平面向量知識(shí)點(diǎn)和例題

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)試卷第=page55頁(yè)，總=sectionpages11頁(yè)第二章平面向量1.向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。數(shù)量：我們把只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量。2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。3.向量的長(zhǎng)度（模）：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度（或稱模），記作。4.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是兩個(gè)平行向量，那么通常記作∥。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任一向量，都有∥。6.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是兩個(gè)相等向量，那么通常記作=。7.如圖，已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=，=，則向量叫做與的和，記作，即。向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。8.對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定：+=+=9.公式及運(yùn)算定律：①②≤③④10.相反向量：①我們規(guī)定，與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作-。和-互為相反向量。②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量與其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互為相反的向量，那么=-，=-，。⑤我們定義，即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。11.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘。記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ＞0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，的方向與的方向相反；λ=0時(shí)，=12.運(yùn)算定律：①②③④⑤13.定理：對(duì)于向量（≠）、，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=，那么與共線。相反，已知向量與共線，≠，且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的μ倍，即||=μ||，那么當(dāng)與同方向時(shí)，有=；當(dāng)與反方向時(shí)，有=。則得如下定理：向量向量（≠）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=。14.平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。15.向量與的夾角：已知兩個(gè)非零向量和。作，，則（0°≤θ≤180°）叫做向量與的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，與同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，與反向。如果與的夾角是90°，我們說(shuō)與垂直，記作。16.補(bǔ)充結(jié)論：已知向量、是兩個(gè)不共線的兩個(gè)向量，且m、n∈R，若，則m=n=0。17.正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）。即若，，則，19.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。即若，則_x_y_L_P2_P_P120.當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x_x_y_L_P2_P_P121.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為①當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，點(diǎn)P叫線段P1P2的內(nèi)分點(diǎn)，λ＞0②當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的延長(zhǎng)線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，λ＜-1；當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，-1＜λ＜0.C.點(diǎn)與圖中的點(diǎn)重合D.點(diǎn)與圖中的點(diǎn)重合14、在三棱柱中，若，則等于()A.B.C.D.15、如圖，正六邊形中，（）A.B.C.D.16、已知，且，則等于（）A.B.C.D.17、在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同兩點(diǎn)，若，，為正數(shù)，則的最小值為A.2B.C.D.18、設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，如果和共線那么的值是（）A.1B.-1C.3D.19、點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，，則的最小值是（）A.B.C.3D.420、已知向量，，則向量與的夾角為()A.135°B.60°C.45°D.30°21、如圖，在半徑為的圓中，已知弦的長(zhǎng)為，則（）A.B.C.D.22、若四邊形ABCD是正方形，E是DC邊的中點(diǎn)，且，則等于()A.b＋aB.b－aC.a＋bD.a－b23、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若=λ+μ，則λ+μ=（）A．2 B． C．D．24、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，則點(diǎn)O，N，P依次是的（）A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心25、已知平面向量在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，關(guān)于非零向量a的分解有如下四個(gè)命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量C和實(shí)數(shù)λ，使；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量和單位向量，使.則所有正確的命題序號(hào)是________.26、已知，，則與方向相同的單位向量．27、已知向量，且，則__________．28、如圖，在正方形中，已知，為的中點(diǎn)，若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的取值范圍是29、設(shè)，，，且，則在上的投影的取值范圍是.30、把邊長(zhǎng)為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)．則的最大值是．31、如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，，則________．32、在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，，點(diǎn)滿足.（1）試用表示；（2）若（，且），求的最大值.33、在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，，點(diǎn)滿足．（1）試用，表示；（2）若（，，且），求的最大值．34、已知：、、同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角．參考答案【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】D11、【答案】B12、【答案】A13、【答案】C14、【答案】D15、【答案】B16、【答案】C17、【答案】A18、【答案】D19、【答案】C20、【答案】C21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C25、【答案】①②26、【答案】27、【答案】28、【答案】29、【答案】30、【答案】231、【答案】32、【答案】(1);(2).試題分析：(1)由向量加法的運(yùn)算法則可得即可得結(jié)果；（2），換元后，利用基本不等式即可得結(jié)果.試題解析：（1）.（2）.33、【答案】（1）；（2）試題分析：（1）借助圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算將分解即可；（2）先求，將化為二次函數(shù)的形式，通過(guò)求二次函數(shù)的最值可得結(jié)果。試題解析：（1）如圖，結(jié)合圖形可得。（2）∵，∴，∴，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為。34、【答案】（1）或；（2）．試題分析：（1