《高考導航》2022屆新課標數(shù)學(理)一輪復習講義-第四章-第4講-數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

第4講數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．2．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bieq\o(→,\s\up3(一一對應))復平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up3(一一對應))平面對量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數(shù)加法的運算定律復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[做一做]1．(2022·高考課標全國卷Ⅰ)設z＝eq\f(1,1＋i)＋i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．2解析：選B.∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).2．(2022·高考安徽卷)設i是虛數(shù)單位，eq\o(z,\s\up6(－))表示復數(shù)z的共軛復數(shù)．若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i解析：選C.∵z＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故選C.1．辨明三個易誤點(1)兩個虛數(shù)不能比較大小．(2)利用復數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，留意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)留意不能把實數(shù)集中的全部運算法則和運算性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．2．復數(shù)的運算技巧(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數(shù)相等和相關性質(zhì)將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的常用方法．(2)在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數(shù)化．3．復數(shù)代數(shù)運算中常用的幾個結(jié)論在進行復數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.[做一做]3．(2022·高考課標全國卷Ⅰ)eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：選D.法一：eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\f(（1＋i）（1＋i）2,－2i)＝eq\f(（1＋i）（1＋i2＋2i）,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.故選D.法二：eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(2)(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．4．(2022·高考廣東卷)已知復數(shù)z滿足(3＋4i)z＝25，則z＝()A．－3＋4i B．－3－4iC．3＋4i D．3－4i解析：選D.法一：由(3＋4i)z＝25，得z＝eq\f(25,3＋4i)＝eq\f(25（3－4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝3－4i.法二：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝25，,4a＋3b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4，))故z＝3－4i.eq\a\vs4\al(考點一)__復數(shù)的有關概念______________________(1)(2022·高考浙江卷)已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2021·石家莊市第一次模擬)已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－1或1 B．1C．－1 D．3[解析](1)當a＝b＝1時，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；當(a＋bi)2＝2i時，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,ab＝1，))解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件．(2)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,a－1≠0))，∴a＝－1.[答案](1)A(2)C[規(guī)律方法]解決復數(shù)概念問題的方法及留意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應當滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時確定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．1.若eq\f(a,1－i)＝1－bi，其中a，b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|＝__________．解析：∵a，b∈R，且eq\f(a,1－i)＝1－bi，則a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1－b，,0＝1＋b，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1.))∴|a＋bi|＝|2－i|＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)eq\a\vs4\al(考點二)__復數(shù)的幾何意義______________________(1)(2022·高考課標全國卷Ⅱ)設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i(2)(2021·高考湖北卷)在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)∵z1＝2＋i在復平面內(nèi)的對應點的坐標為(2，1)，又z1與z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，則z2的對應點的坐標為(－2，1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－,))＝1－i，故復數(shù)z的共軛復數(shù)對應的點位于第四象限．[答案](1)A(2)D[規(guī)律方法]復數(shù)幾何意義及應用(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．2.如圖，平行四邊形OABC中，頂點O、A、C分別表示0、3＋2i、－2＋4i，試求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數(shù)，eq\o(BC,\s\up6(→))表示的復數(shù)；(2)對角線eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)．解：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.eq\a\vs4\al(考點三)__復數(shù)代數(shù)形式的運算(高頻考點)________復數(shù)代數(shù)形式的四則運算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度很小．高考對復數(shù)代數(shù)形式的運算的考查主要有以下三個命題角度：(1)復數(shù)的乘法運算；(2)復數(shù)的除法運算；(3)利用復數(shù)相等求參數(shù)．(1)已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝()A．－1 B．1C．2 D．3(2)(2022·高考天津卷)i是虛數(shù)單位，復數(shù)eq\f(7＋i,3＋4i)＝()A．1－i B．－1＋iC.eq\f(17,25)＋eq\f(31,25)i D．－eq\f(17,7)＋eq\f(25,7)i(3)(2022·高考浙江卷)已知i是虛數(shù)單位，計算eq\f(1－i,（1＋i）2)＝________．(4)i是虛數(shù)單位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))eq\s\up12(2016)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＝________．[解析](1)由eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，得a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.(2)eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(（7＋i）（3－4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i，故選A.