平面直角坐標系中點的坐標求法全解拔高1

坐標的應(yīng)用（講義）知識點睛平面直角坐標系知識回顧：數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的一條直線，當我們把兩條數(shù)軸如圖放置，就能構(gòu)成平面直角坐標系；它們有共同的原點，水平方向的數(shù)軸我們叫x軸或橫軸，鉛直方向的數(shù)軸我們叫y軸或縱軸；我們用有序?qū)崝?shù)對（a,b）來表示平面直角坐標系內(nèi)的坐標；數(shù)軸把平面直角坐標系分成四個部分，分別是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一個象限內(nèi)的符號：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；每一個點（a,b）的坐標由兩部分組成：A、它的符號，由它在坐標系中的位置決定；B、它的長度，a的絕對值表示點到縱軸的距離，b的絕對值表示點到橫軸的距離，一般需做橫平豎直的垂線；關(guān)于x軸對稱的兩個點，x相同，y相反；關(guān)于y軸對稱的兩個點，x相反，y相同；關(guān)于原點對稱的兩個點，x、y都相反；于x軸平行的直線，y相同，x不同，可表示為y=b；于y軸平行的直線，x相同，y不同；可表示為x=a；坐標系中求線段長的方法：如果兩個點的連線平行于x軸或y軸，則其線段長等于大坐標－小坐標；如果不平行，則運用兩點之間的距離公式：L=；5、牢記中點坐標公式：6、平面直角坐標系中坐標的處理原則：A、過點做平行于x軸、y軸的垂線；B、坐標轉(zhuǎn)線段長，線段長轉(zhuǎn)坐標；點的存在性問題：平行四邊形中已知三點坐標確定第四點坐標：；等腰三角形中已知兩點坐標確定第三點坐標：．精講精練1. 如圖所示，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A（-1，0），B（0，4），頂點C，D在第二象限內(nèi)，則C，D兩點的坐標分別是_______，_______．（分別過C、D兩點構(gòu)造雙垂直模型，正方形四邊均相等，因此所構(gòu)造的雙垂直模型都是全等三角形。）在平面直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別是A（-2，-3），B（5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四邊形ABCD的周長和面積．（構(gòu)造直角三角形，將坐標轉(zhuǎn)化為線段長，利用勾股定理求出各邊長即可；將此四邊形補成正方形，通過“補形以做差”，利用大正方形面積減去三個小直角三角形面積即可。）9. 如圖，在平面直角坐標系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）總結(jié)提升：欲求點A′的坐標，我們可以向橫軸做垂線并交橫軸于G點；根據(jù)折疊的軸對稱性質(zhì)，折疊是一種全等變換，則∠BOA=∠BOA′=60°，則∠A′OG也=60°，則我們構(gòu)造的小直角三角形是一個含有30°角的直角三角形，根據(jù)三邊關(guān)系比，可求出相應(yīng)線段的長，然后轉(zhuǎn)化為點的坐標即可。74. 如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，A點坐標為（0，2），E是線段BC上一點，且∠AEB=60°，沿AE折疊后B點落在點F處那么F點的坐標是________．（總結(jié)提升：此題道理同上，我們過F點做橫軸的平行線，與BC相交與點H；根據(jù)折疊的軸對稱性質(zhì)，∠BEA=∠AEF=60°，則角FEH=60°，我們構(gòu)造的是一個含有30°角的直角三角形，根據(jù)其三邊關(guān)系比，分別求出三邊的長度，然后用2－BH即是F的縱坐標，2－HF的相反數(shù)就是F的橫坐標。）86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0， -1），以A，B，C三點為頂點作平行四邊形，則第四個頂點的坐標為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．總結(jié)提升：這是一個典型的“三個定點、一個動點”平行四邊形的存在性的問題。常用的處理模式是選擇其中的一邊既做邊也做對角線，以便不重不漏，由于在平面直角坐標系中，我們選擇橫軸或縱軸上的線段，以方便計算；若以AB為邊，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，我們過點C做AB的平行線，則有兩種情況，分別過兩個D點做此平行線的垂線，則可以構(gòu)造兩個小直角三角形，與相應(yīng)的三角形對應(yīng)全等，借助于其三邊的關(guān)系即可求出點D的坐標；若以AB為對角線，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，分別做兩邊的平行線相交與D點即可，然后再過D點做橫軸的垂線構(gòu)造直角三角形解題即可。97. 