【全程復(fù)習(xí)方略】2022屆高考數(shù)學(xué)(文科人教A版)大一輪課時(shí)作業(yè)：3.7-正弦定理和余弦定理-

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二、填空題(每小題5分,共15分)6.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,B=π6,c=23,則b=【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×23cosπ6答案:2【加固訓(xùn)練】若A=60°,a=7,b=5,則c=.【解題提示】直接用余弦定理列出關(guān)于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=25+c2-2×5×c×cos60°,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2021·黃山模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若acosA=bsinB,則sinAcosA+cos2B=.【解析】由正弦定理,得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案:18.已知銳角三角形的三邊長分別為2,3,x,則x的取值范圍是.【解題提示】由較大的邊對(duì)的角都是銳角,依據(jù)余弦定理列不等式組求解.【解析】由于2<3,所以只需22+x2>32答案:(5,13)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2022·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(2)求sin(A+)的值.【解題提示】依據(jù)三角函數(shù)的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)由于A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b·,由于b=3,c=1,所以a2=12即a=2.(2)由余弦定理得cosA=由于0<A<π,所以sinA=故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=10.(2021·日照模擬)在△ABC中,邊a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且滿足:bcosC=(3a-c)cosB.(1)求cosB.(2)若BC→·BA→=4,b=42,【解析】(1)在△ABC中,由于bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB,所以3sinA·cosB-sinC·cosB=sinBcosC,化為:3sinA·cosB=sinC·cosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.由于在△ABC中,sinA≠0,故cosB=13(2)由BC→·BA可得a·c·cosB=4,即ac=12.①再由余弦定理可得b2=32=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-2ac3,即a2+c2由①②求得a=2,c=6;或者a=6,c=2.綜上可得,a=2,c=6【加固訓(xùn)練】(2021·天津模擬)已知銳角△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,tanA=(1)求A的大小.(2)求cosB+cosC的取值范圍.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,所以tanA=由于A∈(0,),所以A=.(2)由于△ABC為銳角三角形且B+C=,所以<B=-C<,cosB+cosC=cosB+cos(-B)=cosB+coscosB+sinsinB=cosB+sinB=sin(B+).由于<B+<,所以<sin(B+)≤1,即cosB+cosC的取值范圍是(,1].(20分鐘40分)1.(5分)(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b=A.10 B.9 C.8 D.5【解析】選D.由于23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2由于△ABC為銳角三角形,所以cosA=,sinA=.由正弦定理得,sinC=,cosC=.又B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得,,解得b=5.【一題多解】本題還可如下解答選D.由于23cos2A+cos2A所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A由于△ABC為銳角三角形,所以cosA=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即49=b2+36-b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去),故b=5.2.(5分)(2021·合肥模擬)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,則()A.a,b,c成等差數(shù)列 B.a,b,c成等比數(shù)列C.a,c,b成等差數(shù)列 D.a,c,b成等比數(shù)列【解析】選B.由cos2B+cosB+cos(A-C)=1變形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,由于cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos2B=1-2sin2B,所以上式化簡得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,所以2sinAsinC=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,由正弦定理得:ac=b2,則a,b,c成等比數(shù)列.故選B.3.(5分)(2021·泉州模擬)在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=23,A=π3,則此三角形周長的最大值為【解析】由于a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2-bc=12,(b+c)2=12+3bc≤12+3b+c即(b+c)2≤48,b+c≤43,故a+b+c≤23+43=63,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=23時(shí),“=”成立.答案:634.(12分)(力氣挑戰(zhàn)題)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2b·cosA=c·cosA+a·cosC.(1)求角A的大小.(2)若a=7,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑),則已知等式可化為2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,又sinB≠0,所以cosA=12,A=60°(2)(b+c)2=16,即b2+c2+2bc=16(*),又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2-bc=7,代入(*)式得bc=3.【方法技巧】推斷三角形的外形的思路與依據(jù)(1)思路:必需從爭辯三角形的邊與邊的關(guān)系,或角的關(guān)系入手,充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化邊為角或化角為邊,使邊角統(tǒng)一.(2)推斷依據(jù):①等腰三角形:a=b或A=B.②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.③鈍角三角形:a2>b2+c2,A>90°.④銳角三角形:若a為最大邊,且滿足a2<b2+c2或A為最大角,且A<90°.5.(13分)(2022·湖南高考)如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=(1)求sin∠CED的值.(2)求BE的長.【解題提示】利用正余弦定理和三角變換公式求解.【解析】設(shè)∠CED=α,(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,于是由題設(shè)知,7=CD2+1