【全程復習方略】2020-2021學年高中數學(北師大版)必修二課時作業(yè)-1.4.2空間圖形的公理2

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(五)空間圖形的公理(公理4、定理)一、選擇題(每小題3分，共18分)1.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是()A.平行或異面 B.相交或異面C.異面 D.相交【解析】選B.假設a與b是異面直線，而c∥a，則c明顯與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，沖突)，因此c與b可能相交或異面.2.如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關系是()A.平行B.相交C.異面D.平行或異面【解析】選A.由于E，F分別是SN和SP的中點，所以EF∥PN.同理可證HG∥PN.所以EF∥HG.3.(2022·焦作高一檢測)有下面說法：①若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；②若a∥b，則a，b與c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中正確的個數是()A.0 B.3 C.2 【解析】選D.①③中a，c異面、平行、相交都可能，只有②正確.【拓展延長】學好立體幾何的好幫手——長方體模型長方體是立體幾何中常見的模型之一，很多點、線和面的關系的例子可以從中查找，我們的教室就可以抽象成一個長方體，墻角是長方體的頂點，墻面是長方體的面，墻的邊就是長方體的棱，學會從長方體中查找位置關系是學習立體幾何必備的數學素養(yǎng).4.(2022·阜陽高一檢測)如圖，空間四邊形ABCD中，AE=2BE，BF=12CF，CG=2GD，DH=12AH，A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.梯形【解析】選A.由題意BEAE=12，B所以BEAE=BF所以EF13AC，同理HG13AC，所以EFHG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.5.如圖，平面α與平面β交于EF，C∈EF，C′∈EF，ACα，A′C′α，BCβ，B′C′β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠BCA=120°，則∠B′C′A′=()A.0° B.60°C.120° D.60°或120°【解析】選C.結合圖形，由AC∥A′C′，BC∥B′C′，依據定理，有∠B′C′A′=∠BCA=120°.6.(2022·濟源高一檢測)四周體S-ABC中，各個側面都是邊長為a的正三角形，E，F分別是SC和AB的中點，則異面直線EF與SA所成的角等于()A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】選C.取SB的中點G，則GE=GF=a2，在△SFC中，EF=22a，所以GE2+GF2=EF2，所以∠EFG=45【拓展延長】構造異面直線所成的角的方法(1)過其中一條直線上的已知點(往往是特殊點)作另一條直線的平行線，使異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角(或其補角).(2)當異面直線依附于某幾何，且直接對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，將兩條異面直線分別平移相交于該點.(3)當兩條異面直線相互垂直時，欲求它們所成的角，實際上是要通過證明來計算.二、填空題(每小題4分，共12分)7.假如兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐所在的12條直線中，異面直線共有________對.【解析】六條側棱不是異面直線，一條側棱與底面六邊形的兩邊相交，與另四條邊異面，這樣異面直線一共有4×6=24(對).答案：248.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，則異面直線B1C1與AC所成的角為【解析】如圖，由于BC∥B1C1，所以∠ACB為異面直線B1C1由于∠ABC=90°，AB=BC=1，所以∠ACB=45°，所以異面直線B1C1與AC所成的角為45°答案：45°【變式訓練】已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，AA1=2，則異面直線BD與AB1所成角的余弦值為________【解析】如圖，連結B1D1，AD1.由于BD∥B1D1，所以∠AB1D1為異面直線BD與AB1所成的角(或其補角).在△AB1D1中AB1=AD1=5，B1D1=2，所以cos∠AB1D1=225=答案：109.四周體P-ABC中，PA⊥BC，E，F分別為PC，AB上任一點，若EF與PA，BC所成的角分別為α，β，則α+β=________.【解析】本題可利用特例法.如圖，若E，F為中點時，取AC的中點M，連接EM，FM，所以EM∥PA，FM∥BC，所以∠FEM=α，∠EFM=β，由于PA⊥BC，所以EM⊥FM，所以α+β=90°.答案：90°三、解答題(每小題10分，共20分)10.(2022·南昌高一檢測)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分別是棱CC′，BB′，DD′的中點，求證：∠BGC=∠FD′E.【證明】連接BD，B′D′，在平行四邊形BDD′B′中，G，F分別為DD′，BB′的中點，易知GB∥D′F，在平行四邊形CC′D′D中，由于G，E分別為DD′，CC′的中點，易知GC∥D′E.又由于∠BGC和∠FD′E方向相同.所以∠BGC=∠FD′E.11.如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，E，F分別是BD1和AD中點，求異面直線CD1，【解析】取CD1的中點G，連接EG，DG，由于E是BD1的中點，所以EG∥BC，EG=12由于F是AD的中點，且AD∥BC，AD=BC，所以DF∥BC，DF=12所以EG∥DF，EG=DF，所以四邊形EFDG是平行四邊形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.