如圖，在平面直角坐標系中，已知A（2，-2），在y軸上確定點P， 使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P坐標為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（總結(jié)提升：這是一個典型的“兩個定點、一個動點”求等腰三角形的存在性的題目。我們常用的處理模式是：“一條線，兩個圓”，也就是先做定線段OA的垂直平分線，與縱軸的交點即是其中的一個點，然后分別以兩個定點為圓心，定長線段為半徑畫圓，與縱軸的交點即是其他的點。當然最終還要排除上述各點中有可能重合的點。） 如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（6，0），C（0，2），點M是OA的中點，點P在線段BC上運動，當△OMP是腰長為3的等腰三角形時，則P點的坐標為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．總結(jié)提升：根據(jù)“兩個定點、一個動點”求等腰三角形的存在性的解題模型，我們先判斷誰是定點，誰是動點，然后按照“一條線、兩個圓”的模型解題；由于此題的特殊性，一條線不再使用，我們只考慮分別以兩個定點為圓心，定長線段為半徑做圓，然后過這兩個圓與BC的交點向橫軸做垂線，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理解題即可?？偣踩齻€點。113. 如圖，方格紙中的每個小方格是邊長為1的正方形，A，B兩點在小方格的頂點上，位置分別用（2，2），（4，3）來表示，請在小方格的頂點上確定一點C，連接AB，AC，BC，使△ABC的面積為2個平方單位，則點C的位置有＿＿個．總結(jié)提升：1、此題首先需要通過點的坐標確定原點的位置；2、由于A、B兩點是定點，而C是動點，我們先隨意確定一個C點的位置，使得由此構(gòu)成的三角形的面積是2；3、根據(jù)平行線間的距離處處相等，為此我們過確定的C的位置做線段AB的平行線，這條平行線上的格點即是我們所求的點；4、同時在線段AB的另一側(cè)，也一定存在著另一條等距離的平行線，我們再看看有幾個格點，兩項相加，即是全部的點。三、回顧與思考【參考答案】一、知識點睛1．①坐標轉(zhuǎn)線段長，線段長轉(zhuǎn)坐標；②過點作橫平豎直的線．2．①平移線段②一線兩圓二、精講精練1．（-4，5），（-5，1）2．，3．（1）6；（2）存在，（-3，）4．5．（-1，5）6．D7．B8．（3，0）9．（-1，）10．（-1，）11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）12．（0，），（0，-2），（0，-），（0，-4）13．（，2），（3-，2），（3+，2）14．7坐標的應(yīng)用（隨堂測試）1．如圖，平面直角坐標系中有一矩形OABC，其中A（4，0），C（0，4），若將△AOB沿OB所在直線翻折，點A落在點D處，則D點的坐標是________．2．如圖，在平面直角坐標系中，其中A（2，0），∠ABO=30°，在y軸上取一點P，使△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P坐標為_______________．【參考答案】1．（，6）2．（0，），（0，），（0，），（0，）坐標的應(yīng)用（作業(yè)）在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為（2，3），（5，-2），（-2，0），求△ABC的周長和面積．（分割以求和，補形以作差）如圖，已知A（0，4），B（2，0），把線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B落在點B′處，則點B′的坐標是（）A．（6，4）B．（4，6）C．（6，5）D．（5，6）（構(gòu)造雙垂直模型解題即可）如圖，圖形關(guān)于點D（0，-2）成中心對稱，若點A的坐標是（2，3），則點Ｍ的坐標為．（運用中點坐標公式解題即可）在平面直角坐標系中，點C坐標為（0，），點E坐標為（1，0），將△COE沿直線CE折疊，點O落在點D處，則點D的坐為．（過點D做橫軸的垂線，構(gòu)造含30°角的直角三角形，利用其三邊關(guān)系比解題即可）在平面直角坐標系中，A，B，C三點的坐標分別為（0，0），（0，-3），（-2，-1），以這三點為平行四邊形的三個頂點，則第四個點的坐標為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（按照“三個定點、一個動點”求平行四邊形的村莊行解題模型解題即可）如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（2，1），點T是x軸上的一個動點，當△PTO是等腰三角形時，點T的坐標為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（根據(jù)“兩個定點、一個動點”求等腰三角形的存在性解題模型解題即可）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（5，4），點P為線段BC上動點，當△POA為等腰三角形時，點P的坐標為：．