兩底差的一半，我們不能將AD移到BC上，因此需將梯形通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，由于BF=FC=BC，AE=ED=AD，因此過(guò)E點(diǎn)分別作EM//AB，EN//DC，交BC于M、N.于是可知，MF=BC-AD，F(xiàn)N=BC-AD顯然應(yīng)該有MF=FN，而結(jié)論需推證EF=MF=FN因而可聯(lián)想“一邊的中線，等于這邊一半”的基本圖形應(yīng)該是RT△，若△MEN是直角三角形，則問(wèn)題得以解決。因而推證△MEN是直角三角形，成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。由于B=36，C=54，顯然，B+C=90，由于EM//AB，EN//CD，因此有1=36，，從而轉(zhuǎn)化為，從而可推證出，思路形成再利用直角三角形斜邊中線，等于斜邊的一半，推證出結(jié)論。

思路二：若我們觀察圖形，根據(jù)已知條件聯(lián)想圖形性質(zhì)時(shí)，從，，敏感到互余的性質(zhì)，會(huì)自然聯(lián)想到直角三角形，因而我們可通過(guò)延長(zhǎng)梯形兩腰轉(zhuǎn)化為直角三角形。由于AD//BC，顯然△ADM與△BCM都是直角三角形。由于E是AD中點(diǎn)，因此ME=AD2．60

提示：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD，，又

3．14cm.

提示：EF是梯形ABCD的中位線，EF//AD//BCP是BD的中點(diǎn).EP=EP：PF=1：2

4．證明一：延長(zhǎng)CE交AB于G

AD是BAC的平分線，又AE=AE，CEAD，ΔAEGΔAEC，GE=CE。又EF//BG。F是BC中點(diǎn)。

證明二：延長(zhǎng)FE交AC于G，F(xiàn)G//AB，則AG=EGAG=CGF是BC中點(diǎn)。

5．證明：過(guò)M點(diǎn)分別作MD//AC，MN//AB，交AB于D，交AC于N,M是BC中點(diǎn)，D、N分別為AB、AC中點(diǎn)。DM//=AN//=NC，MN//=AD//=DBAT//MF，，又BE=DE+CF=2AN+AF=2DE+AE即CF=DE+又BE=CF=

6．證明：取CF的中點(diǎn)M，連結(jié)DM。D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，DE=BC=ADBD=DE又DM是ΔBCF的中位線，DM//=EF//DMF點(diǎn)是AM的中點(diǎn)，EF是ΔADM的中位線。DM=2EF=2AFBF=2DM=4AF

7．證明：連結(jié)AC、BD分別交PS、QR、SR、PQ于E、F、G、H點(diǎn)分別過(guò)AC、BD點(diǎn)作BD、AC的平行線L、L、L、LP、Q是AB、BC的中點(diǎn)，S、R是AD、CD的中點(diǎn)，，SR//=AC

PQ//=SR四邊形PSRQ是平行四邊形。PS//=QR//BDL//P