【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：8.5

第八章8.5第5課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．已知不同直線(xiàn)m、n及不重合平面P、Q，給出下列結(jié)論：①m?P，n?Q，m⊥n?P⊥Q②m?P，n?Q，m∥n?P∥Q③m?P，n?P，m∥n?P∥Q④m⊥P，n⊥Q，m⊥n?P⊥Q其中的假命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案C解析①為假命題，m不愿定與平面Q垂直，所以平面P與Q不愿定垂直．命題②與③為假命題，②中兩平面可以相交，③沒(méi)有任何實(shí)質(zhì)意義．只有④是真命題，由于兩平面的垂線(xiàn)所成的角與兩平面所成的角相等或互補(bǔ)．2．命題p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，則必有α∥γ；命題q：若平面α上不共線(xiàn)的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則必有α∥β.對(duì)以上兩個(gè)命題，下列結(jié)論中正確的是()A．命題“p∧q”為真B．命題“p∨q”為假C．命題“p∨q”為真D．命題“綈p或非q”為假答案B解析據(jù)題意可知對(duì)于命題p，明顯與一平面都垂直的兩平面的位置關(guān)系是平行或相交，如將一本書(shū)打開(kāi)，每一張紙所在平面都與桌面垂直，但這些平面相交，即命題p是假命題；對(duì)命題q，只需使平面α內(nèi)的兩點(diǎn)連線(xiàn)與平面β平行，使第三點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線(xiàn)與平面β的交點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)即可滿(mǎn)足條件，故命題q是假命題；A.由于p和q都是假命題，因此命題：“p且q”應(yīng)為假命題；B.由于p和q都是假命題，故“p或q”應(yīng)為假命題．故B正確；C錯(cuò)誤；D.由于p和q都是假命題，故非p和非q都是真命題，從而“非p或非q”為真命題，故D是錯(cuò)誤的．3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿著AE和AF及EF把正方形折成一個(gè)四周體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在四周體A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE∵B、C、D重合記為H∴AH⊥HF，AH⊥HE∴AH⊥面EFH.4．設(shè)m、n是兩條不同的直線(xiàn)，α、β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；②若m∥α，α⊥β，則m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，則m∥α或m?α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β.則其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．答案①③④解析①③④正確．②中，可能有m∥β，故②不正確．5．若平面α，β，滿(mǎn)足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中的假命題為()A．過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線(xiàn)平行于平面βB．過(guò)點(diǎn)P在平面α內(nèi)作垂直于l的直線(xiàn)必垂直于平面βC．過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線(xiàn)在平面α內(nèi)D．過(guò)點(diǎn)P垂直于直線(xiàn)l的直線(xiàn)在平面α內(nèi)答案D解析依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得選項(xiàng)B、C正確．對(duì)于A，由于過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線(xiàn)必平行于β內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)，因此平行于平面β.因此A正確．6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)PA．線(xiàn)段B1B．線(xiàn)段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線(xiàn)段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線(xiàn)段答案A解析BD1⊥平面AB1C.7．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在面ABC上的射影H必在()A．直線(xiàn)AB上B．直線(xiàn)BC上C．直線(xiàn)CA上D．△ABC內(nèi)部答案A解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴過(guò)C1作垂直于平面ABC的直線(xiàn)在平面ABC1內(nèi)，∴H∈AB.二、解答題8．(09·江蘇)設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：(1)若α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于β內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則α平行于β；(2)若α外一條直線(xiàn)l與α內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則l和α平行；(3)設(shè)α和β相交于直線(xiàn)l，若α內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于l，則α和β垂直；(4)直線(xiàn)l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線(xiàn)垂直．上面命題中，真命題的序號(hào)是________．(寫(xiě)出全部真命題的序號(hào))答案(1)(2)解析(1)α內(nèi)兩條相交直線(xiàn)分別平行于平面β，則兩條相交直線(xiàn)確定的平面α平行于平面β，正確．(2)平面α外一條直線(xiàn)l與α內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則l平行于α，正確．(3)如圖，α∩β＝l，a?α，a⊥l，但不愿定有α⊥β，錯(cuò)誤．(4)直線(xiàn)l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，而該命題缺少“相交”兩字，故為假命題．綜上所述，真命題的序號(hào)為(1)(2)．9．如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正確．三、解答題10．四周體ABCD中，AC＝BD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)AC，∠BDC＝90°.求證：BD⊥平面ACD.證明如圖所示，取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG、EF.∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，∴EG綊eq\f(1,2)AC，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)BD.又AC＝BD，∴FG＝eq\f(1,2)AC.∴在△EFG中，EG2＋FG2＝eq\f(1,2)AC2＝EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD.11.如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(Ⅰ)求證：AB⊥DE；(Ⅱ)求三棱錐E－ABD的側(cè)面積．解析(Ⅰ)在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB)＝2eq\r(3).∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，AB⊥DE.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2eq\r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq\f(1,2)DB·DE＝2eq\r(3).又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝4.綜上，三棱錐E－ABD的側(cè)面積S＝8＋2eq\r(3).12．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．(1)證明D1E⊥A1D；(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離．解析(1)由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1知，AE⊥平面AA1D1D，∵A1D?平面AA1D1D，∴AE⊥A1D.又∵AD＝AA1，∴四邊形AA1D1D是正方形，∴A1D⊥AD1.又∵AD1∩AE＝A，∴A1D⊥平面AD1E，又∵D1E?平面AD1E，∴D1E⊥A1D.(2)設(shè)點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC＝CD1＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2)，AD1上的高為eq\r((\r(5))2－(\f(\r(2),2))2)，∴S△AD1C＝eq\f(1,2)·eq\r(2)·eq\r((\r(5))2－(\f(\r(2),2))2)＝eq\f(3,2)，而S△AEC＝eq\f(1,2)AE·BC＝eq\f(1,2)，∵VD1－AEC＝eq\f(1,3)S△AEC·DD1＝eq\f(1,3)S△AD1C·h，∴eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)×h，∴h＝eq\f(1,3)，∴點(diǎn)E到平面ACD1的距離是eq\f(1,3).13．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.證明(1)取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP、BP，∵F為CD的中點(diǎn)，∴FP∥DE，且FP＝eq\f(1,2)DE.又AB∥DE，且AB＝eq\f(1,2)DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP.又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD.又AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.14．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.解析(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.由于EF∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f(1,2)AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.由于EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)連結(jié)FG.由于EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四邊形CEFG為菱形，所以CF⊥EG.由于四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC，又由于平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.15．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面AB