把△ABC放在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，1），點C的坐標為（4，3），如果要使△ABD與△ABC全等，則點D的坐標為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（總結(jié)提升：由于待求全等三角形和已知三角形有共同的邊AB，因此此題實質(zhì)上是一個軸對稱性質(zhì)的題；由于AB平行于橫軸，所以我們以AB為折痕，把原三角形翻折過去，對應(yīng)的點就是D點的一個位置；再做出線段AB的垂直平分線，以之為折痕，把原三角形再翻折過去，對應(yīng)點則是另一個D點的位置。最后把翻折得到的兩個三角形中的任意一個再翻折一次就可以得到第三個D點的位置。利用中點坐標公式求即可。）【參考答案】1．，2．B3．（-2，-7）4．5．（2，-3），（-2，-7），（-2，3）6．（，0），（，0），（4，0），（，0）7．（，4），（3，4），（2，4）8．（-2，3），（4，-1），（-2，-1）坐標的應(yīng)用(每日一題)1.如圖所示，已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標系中，B，C兩點在第二象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為60°，求點B的坐標．（注意到此題中出現(xiàn)了含有30°角的直角三角形，過點A分別做橫軸和縱軸的垂線，構(gòu)造雙垂直模型即可）2.慧慧在一次數(shù)學課上，將一副30°，60°，90°和45°，45°，90°的三角板如圖放在直角坐標系中，發(fā)現(xiàn)點A的坐標剛好是（，0），求圖中兩個三角板的交點P的坐標．（注意到此題中出現(xiàn)了含有30°角和45°角的特殊直角三角形，我們可以利用其三邊關(guān)系比，先求出有關(guān)線段的長，然后過點P做橫軸的垂線，設(shè)此垂線長為a，把OA表示為含有a的代數(shù)式，列方程解題即可。）3.如圖所示，A（-，0），B（0，1）分別為x軸，y軸上的點，△ABC為等邊三角形，點P（3，a）在第一象限內(nèi)，且滿足2S△ABP=S△ABC，求a的值．總結(jié)提升：1、首先根據(jù)題目中提供的條件，計算出等邊三角形的面積；2、我們利用“坐標系中求三角形面積的模型”來求三角形ABP的面積；先求出直線AP的表達式，設(shè)其與縱軸的交點是H，然后用“大坐標－小坐標”求出BH的長，則三角形ABP就被我們分隔成了分別以BH為共同底邊的兩個小三角形，左邊小三角形的高是A點橫坐標的絕對值，右邊小三角形的高是P點橫坐標的絕對值，據(jù)此列方程解題即可。4.如圖，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，點A在第一象限，OE是△AOB的中線，已知OB＝OE＝5，S△AOB＝15．求A、E兩點的坐標．（總結(jié)提升：1、為了求點E的坐標，我們過點E做橫軸的垂線，根據(jù)等底同高的兩個三角形面積相等，則三角形OEB的面積等于大三角形面積的一半；然后根據(jù)三角形面積公式求出高即是E點的縱坐標，然后再用勾股定理求出其橫坐標即可；2、為了求點A的坐標，注意到點E是AB兩點的中點，代入中點坐標公式求解即可。）5.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為平行四邊形，其中O為坐標原點，且點B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于點D.求A，D兩點坐標；求四邊形OABC的面積.總結(jié)提升：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角線互相平分，因此D點是O、B兩點的中點，先利用中點坐標公式求出點D的坐標，再根據(jù)點D也是A、C兩點的中點，代入中點坐標公式求出點A的坐標即可；利用兩點之間的距離公式：L=，分別求出有關(guān)線段的長，可以判定此平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形面積公式=兩條對角線乘積的一半，分別計算出兩條對角線的長度即可求出?！緟⒖即鸢浮?.解：過點B作BE⊥y軸，垂足為E∵OA與x軸的夾角為60°∴∠AOE=30°在Rt△AOD中，OA=1，∠AOD=30°∴AD=，OD=，∠ADO=60°∵AB=1∴BD=1-在Rt△BDE中，BD=1-，∠BDE=60°∴DE=，BE=∴OE=OD+DE=∵B在二象限∴點B的坐標為（，）2.解：過點P作PD⊥x軸，垂足為點D設(shè)AD=x，在Rt△AOB和Rt△AOC，∵∠AOB=30°，∠OAC=45°∴PD=AD=x，OD=x，∵A（，0），∴OD+DA=，即x+x=∴x=即OD=9，PD=∴點P的坐標為（9，）3.解：過點P作PD⊥x軸，垂足為點D∵A（-，0），B（0，1）∴OA=，OB=1由勾股定理得AB=2∵△ABC為等邊三角形∴S△ABC=∵S△ABP=S△AOB+S梯形BODP-S△ADP==∵2S△ABP=S△ABC∴∴a=4.解：設(shè)A，E兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）由題意知：B點坐標為（5，0），S△AOB＝OBy1＝y(tǒng)1＝15∴y1＝6∵OE是△AOB的中線∴E是AB的中點∴y2＝＝3∵OE＝5，即：=5∴x2=4∵=4∴x1=3∴A，E兩點的坐標分別為（3，6），（4，3）5.解：（