【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1：第三章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-單元同步測(cè)試

第三章測(cè)試題(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是()A．7米/秒 B．5米/秒C．6米/秒 D．4米/秒答案B2．若二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且它的導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)的圖象是經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的一條直線，則y＝f(x)的圖象頂點(diǎn)在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析設(shè)f(x)＝ax2＋bx＝a(x2＋eq\f(b,a)x)＝a(x＋eq\f(b,2a))2－eq\f(b2,4a)，頂點(diǎn)(－eq\f(b,2a)，－eq\f(b2,4a))，f′(x)＝2ax＋b過(guò)第一、二、三象限的一條直線，∴b>0，a>0，∴－eq\f(b,2a)<0，－eq\f(b2,4a)<0，∴頂點(diǎn)在第三象限．答案C3．曲線y＝x3－2x＋4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．60° D．120°解析y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴傾斜角為45°.答案B4．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x＋3在區(qū)間[a,2]上的最大值為eq\f(15,4)，則a等于()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)解析f(x)＝－(x＋1)2＋4.f(x)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝－1，當(dāng)x＝－1，f(－1)＝4>eq\f(15,4)，∴a>－1.∴f(x)在[a,2]是減函數(shù)．∴f(a)＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)，或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．答案C5．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則這樣的切線()A．有1條 B．有2條C．多于2條 D．不確定解析令f′(x)＝3x2＝3，得x＝±1，故應(yīng)有2條．答案B6．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為()A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)解析f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－2x－4,x)>0，∵x>0，∴2x2－2x－4>0，即x2－x－2>0.解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2.答案C7．函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象為()答案D8．定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f′(x)·x<f(x)，且f(2)＝0，則eq\f(fx,x)>0的解集為()A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．?解析[eq\f(fx,x)]′＝eq\f(f′x·x－fx,x2)<0，∴eq\f(fx,x)為減函數(shù)，∵f(2)＝0，∴eq\f(f2,2)＝0.∴eq\f(fx,x)>0的解為0<x<2，故選A.答案A9．下列圖象中有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∵a≠0，∴圖象應(yīng)為(3)．此時(shí)f′(0)＝a2－1＝0，又－a>0，∴a<0，∴a＝－1.∴f(－1)＝－eq\f(1,3).答案B10．已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，且f(x1)＋f(x2)>0，則下列不等式中正確的是()A．x1>x2 B．x1<x2C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<0解析易知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，由f(x1)＋f(x2)>0?f(x1)>－f(x2)?f(x1)>f(－x2)?x1>－x2?x1＋x2>0.答案C11．曲線y＝x3上一點(diǎn)B處的切線l交x軸于點(diǎn)A，△OAB(O是原點(diǎn))是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，則切線l的傾斜角為()A．30° B．45°C．60° D．120°解析設(shè)B(x0，xeq\o\al(3,0))，由于y′＝3x2，故切線l的方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，令y＝0得點(diǎn)A(eq\f(2x0,3)，0)，由|OA|＝|AB|，得(eq\f(2x0,3))2＝(x0－eq\f(2x0,3))2＋(xeq\o\al(3,0)－0)2，當(dāng)x0＝0時(shí)，題目中的三角形不存在，故得xeq\o\al(4,0)＝eq\f(1,3)，故xeq\o\al(2,0)＝eq\f(\r(3),3)，直線l的斜率為3xeq\o\al(2,0)＝eq\r(3)，故直線l的傾斜角為60°.答案C12．若a，b在區(qū)間[0,eq\r(3)]上取值，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),6) D．1－eq\f(\r(3),6)解析易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件是a≠0，且其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，即a≠0，且4b2－12a2又a，b在區(qū)間[0，eq\r(3)]上取值，則a>0，b>eq\r(3)a，點(diǎn)(a，b)滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中正方形區(qū)域的面積為3，陰影部分的面積為eq\f(\r(3),2)，故所求的概率是eq\f(\r(3),6).答案C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．已知曲線y＝x2－1在x＝x0點(diǎn)處的切線與曲線y＝1－x3在x＝x0點(diǎn)處的切線相互平行，則x0的值為_(kāi)_______．解析y＝x2－1的導(dǎo)數(shù)為y′＝2x，y＝1－x3的導(dǎo)數(shù)為y′＝－3x2，∴由題可知2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，∴x0＝0，或x0＝－eq\f(2,3).答案0或－eq\f(2,3)14．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析f′(x)＝3x2＋a，由題可知f′(x)＝0有兩個(gè)不等的根，∴a<0.答案(－∞，0)15．若f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，則不等式f(x)>0的解集是________．解析由題可設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝3，,2b＝－6，,c＝0，,d＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，,c＝0，,d＝4.))