【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第3章-第4節(jié)-定積分與微積分基本定理(理)

第三章第四節(jié)一、選擇題1．(2021·煙臺市期中)若a＝sinxdx，b＝eq\i\in(0,1,)cosxdx，則a與b的關(guān)系是()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＋b＝0[答案]A[解析]解法一：如圖知，y＝sinx與y＝cosx的交點(diǎn)為(eq\f(π,4)，eq\f(\r(2),2))，由對稱性及定積分的幾何意義知a<b.解法二：a＝sinxdx＝(－cosx)＝cos1，b＝eq\i\in(0,1,)cosxdx＝sinx|eq\o\al(1,0)＝sin1，∵1>eq\f(π,4)，∴cos1<sin1，∴a<b.2．(2021·石家莊五校聯(lián)合體摸底)計(jì)算(1－cosx)dx＝()A．π＋2 B．π－2C．π D．－2[答案]B[解析](1－cosx)dx＝(x－sinx)＝(eq\f(π,2)－sineq\f(π,2))－[－eq\f(π,2)－sin(－eq\f(π,2))]＝π－2.3．(2021·北京朝陽區(qū)期中)曲線y＝eq\f(1,x)與直線x＝1，x＝e2及x軸所圍成的圖形的面積是()A．e2 B．e2－1C．e D．2[答案]D[解析]所求面積4．(2022·河南南陽第一中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(x0)，則x0＝()A．±1 B.eq\r(2)C．±eq\r(3) D．2[答案]C[解析]由于eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝eq\i\in(0,3,)(ax2＋b)dx＝(eq\f(1,3)ax3＋bx)|eq\o\al(3,0)＝9a＋3b,3f(x0)＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以9a＋3b＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以xeq\o\al(2,0)＝3，x0＝±eq\r(3)，故選C.5.(2022·廣東深圳調(diào)研)如圖所示，在矩形OABC內(nèi)：記拋物線y＝x2＋1與直線y＝x＋1圍成的區(qū)域?yàn)镸(圖中陰影部分)．隨機(jī)往矩形OABC內(nèi)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,18) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]依據(jù)定積分學(xué)問可得陰影部分面積S＝eq\i\in(0,1,)[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝eq\f(1,6)，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為面積型幾何概型，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(1,6),2)＝eq\f(1,12)，故選B.6．(2022·廣東中山試驗(yàn)高中段考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－1≤x≤0,cosx0<x≤\f(π,2)))，則∫eq\f(π,2)－1f(x)dx＝()A.eq\f(3,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2)[答案]A7.eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx＝()A．4π B．2πC．π D．eq\f(π,2)[答案]C[解析]令y＝eq\r(4－x2)，則x2＋y2＝4(y≥0)，由定積分的幾何意義知所求積分為圖中陰影部分的面積，∴S＝eq\f(1,4)×π×22＝π.8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n，函數(shù)f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt，若f(x)<a3，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，＋∞)) B．(0，e21)C．(e－11，e) D．(0，e11)[答案]D[解析]f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt＝lnt|eq\o\al(x,1)＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.二、填空題9．(2022·河北名校名師俱樂部模擬)已知在函數(shù)f(x)＝ex2＋aex圖象上點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為e，則eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝________.[答案]1－eq\f(2,3)e[解析]f′(x)|x＝1＝(2ex＋aex)|x＝1＝2e＋ae＝e?a＝－1，則eq\i\in(0,1,)(ex2－ex)dx＝(eq\f(1,3)ex3－ex)|eq\o\al(1,0)＝1－eq\f(2,3)e.10.(2022·山西高校附中月考)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________.[答案]eq\f(4,π3)[解析]圓的面積S＝π3，區(qū)域M的面積S′＝2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2(－cosx)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(π,0)＝2(－cosπ＋cos0)＝4，故所求概率P＝eq\f(4,π3).一、選擇題11．