平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)求法全解拔高1

坐標(biāo)的應(yīng)用（講義）知識(shí)點(diǎn)睛平面直角坐標(biāo)系知識(shí)回顧：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的一條直線，當(dāng)我們把兩條數(shù)軸如圖放置，就能構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系；它們有共同的原點(diǎn)，水平方向的數(shù)軸我們叫x軸或橫軸，鉛直方向的數(shù)軸我們叫y軸或縱軸；我們用有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b）來表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)；數(shù)軸把平面直角坐標(biāo)系分成四個(gè)部分，分別是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；每一個(gè)點(diǎn)（a,b）的坐標(biāo)由兩部分組成：A、它的符號(hào)，由它在坐標(biāo)系中的位置決定；B、它的長度，a的絕對(duì)值表示點(diǎn)到縱軸的距離，b的絕對(duì)值表示點(diǎn)到橫軸的距離，一般需做橫平豎直的垂線；關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，x相同，y相反；關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，x相反，y相同；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，x、y都相反；于x軸平行的直線，y相同，x不同，可表示為y=b；于y軸平行的直線，x相同，y不同；可表示為x=a；坐標(biāo)系中求線段長的方法：如果兩個(gè)點(diǎn)的連線平行于x軸或y軸，則其線段長等于大坐標(biāo)－小坐標(biāo)；如果不平行，則運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式：L=；5、牢記中點(diǎn)坐標(biāo)公式：6、平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的處理原則：A、過點(diǎn)做平行于x軸、y軸的垂線；B、坐標(biāo)轉(zhuǎn)線段長，線段長轉(zhuǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)的存在性問題：平行四邊形中已知三點(diǎn)坐標(biāo)確定第四點(diǎn)坐標(biāo)：；等腰三角形中已知兩點(diǎn)坐標(biāo)確定第三點(diǎn)坐標(biāo)：．精講精練1. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（-1，0），B（0，4），頂點(diǎn)C，D在第二象限內(nèi)，則C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是_______，_______．（分別過C、D兩點(diǎn)構(gòu)造雙垂直模型，正方形四邊均相等，因此所構(gòu)造的雙垂直模型都是全等三角形。）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-2，-3），B（5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四邊形ABCD的周長和面積．（構(gòu)造直角三角形，將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長，利用勾股定理求出各邊長即可；將此四邊形補(bǔ)成正方形，通過“補(bǔ)形以做差”，利用大正方形面積減去三個(gè)小直角三角形面積即可。）9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）總結(jié)提升：欲求點(diǎn)A′的坐標(biāo)，我們可以向橫軸做垂線并交橫軸于G點(diǎn)；根據(jù)折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)，折疊是一種全等變換，則∠BOA=∠BOA′=60°，則∠A′OG也=60°，則我們構(gòu)造的小直角三角形是一個(gè)含有30°角的直角三角形，根據(jù)三邊關(guān)系比，可求出相應(yīng)線段的長，然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)即可。74. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），E是線段BC上一點(diǎn)，且∠AEB=60°，沿AE折疊后B點(diǎn)落在點(diǎn)F處那么F點(diǎn)的坐標(biāo)是________．（總結(jié)提升：此題道理同上，我們過F點(diǎn)做橫軸的平行線，與BC相交與點(diǎn)H；根據(jù)折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)，∠BEA=∠AEF=60°，則角FEH=60°，我們構(gòu)造的是一個(gè)含有30°角的直角三角形，根據(jù)其三邊關(guān)系比，分別求出三邊的長度，然后用2－BH即是F的縱坐標(biāo)，2－HF的相反數(shù)就是F的橫坐標(biāo)。）86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0， -1），以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．總結(jié)提升：這是一個(gè)典型的“三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”平行四邊形的存在性的問題。常用的處理模式是選擇其中的一邊既做邊也做對(duì)角線，以便不重不漏，由于在平面直角坐標(biāo)系中，我們選擇橫軸或縱軸上的線段，以方便計(jì)算；若以AB為邊，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，我們過點(diǎn)C做AB的平行線，則有兩種情況，分別過兩個(gè)D點(diǎn)做此平行線的垂線，則可以構(gòu)造兩個(gè)小直角三角形，與相應(yīng)的三角形對(duì)應(yīng)全等，借助于其三邊的關(guān)系即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若以AB為對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，分別做兩邊的平行線相交與D點(diǎn)即可，然后再過D點(diǎn)做橫軸的垂線構(gòu)造直角三角形解題即可。97. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，-2），在y軸上確定點(diǎn)P， 使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（總結(jié)提升：這是一個(gè)典型的“兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求等腰三角形的存在性的題目。