∴f(x)＝x3－3x2＋4＝x3＋x2－4(x2－1)．＝x2(x＋1)－4(x－1)(x＋1)＝(x＋1)(x－2)2，∴f(x)>0的解為x>－1，且x≠2.答案{x|x>－1，且x≠2}16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋a,x＋2)在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析由題可知，函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋a,x＋2)在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝eq\f(3x＋2－3x＋a,x＋22)＝eq\f(6－a,x＋22)在(－2，＋∞)上小于零，解得a>6.答案(6，＋∞)三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)求函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3>0，∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)．故x＝－1時(shí)，f(x)min＝－12；x＝1時(shí)，f(x)max＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.18．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8(a∈R)，若f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝1.(1)當(dāng)a<1時(shí)，則x<a或x>1時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上是增函數(shù)．故當(dāng)0≤a<1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．(2)當(dāng)a≥1時(shí)，則x<1或x>a時(shí)，f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上是增函數(shù)．從而f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．綜上可知，當(dāng)a∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在區(qū)間(－∞，＋∞)上有極大值eq\f(28,3).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)的微小值．解f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0得，x＝－2，或x＝2.故f(x)的增區(qū)間為(－∞，－2)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(－2,2)．(1)當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得極大值，故f(－2)＝－eq\f(8,3)＋8＋m＝eq\f(28,3)，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4又當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有微小值f(2)＝－eq\f(4,3).20．(12分)已知某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C＝25000＋200x＋eq\f(1,40)x2(元)．(1)要使平均成本最低應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解(1)設(shè)平均成本為y，則y＝eq\f(25000＋200x＋\f(1,40)x2,x)＝eq\f(25000,x)＋eq\f(x,40)＋200，y′＝－eq\f(25000,x2)＋eq\f(1,40).令y′＝0，得x＝1000.當(dāng)x<1000時(shí)，y′<0；當(dāng)x>1000時(shí)，y′>0.∴當(dāng)x＝1000時(shí)，y取得微小值，也是最小值．因此，要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品．(2)設(shè)利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)，則L(x)＝500x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25000＋200x＋\f(x2,40)))＝300x－25000－eq\f(x2,40)，L′(x)＝300－eq\f(x,20).令L′(x)＝0，得x＝6000.當(dāng)x<6000時(shí)，L′(x)>0；當(dāng)x>6000時(shí)，L′(x)<0，∴當(dāng)x＝6000時(shí)，L(x)取得極大值，也是最大值．因此，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(a－2,2)x2－2ax－3，g(a)＝eq\f(1,6)a3＋5a－7.(1)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上不單調(diào)，且x∈[－2,0]時(shí)，不等式f(x)<g(a)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x－3，定義域?yàn)镽，f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)．令f′(x)>0，得x<－1，或x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－a.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上不單調(diào)，∴－a∈(－2,0)，即0<a<2.又∵在(－2，－a)上，f′(x)>0，在(－a,0)上，f′(x)<0，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化狀況如下表：x－2(－2，－a)－a(－a,0)0f′(x)＋0－f(x)f(－2)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減f(0)∴f(x)在[－2,0]上有唯一的極大值點(diǎn)x＝－a.∴f(x)在[－2,0]上的最大值為f(－a)．∴當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，不等式f(x)<g(a)恒成立，等價(jià)于f(－a)<g(a)．∴－eq\f(1,3)a3＋eq\f(a－2,2)×a2＋2a2－3<g(a)．∴eq\f(1,6)a3＋a2－3<eq\f(1,6)a3＋5a－7.∴a2－5a＋4<0，解得1<a綜上所述，a的取值范圍是(1,2)．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x>1時(shí)，eq\f(1,2)x2＋lnx<eq\f(2,3)x3是否恒成立，并說(shuō)明理由．解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由題意得f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x>0)，∴當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)＝eq\f(x－\r(a)x＋\r(a),x).∴當(dāng)0<x<eq\r(a)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>eq\r(a)時(shí)，f′(x)>0.∴當(dāng)a>0時(shí)