又由于A1A所以四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C且G為CD1的中點，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD=90°，所以異面直線CD1，EF所成的角為90°.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2022·重慶高一檢測)在三棱錐A-BCD中，E，F，G分別是AB，AC，BD的中點，若AD與BC所成的角是60°，那么∠FEG為()A.60° B.30° C.120° D.60°或120°【解析】選D.異面直線AD與BC所成的角可能等于∠FEG，也可能等于∠FEG的補角.2.(2021·南充高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別為邊B1C1，C1C，A1A，A.平行 B.相交C.異面 D.不能確定【解析】選A.連接B1C與A1D，由于E，F為中點，所以EF∥B1C又由于G，H為中點，所以GH∥A1D.簡潔得出A1D∥B1C所以EF∥GH.【舉一反三】若已知條件不變，求GE與FH的位置關系，則結論如何？【解析】選A.由上面解析知EF12B1C，GH12A1又簡潔得出B1CA1D，所以EFGH，所以四邊形EFHG為平行四邊形，所以GE∥FH.3.如圖所示是正方體的平面開放圖.在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是()A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④【解題指南】將平面開放圖還原為正方體后逐一驗證.【解析】選C.將圖還原為正方體如圖所示.由圖可知①BM與ED異面；②CN與BE平行；③CN與BM所成角為60°；④BN⊥DM.4.(2022·廣東高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結論確定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關系不確定【解題指南】由于l2∥l3，所以l1與l4的位置關系可以通過同垂直于一條直線的兩條直線的位置關系加以推斷.【解析】選D.由于l2∥l3，所以l1⊥l3，l3⊥l4.實質上就是l1與l4同垂直于一條直線，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1與l4既不垂直也不平行都有可能成立，故l1與l4的位置關系不確定.二、填空題(每小題5分，共10分)5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下結論①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結論為__________(注：把你認為正確的結論的序號都填上).【解析】直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，直線BN與MB1是異面直線，直線AM與DD1是異面直線，故①②錯誤，③④正確.答案：③④6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1，則AB1與BC1所成的角的大小為________【解析】如圖，連結B1C，設B1C∩BC1連結DE，BE，C1E，由于四邊形BCC1B1是平行四邊形，所以D是B1C所以DE∥AB1，所以∠BDE(或其補角)是AB1與BC1所成的角.不妨設BB1=1，則AB=BC=AC=2，在Rt△CC1E中，C1E=12+(22)在Rt△BCE中，BE=BC·sin60°=2×32=6所以C1E=BE，又D是BC1的中點，所以ED⊥BC1，所以∠BDE=90°，所以AB1與BC1所成的角為90°.答案：90°三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2022·佛山高一檢測)如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BC=12AD，BE∥FA，BE=12FA，G，H分別為FA(1)證明：四邊形BCHG為平行四邊形.(2)C，D，E，F四點是否共面？為什么？【解題指南】(1)只需證BC∥GH，BC=GH.(2)先證四邊形BEFG為平行四邊形，再證明EF∥CH即得.【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GH∥AD，GH=12AD，又BC∥AD，BC=12AD，所以GH(2)C，D，E，F四點共面，證明如下：由BE12FA，G為FA中點知，BEFG，所以四邊形BEFG為平行四邊形.所以EFBG.由(1)知BGCH.所以EFCH，即四邊形EFHC為平行四邊形.所以CE與HF共面，又D∈直線FH.故C，D，E，F四點共面.【變式訓練】如圖所示，兩個三角形ABC和A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且AOOA'=BOOB'=C(1)求證：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求S△ABC【解析】(1)由于AA′與BB′交于點O，且AOOA'=BOOB'=23.所以AB∥同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)由于A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且ABA'B'=AO所以S△ABCS△A'B'C'=28.如圖所示，空間四邊形ABCD中，兩條對邊AB=CD=3，E，F分別是另外兩條對邊AD，BC上的點，且AEED=BFFC=12【解析】如圖，過E作EO∥AB，交BD于點O，連接OF，所以AEED=BOOD，所以B所以OF∥CD.所以∠EOF(或其補角)是AB和CD所成的角.在△EOF中，OE=23AB=2，OF=1又EF=5，所以E