(2022·河源龍川一中月考)如圖所示，在一個(gè)邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y＝x2和曲線y＝eq\r(x)圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)[答案]D[解析]依題意知，題中的正方形區(qū)域的面積為12＝1，陰影區(qū)域的面積等于eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝(eq\f(2,3)xeq\s\up10(\f(3,2))－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，因此所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率等于eq\f(1,3)，選D.12．(2022·撫順六校聯(lián)合體期中)設(shè)(eq\f(1,x)＋x2)3的開放式中的常數(shù)項(xiàng)為a，則直線y＝ax與直線y＝x2圍成圖形的面積為()A.eq\f(27,2) B．9C.eq\f(9,2) D．eq\f(27,4)[答案]C[解析](eq\f(1,x)＋x2)3，即(x2＋eq\f(1,x))3的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)(x2)3－r(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,3)x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常數(shù)項(xiàng)為3.則直線y＝3x與曲線y＝x2圍成圖形的面積為S＝eq\i\in(0,3,)(3x－x2)dx＝(eq\f(3,2)x2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).故選C.13．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1－1≤x<0，,cosx0≤x<\f(π,2)，))的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的封閉圖形的面積為a，則a的值為()A.eq\f(2＋π,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(3,2)[答案]D[解析]由圖可知a＝eq\f(1,2)＋cosxdx＝eq\f(1,2)＋sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝eq\f(3,2).14．(2021·遵義航天中學(xué)二模)在由y＝0，y＝1，x＝0，x＝π四條直線圍成的區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，這點(diǎn)沒有落在y＝sinx和x軸圍成區(qū)域內(nèi)的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D．eq\f(3,π)[答案]A[解析]四條直線圍成區(qū)域的面積S＝π，其中曲線y＝sinx與x軸圍成區(qū)域的面積S1＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝(－cosx)|eq\o\al(π,0)＝2，∴所求概率P＝eq\f(S－S1,S)＝eq\f(π－2,π)，故選A.15．(2021·莆田市仙游一中期中)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區(qū)間[－1,1]的正交函數(shù)的組數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝(－eq\f(1,2)cosx)|eq\o\al(1,－1)＝0，∴①中f(x)與g(x)為正交函數(shù)；②eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝(eq\f(1,3)x3－x)|eq\o\al(1,－1)＝－eq\f(4,3)，∴②中f(x)與g(x)不是正交函數(shù)；③eq\i\in(－1,1,)(x·x2)dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx＝(eq\f(1,4)x4)|eq\o\al(1,－1)＝0，∴③中f(x)與g(x)為正交函數(shù)．二、填空題16．(2022·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)設(shè)a＝eq\i\in(－π,0,)(sinx－cosx)dx，則二項(xiàng)式(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))8開放式中的常數(shù)項(xiàng)是________．(用數(shù)字作答)[答案]1120[解析]a＝eq\i\in(－π,0,)(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(0,－π)＝－2，∴二項(xiàng)式(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))8＝(eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x)))8，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－r(eq\f(2,\r(x)))r＝2rCeq\o\al(r,8)x4－r，令4－r＝0，∴r＝4∴常數(shù)項(xiàng)為24×Ceq\o\al(4,8)＝16×70＝1120.三、解答題17．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，直線l1：x＝1，l2：y＝et－1(t為常數(shù)，且0≤t≤1)．直線l1，l2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域Ⅱ所示，其面積用S2表示．直線l2，y軸與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域Ⅰ所示，其面積用S1表示．當(dāng)t變化時(shí)，陰影部分的面積的最小值為________．[答案](eq\r(e)－1)2[解析]由題意得S1＋S2＝eq\i\in(0,t,)(et－1－ex＋1)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－1－et＋1)dx＝eq\i\in(0,t,)(et－ex)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－et)dx＝(xet－ex)|eq\o\al(t,0)＋(ex－xet)|eq\o\al(1,t)＝(2t－3)et＋e＋1，