(3)eq\f(1－i,（1＋i）2)＝eq\f(1－i,1＋2i＋i2)＝eq\f(1－i,2i)＝eq\f(－i（1－i）,－2i2)＝eq\f(－i－1,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.(4)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))\s\up12(2)))eq\s\up12(1008)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))eq\s\up12(1008)＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.[答案](1)B(2)A(3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i(4)0[規(guī)律方法]復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復數(shù)的乘法．復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數(shù)的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要留意把i的冪寫成最簡形式．3.計算下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))eq\s\up12(2)；(2)eq\f(2＋4i,（1＋i）2)；(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3.解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4i2,（1＋i）2)＝eq\f(－4,2i)＝2i.(2)eq\f(2＋4i,（1＋i）2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝2－i.(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＋i3＝eq\f(2i,2)＋i3＝i－i＝0.交匯創(chuàng)新——與復數(shù)有關的新定義問題(2021·南昌模擬)在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“>”為全體實數(shù)排了一個“序”．類似地，我們在復數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“>”．定義如下：對于任意兩個復數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，當且僅當“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”時，z1>z2.按上述定義的關系“>”，給出如下四個命題：①若z1>z2，則|z1|>|z2|；②若z1>z2，z2>z3，則z1>z3；③若z1>z2，則對于任意z∈C，z1＋z>z2＋z；④對于復數(shù)z>0，若z1>z2，則zz1>zz2.其中全部真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[解析]對于復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1－3i，明顯滿足z1>z2，但|z1|＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(10)，不滿足|z1|>|z2|，故①不正確；設z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1>z2，z2>z3，可得“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，故②正確；設z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，(a，a1，a2，b，b1，b2∈R)，由z1>z2，可得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．明顯有“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，從而z1＋z>z2＋z，故③正確；對于復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1－3i明顯滿足z1>z2，令z＝1＋i，則zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，明顯不滿足zz1>zz2，故④錯誤．綜上②③正確，故選B.[答案]B[名師點評]解決本題的關鍵有以下兩點：(1)依據(jù)所給的新定義把所給的復數(shù)大小比較問題轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部、虛部之間的大小比較問題來處理．(2)能擅長利用舉反例的方法解決問題．定義一種運算如下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(x1,x2)\a\vs4\al(y1,y2)))＝x1y2－x2y1，則復數(shù)z＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(3)＋i,\r(3)－i)\a\vs4\al(－1,i)))(i是虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是________．解析：z＝(eq\r(3)＋i)i－(eq\r(3)－i)(－1)＝eq\r(3)i＋i2＋eq\r(3)－i＝(eq\r(3)－1)i＋eq\r(3)－1，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i.答案：(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i

1．(2021·山西省第三次四校聯(lián)考)設復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(2,z)＋z2＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：選D.eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋1＋2i＋i2＝1－i＋2i＝1＋i.2．(2022·高考江西卷)若復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：選C.∵z(1＋i)＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,2)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).3．(2021·洛陽市統(tǒng)考)已知復數(shù)eq\f(a＋3i,1－2i)純虛數(shù)，則實數(shù)a＝()A．－2 B．4C．－6 D．6解析：選D.eq\f(a＋3i,1－2i)＝eq\f(a－6＋（2a＋3）i,5)，∴當a＝6時，復數(shù)eq\f(a＋3i,1－2i)為純虛數(shù)．4．(2021·浙江寧波高三期中)已知復數(shù)z＝1＋eq\f(2i,1－i)，則1＋z＋z2＋…＋z2015為()A．1＋i B．1－iC．i D．0解析：選D.z＝1＋eq\f(2i,1－i)＝1＋eq\f(2i（1＋i）,2)＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2015＝eq\f(1×（1－z2016）,1－z)＝eq\f(1－i2016,1－i)＝eq\f(1－i4×504,1－i)＝0.5．設z1，z2是復數(shù)，則下列命題中為假命題的是()A．若|z1－z2|＝0，則eq\o(z1,\s\up6(－))＝eq\o(z2,\s\up6(－))B．若z1＝eq\o(z2,\s\up6(－))，則eq\o(z1,\s\up6(－))＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\o(z1,\s\up6(－))＝z2·eq\o(z2,\s\up6(－))D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析：選D.對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?eq\o(z1,\s\up6(－))＝eq\o(z2,\s\up6(－))，是真命題；對于B，C易推斷是真命題；對于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，則|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命題．6．已知復數(shù)z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在直線x－2y＋m＝0上，則m＝________．解析：z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)＝eq\f(4＋2i,2i)＝eq\f(（4＋2i）i,2i2)＝1－2i，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1，－2)，將其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－57．已知復數(shù)z＝1－i，則eq\f(z2－2z,z－1)＝________．解析：eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(（z－1）2－1,z－1)＝z－1－eq\f(1,z－1)＝(－i)－eq\f(1,－i)＝－i－eq\f(i,－i·i)＝－2i.答案：－2i8