我們常用的處理模式是：“一條線，兩個(gè)圓”，也就是先做定線段OA的垂直平分線，與縱軸的交點(diǎn)即是其中的一個(gè)點(diǎn)，然后分別以兩個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長線段為半徑畫圓，與縱軸的交點(diǎn)即是其他的點(diǎn)。當(dāng)然最終還要排除上述各點(diǎn)中有可能重合的點(diǎn)。） 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（6，0），C（0，2），點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OMP是腰長為3的等腰三角形時(shí)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．總結(jié)提升：根據(jù)“兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求等腰三角形的存在性的解題模型，我們先判斷誰是定點(diǎn)，誰是動(dòng)點(diǎn)，然后按照“一條線、兩個(gè)圓”的模型解題；由于此題的特殊性，一條線不再使用，我們只考慮分別以兩個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長線段為半徑做圓，然后過這兩個(gè)圓與BC的交點(diǎn)向橫軸做垂線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題即可?？偣踩齻€(gè)點(diǎn)。113. 如圖，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長為1的正方形，A，B兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置分別用（2，2），（4，3）來表示，請(qǐng)?jiān)谛》礁竦捻旤c(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連接AB，AC，BC，使△ABC的面積為2個(gè)平方單位，則點(diǎn)C的位置有＿＿個(gè)．總結(jié)提升：1、此題首先需要通過點(diǎn)的坐標(biāo)確定原點(diǎn)的位置；2、由于A、B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，而C是動(dòng)點(diǎn)，我們先隨意確定一個(gè)C點(diǎn)的位置，使得由此構(gòu)成的三角形的面積是2；3、根據(jù)平行線間的距離處處相等，為此我們過確定的C的位置做線段AB的平行線，這條平行線上的格點(diǎn)即是我們所求的點(diǎn)；4、同時(shí)在線段AB的另一側(cè)，也一定存在著另一條等距離的平行線，我們?cè)倏纯从袔讉€(gè)格點(diǎn)，兩項(xiàng)相加，即是全部的點(diǎn)。三、回顧與思考【參考答案】一、知識(shí)點(diǎn)睛1．①坐標(biāo)轉(zhuǎn)線段長，線段長轉(zhuǎn)坐標(biāo)；②過點(diǎn)作橫平豎直的線．2．①平移線段②一線兩圓二、精講精練1．（-4，5），（-5，1）2．，3．（1）6；（2）存在，（-3，）4．5．（-1，5）6．D7．B8．（3，0）9．（-1，）10．（-1，）11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）12．（0，），（0，-2），（0，-），（0，-4）13．（，2），（3-，2），（3+，2）14．7坐標(biāo)的應(yīng)用（隨堂測試）1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC，其中A（4，0），C（0，4），若將△AOB沿OB所在直線翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是________．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中A（2，0），∠ABO=30°，在y軸上取一點(diǎn)P，使△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為_______________．【參考答案】1．（，6）2．（0，），（0，），（0，），（0，）坐標(biāo)的應(yīng)用（作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，3），（5，-2），（-2，0），求△ABC的周長和面積．（分割以求和，補(bǔ)形以作差）如圖，已知A（0，4），B（2，0），把線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（6，4）B．（4，6）C．（6，5）D．（5，6）（構(gòu)造雙垂直模型解題即可）如圖，圖形關(guān)于點(diǎn)D（0，-2）成中心對(duì)稱，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），則點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為．（運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題即可）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0），將△COE沿直線CE折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐為．（過點(diǎn)D做橫軸的垂線，構(gòu)造含30°角的直角三角形，利用其三邊關(guān)系比解題即可）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0），（0，-3），（-2，-1），以這三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（按照“三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求平行四邊形的村莊行解題模型解題即可）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，1），點(diǎn)T是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PTO是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（根據(jù)“兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求等腰三角形的存在性解題模型解題即可）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4），點(diǎn)P為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△POA為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：．