【優(yōu)化設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)(人教版必修4)第一章章末綜合檢測(cè)

(時(shí)間：100分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的)1．下列角中終邊與330°相同的角是()A．30° B．－30°C．630° D．－630°解析：選B.與330°終邊相同的角為{α|α＝330°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－30°.2．半徑為πcm，圓心角為60°所對(duì)的弧長是()A.eq\f(π,3)cm B.eq\f(π2,3)cmC.eq\f(2π,3)cm D.eq\f(2π2,3)cm解析：選B.l＝|α|·r＝eq\f(π,3)×π＝eq\f(π2,3)(cm)，故選B.3．已知角θ的終邊過點(diǎn)(4，－3)，則cos(π－θ)＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B.∵角θ的終邊過(4，－3)，∴cosθ＝eq\f(4,5).∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－eq\f(4,5).4．已知tanα＝2，則eq\f(cos（π＋α）,cos（\f(π,2)＋α）)的值為()A．－eq\f(1,2) B．－2C.eq\f(1,2) D．2解析：選C.eq\f(cos（π＋α）,cos（\f(π,2)＋α）)＝eq\f(－cosα,－sinα)＝eq\f(1,tanα)＝eq\f(1,2).5．把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長度，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)()A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)解析：選A.y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))))，向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長度后為y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)＋\f(π,8)))))＝sin2x，為奇函數(shù)，故選A.6．假如cos(π＋A)＝－eq\f(1,2)，那么sin(eq\f(π,2)＋A)＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選B.cos(π＋A)＝－cosA＝－eq\f(1,2)，則cosA＝eq\f(1,2)，sin(eq\f(π,2)＋A)＝cosA＝eq\f(1,2).7．函數(shù)y＝sin(3x＋eq\f(3π,4))的圖象的一條對(duì)稱軸是()A．x＝－eq\f(π,12) B．x＝－eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,8) D．x＝－eq\f(5π,4)解析：選A.令3x＋eq\f(3,4)π＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x＝－eq\f(π,12)＋eq\f(1,3)kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－eq\f(π,12).8．函數(shù)y＝tan(eq\f(π,2)－x)(x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]且x≠0)的值域?yàn)?)A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)解析：選B.∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)－x≤eq\f(3π,4)且eq\f(π,2)－x≠eq\f(π,2).由函數(shù)y＝tanx的單調(diào)性，可得y＝tan(eq\f(π,2)－x)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．已知函數(shù)f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))(x∈R)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期是2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析：選D.由于y＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx，所以T＝2π，A正確；y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是減函數(shù)，y＝－cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，B正確；由圖象知y＝－cosx關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，C正確；y＝－cosx是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選D.10．當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，則函數(shù)y＝f(eq\f(3π,4)－x)是()A．奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,2)，0)對(duì)稱B．偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱C．奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D．偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,2)，0)對(duì)稱解析：選C.當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即eq\f(π,4)＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ＝－eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(x－eq\f(3π,4))(A＞0)，所以y＝f(eq\f(3π,4)－x)＝Asin(eq\f(3π,4)－x－eq\f(3π,4))＝－Asinx，所以函數(shù)為奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱，故選C.二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上)11．已知函數(shù)y＝3cos(π－x)，則當(dāng)x＝________時(shí)函數(shù)取得最大值．答案：2kπ＋π(k∈Z)12.eq\f(cos（－585°）,sin495°＋sin（－570°）)的值等于________．解析：原式＝eq\f(cos（360°＋225°）,sin（360°＋135°）－sin（360°＋210°）)＝eq\f(cos（180°＋45°）,sin（180°－45°）－sin（180°＋30°）)＝eq\f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq\r(2)－2.答案：eq\r(2)－213．一正弦曲線的一個(gè)最高點(diǎn)為(eq\f(1,4)，3)，從相鄰的最低點(diǎn)到這個(gè)最高點(diǎn)的圖象交x軸于點(diǎn)(－eq\f(1,4)，0)，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－3，則這一正弦曲線的解析式為________．解析：由題知A＝3，由T＝4×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))))＝2，求得ω＝π，再利用當(dāng)x＝eq\f(1,4)時(shí)，πx＋φ＝eq\f(π,2)，求出φ＝eq\f(π,4).答案：y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4)))14．函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))恒成立，設(shè)g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________．解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))，∴函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝±3.∴h(x)＝3cos(ωx＋φ)關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對(duì)稱，即heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝0.∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋1＝1.答案：115．已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))在(eq\f(π,2)，π)上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．解析：由于ω＞0，f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))在(eq\f(π,2)，π)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))的周期T≥2(π－eq\f(π,2))＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2.由于eq\f(π,2)＜x＜π，所以eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,4)＜ωx＋eq\f(π,4)＜ωπ＋eq\f(π,4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜ω≤2，,\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)，))解得eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).答案：[eq\f(1,2)，eq\f(5,4)]三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．已知f(α)＝eq\f(sin2（π－α）·cos（2π－α）·tan（－π＋α）,sin（－π＋α）·tan（－α＋3π）).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,（－sinα）（－tanα）)＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝eq\f(1,8)可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).又∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0.∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).17．已知函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x值．解：(1)令2kπ－π≤3x＋eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，解得eq\f(2kπ,3)－eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,12)(k∈Z)．∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,3)－\f(5π,12)，\f(2kπ,3)－\f(π,12)))(k∈Z)．(2)當(dāng)3x＋eq\f(π,4)＝2kπ－π(k∈Z)時(shí)，f(x)取最小值－2.即x＝eq\f(2kπ,3)－eq\f(5π,12)(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2.18.如圖，一個(gè)水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，假如從水輪上點(diǎn)P從水中毀滅時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開頭計(jì)算時(shí)間．(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多長時(shí)間？解：(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)角φ(－eq\f(π,2)＜φ＜0)是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角．OP每秒鐘所轉(zhuǎn)過的角為eq\f(5×2π,60)＝eq\f(π,6)，則OP在時(shí)間t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為eq\f(π,6)t.由題意可知水輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，得z＝4sin(eq\f(π,6)t＋φ)＋2.當(dāng)t＝0時(shí)，z＝0，得sinφ＝－eq\f(1,2)，即φ＝－eq\f(π,6).故所求的函數(shù)關(guān)系式為z＝4sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＋2.(2)令z＝4sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＋2＝6，得sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＝1，令eq\f(π,6)t－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，得t＝4，故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要4s.19．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一條對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ.(2)求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間．(3)畫出f(x)在[0，π]上的圖象．解：(1)由于函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(π,8)，所以2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.由于－π＜φ＜0，所以φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－eq\f(3π,4))，eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，即eq\f(5π,8)＋kπ≤x≤eq\f(9π,8)＋kπ，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)＋kπ，\f(9π,8)＋kπ))(k∈Z)．(