平面向量的坐標表示

PAGEPAGE5第7章平面向量的坐標表示1.理解向量的有關概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別；（2）零向量：長度為零的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意方向；（3）單位向量：給定一個非零向量，與同向且長度為1的向量叫的單位向量,的單位向量是；（4）相等向量：方向與長度都相等的向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：如果向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行；提醒提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個平行向量的基線平行或重合,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；④三點共線共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是長度相等方向相反的向量.2.向量的表示方法（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；（3）坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示，如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.3．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）；（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，零向量，注意：.4．平面向量的數(shù)量積：（1）兩個向量的夾角：已知兩個非零向量和，過O點作，，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量與的夾角．當θ＝0°時，與同向；當θ＝180°時，與反向；如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作．（2）兩個向量的數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即＝．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．若，則＝．（3）向量的數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影(θ是向量與的夾角)．的幾何意義是，數(shù)量等于模與在上的投影的積．（4）向量數(shù)量積的性質：設與都是非零向量，是單位向量，是與的夾角．當與同向時，＝；當與反向時，＝-,＝;⑸||≤．（5）向量數(shù)量積的運算律：【提醒】【提醒】（1）若則為銳角或者角若則為鈍角或者角.（2）||＝可以用來證明.（3）非零向量，夾角的計算公式：.(4)||.13．已知點在向量所在的直線上，則所滿足的條件是___________．14.已知,(1)若點在線段上,且則點的坐標是;(2)若點在線段的延長線上,且則點的坐標是;(3)若點在線段的延長線上,則點的坐標是;(4)若點在線段的延長線上,,則點的坐標是.15．下列四個命題：①若，則或；②若為單位向量，則；③；④若與共線，與共線，則與共線．其中錯誤命題的序號是___________．16．已知、、，且，則當________時，點落在軸上．17．已知，是兩個非零向量，則“，不共線”是“”的____________．18．下列四個命題中是真命題的有____________個． ①若與是共線向量，則與也是共線向量②若，則與是共線向量③若，則與是共線向量 ④若，則與任何向量都共線19.在中,設向量，則的面積=,的周長=.20.對個向量，如果存在不全為零的實數(shù)使得，則稱性相關.若已知，，是線性相關的，則=___________.21.在四邊形中，，，則四邊形的面積是___________.7.2向量的數(shù)量積例題精講【例1】設O是直角坐標原點，，在軸上求一點P，使最小，并求此時的大小.【例2】已知，且的夾角為，又，求.注意：有關向量的運算也可以利用數(shù)形結合的方法來求解，本例就可以由作圖得解【例3】已知銳角中內(nèi)角的對邊分別為,向量,且（1）求的大小，（2）如果，求的面積的最大值.過關演練1．（1）已知，，與的夾角為，則__________．（2）已知，，，則向量與的夾角為___________．2．（1）已知，與的夾角為，則在方向上的投影為___________．（2）已知，，，則在上方向上的投影為___________．3．已知，，且，則的值為___________．4．已知，與的夾角正弦值為，，則___________．5．已知，，，則__________．6．已知，，與的夾角為，要使與垂直，則______．7．在平行四邊形中，已知，，則=_______．8．是所在平面上一點，若，則是的____________．9．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則=____________．10．與向量的夾解相等，且模為的向量是____________．11．在中，，，，且，，，則的值為___________．12．在中，已知，且，則這個三角形的形狀是___．13．下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，且，則或；④對任意兩個單位向量，都有．其中正確命題的序號是_______________．14.若,則與的夾角為____________．15．在中，O為中線上一個動點，若，則的最小值是.16．已知滿足，則的形狀一定是________.17.在△ABC中，，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點，DC＝2BD，則=________.18.如果，且，那么()．A．B．C．D．在方向上的投影相等19．若、是非零向量且，則一定有（）A．B．C．D．20.已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是__________.21．已知向量≠，||＝1，對任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則（）A．⊥B．⊥(－)C．⊥(－)D．(＋)⊥(－)22．已知兩個單位向量和互相垂直，，則的充要條件是（）A．B．C．D．23．在中，有命題①；②；③若，則為等腰三角形；④若，則為銳角三角形.上述命題正確的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④24點在所在平面內(nèi)，給出下列關系式：（1）；（2）；（3）；（4）．則點依次為的（）A．內(nèi)心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心、垂心C．重心、垂心、內(nèi)心、外心 D．外心、內(nèi)心、垂心、重心7.3平面向量的分解定理例題精講【例1】已知是的邊上的點，且，，如圖1所示．若用表示，則=．過關演練1.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則__________.2.下列條件中，三點不共線的是（） A． B． C． D．3．下列向量組中能作為它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（）A．B．C．D．4．已知向量，，，用和來表示，則為（）A．B．C．D．5．設M是△ABC的重心，則=（）

A． B． C． D．6．、分別為的邊、上的中線，且，，那么為（）A．B．C．D．7．過的重心作一直線分別交、于點、．若，，則的值為____________．8.是內(nèi)的一點，，則的面積與的面積之比為__________. A．2 B．3 C． D．69.請用表示=__________.10．已知.設，則等于__________.11．已知四邊形是菱形，點在對角線上，（不包括端點、），則等于（）A．，∈(0,1) B．，∈(0,)C．，∈(0,1) D．，∈(0,)12.如圖，在△ABC中，設，,,(0<λ<1),,(0<μ<1),試用向量,表示.7.4向量的應用例題精講【例1】是過拋物線焦點的直線，它與拋物線交于A、B兩點，O是坐標原點，則△ABO是（）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關.【例2】已知向量.設.（1）若且，求的值；（2）若函數(shù)的圖像按向量平移后得到函數(shù)的圖像，求實數(shù)的值.過關演練1.求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù).2.已知點是設且，試用表