把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），如果要使△ABD與△ABC全等，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（總結(jié)提升：由于待求全等三角形和已知三角形有共同的邊AB，因此此題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)軸對(duì)稱性質(zhì)的題；由于AB平行于橫軸，所以我們以AB為折痕，把原三角形翻折過去，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是D點(diǎn)的一個(gè)位置；再做出線段AB的垂直平分線，以之為折痕，把原三角形再翻折過去，對(duì)應(yīng)點(diǎn)則是另一個(gè)D點(diǎn)的位置。最后把翻折得到的兩個(gè)三角形中的任意一個(gè)再翻折一次就可以得到第三個(gè)D點(diǎn)的位置。利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可。）【參考答案】1．，2．B3．（-2，-7）4．5．（2，-3），（-2，-7），（-2，3）6．（，0），（，0），（4，0），（，0）7．（，4），（3，4），（2，4）8．（-2，3），（4，-1），（-2，-1）坐標(biāo)的應(yīng)用(每日一題)1.如圖所示，已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，B，C兩點(diǎn)在第二象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為60°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（注意到此題中出現(xiàn)了含有30°角的直角三角形，過點(diǎn)A分別做橫軸和縱軸的垂線，構(gòu)造雙垂直模型即可）2.慧慧在一次數(shù)學(xué)課上，將一副30°，60°，90°和45°，45°，90°的三角板如圖放在直角坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的坐標(biāo)剛好是（，0），求圖中兩個(gè)三角板的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．（注意到此題中出現(xiàn)了含有30°角和45°角的特殊直角三角形，我們可以利用其三邊關(guān)系比，先求出有關(guān)線段的長，然后過點(diǎn)P做橫軸的垂線，設(shè)此垂線長為a，把OA表示為含有a的代數(shù)式，列方程解題即可。）3.如圖所示，A（-，0），B（0，1）分別為x軸，y軸上的點(diǎn)，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P（3，a）在第一象限內(nèi)，且滿足2S△ABP=S△ABC，求a的值．總結(jié)提升：1、首先根據(jù)題目中提供的條件，計(jì)算出等邊三角形的面積；2、我們利用“坐標(biāo)系中求三角形面積的模型”來求三角形ABP的面積；先求出直線AP的表達(dá)式，設(shè)其與縱軸的交點(diǎn)是H，然后用“大坐標(biāo)－小坐標(biāo)”求出BH的長，則三角形ABP就被我們分隔成了分別以BH為共同底邊的兩個(gè)小三角形，左邊小三角形的高是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，右邊小三角形的高是P點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，據(jù)此列方程解題即可。4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，OE是△AOB的中線，已知OB＝OE＝5，S△AOB＝15．求A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（總結(jié)提升：1、為了求點(diǎn)E的坐標(biāo)，我們過點(diǎn)E做橫軸的垂線，根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等，則三角形OEB的面積等于大三角形面積的一半；然后根據(jù)三角形面積公式求出高即是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后再用勾股定理求出其橫坐標(biāo)即可；2、為了求點(diǎn)A的坐標(biāo)，注意到點(diǎn)E是AB兩點(diǎn)的中點(diǎn)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可。）5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為平行四邊形，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于點(diǎn)D.求A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)；求四邊形OABC的面積.總結(jié)提升：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，因此D點(diǎn)是O、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D也是A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；利用兩點(diǎn)之間的距離公式：L=，分別求出有關(guān)線段的長，可以判定此平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形面積公式=兩條對(duì)角線乘積的一半，分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長度即可求出?！緟⒖即鸢浮?.解：過點(diǎn)B作BE⊥y軸，垂足為E∵OA與x軸的夾角為60°∴∠AOE=30°在Rt△AOD中，OA=1，∠AOD=30°∴AD=，OD=，∠ADO=60°∵AB=1∴BD=1-在Rt△BDE中，BD=1-，∠BDE=60°∴DE=，BE=∴OE=OD+DE=∵B在二象限∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）2.解：過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D設(shè)AD=x，在Rt△AOB和Rt△AOC，∵∠AOB=30°，∠OAC=45°∴PD=AD=x，OD=x，∵A（，0），∴OD+DA=，即x+x=∴x=即OD=9，PD=∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，）3.解：過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D∵A（-，0），B（0，1）∴OA=，OB=1由勾股定理得AB=2∵△ABC為等邊三角形∴S△ABC=∵S△ABP=S△AOB+S梯形BODP-S△ADP==∵2S△ABP=S△ABC∴∴a=4.解：設(shè)A，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）由題意知：B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），S△AOB＝OBy1＝y(tǒng)1＝15∴y1＝6∵OE是△AOB的中線∴E是AB的中點(diǎn)∴y2＝＝3∵OE＝5，即：=5∴x2=4∵=4∴x1=3∴A，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，6），（4，3）5.解：（