【2021屆備考】2021屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第三期)：F單元-平面向量

F單元平面對(duì)量名目F單元平面對(duì)量 ⑵由可得：整理得：從而（舍去）又，為銳角故，于是【思路點(diǎn)撥】(1)利用正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的內(nèi)角和，誘導(dǎo)公式，將已知等式化為，從而得；（2）由可得,可得的值.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202212）word版】9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，則的取值范圍是 A．[-7，7] B．[-8，8] C．[-9，9] D．[-10，J．O]【學(xué)問點(diǎn)】平面對(duì)量基本定理F2【答案】C【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，那么=，=16+4=20．∴()?=()?

==2以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為（4，0），B的坐標(biāo)為（0，2），由線段的中點(diǎn)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部區(qū)域，故有．令t==（-4，1）?（x-2，y-1）=7-4x+y，即y=4x+t-7．

故當(dāng)直線y=4x+t-7過點(diǎn)A（4，0）時(shí)，t取得最小值為7-16+0=-9，當(dāng)直線y=4x+t-7過點(diǎn)B（0，2）時(shí)，t取得最大值為7-0+2=9，故t=的取值范圍是[-9，9]，【思路點(diǎn)撥】由條件可得=，故()?=()?

=，由此求得()?的值．以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃求得t=的取值范圍．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省嘉興一中等五校2021屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（202212）】15.設(shè)是按先后挨次排列的一列向量，若，且，則其中模最小的一個(gè)向量的序號(hào)▲．【學(xué)問點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算F2【答案】【解析】1002或1001解析：由于，所以，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，又n為正整數(shù)，所以當(dāng)n=1002或1001時(shí)模最小.【思路點(diǎn)撥】可以借助于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出向量的一般形式，再借助于二次函數(shù)求最值.F3平面對(duì)量的數(shù)量積及應(yīng)用【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（202211）word版】6．（原創(chuàng)）在△ABC中，已知，，則的值為（）A． B． C． D．【學(xué)問點(diǎn)】三角形面積公式；向量的數(shù)量積.F3【答案】【解析】D解析：=所以=，故選D.【思路點(diǎn)撥】由三角形的面積公式求得sinA，進(jìn)而得到cosA，再用向量數(shù)量積公式求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（202212）word版】8．已知等邊△ABC中，點(diǎn)P在線段AB上，且，若··，則實(shí)數(shù)的值為 A．2 B． C．1－ D．【學(xué)問點(diǎn)】平面對(duì)量的數(shù)量積及應(yīng)用F3【答案】C【解析】設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1．則||=λ||=λ，||=1-λ．（0＜λ＜1）

?=()?=?+?=.，

所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1-λ）cos180°．化簡(jiǎn)-+λ=-λ（1-λ），整理λ2-2λ+=0，解得λ=（λ=＞1舍去）【思路點(diǎn)撥】將表示為,利用向量數(shù)量積公式，將關(guān)系式化簡(jiǎn)得出關(guān)于λ的方程并解出即可．留意0＜λ＜1．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（202211）】10．在△ABC中，已知，P為線段AB上的點(diǎn)，且的最大值為【】 A．3 B．4 C．5 D．6【學(xué)問點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面對(duì)量的綜合題；正弦定理的應(yīng)用．C8F3【答案】【解析】A解析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0C=90°∵?=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，依據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設(shè)，則||=||=1，=（1，0），=（0，1），∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12，12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值為：3．故選C．【思路點(diǎn)撥】△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求cosC的值，再由?=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設(shè)，則||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x與y的關(guān)系式，利用基本不等式求解最大值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（202211）】10．在△ABC中，已知，P為線段AB上的點(diǎn)，且的最大值為【】 A．3 B．4 C．5 D．6【學(xué)問點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面對(duì)量的綜合題；正弦定理的應(yīng)用．C8F3【答案】【解析】A解析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0C=90°∵?=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，依據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設(shè)，則||=||=1，=（1，0），=（0，1），∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12，12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值為：3．故選C．【思路點(diǎn)撥】△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求cosC的值，再由?=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設(shè)，則||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x與y的關(guān)系式，利用基本不等式求解最大值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（202212）】17．（本小題滿分12分）已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)依次為a,b,c，若，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求△ABC的面積．【學(xué)問點(diǎn)】正弦定理；平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算．C8F3【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）解析：(I)依題設(shè)：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝－(cosAcosC-sinAsinC)＝－(－)＝.則:sinB＝＝＝所以4:5:6…………6分(II)由(I)知：4:5:6，不妨設(shè)：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k.依題設(shè)知：||2＋||2＋2||||cosC＝4646k2＝46，又k＞0k＝1.故△ABC的三條邊長(zhǎng)依次為：a＝4，b＝5，c＝6.△ABC的面積是…………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）A，C為三角形內(nèi)角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]開放即可求出cosB的值，從而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面積．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省五校（江西師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學(xué)、新余四中）高三上學(xué)期其次次聯(lián)考（202212）word版】二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知為單位向量，當(dāng)向量的夾角為時(shí)，在上的投影為.【學(xué)問點(diǎn)】平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算；平面對(duì)量數(shù)量積的含義與物理意義．F3C8【答案】【解析】解析：依據(jù)題意畫出圖形如下圖：設(shè)，依據(jù)余弦定理得：，所以,則在上的投影為，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用數(shù)量積運(yùn)算、投影的意義即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（202211）word版】13.若向量的夾角為，，則【學(xué)問點(diǎn)】向量的運(yùn)算.F3【答案】【解析】2解析：=.【思路點(diǎn)撥】把求向量的模，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算即可.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（202211）】16、(本小題滿分12分)已知向量，＝，函數(shù)，(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．【學(xué)問點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算．C5F3【答案】【解析】(1)(2)解析：（１）……………4分單調(diào)遞增區(qū)間是…………..6分（２）………….8分函數(shù)f(x)的值域是………………..12分【思路點(diǎn)撥】（1）首先依據(jù)=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后依據(jù)函數(shù)f（x）=?﹣cos2x，求出函數(shù)f（x）的解析式；最終依據(jù)正弦函數(shù)的特征，求出其單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，可得2x，然后求出函數(shù)f（x）的值域即可．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（202211）】14、如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，為中點(diǎn)，則、【學(xué)問點(diǎn)】平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案】【解析】1解析：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD為正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°，∵=，∴=（+?=?+?=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1，故答案為：1．【思路點(diǎn)撥】將表示為，再利用向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積的定義求解．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（202211）】４、已知，，且，則與夾角的余弦值為（）A． B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案】【解析】B解析：∵?（2+）=1，∴，∵，∴，化為．∴==﹣．故選B．【思路點(diǎn)撥】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則和夾角公式即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】16．把邊長(zhǎng)為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，=；（2）的最大值是_________．【學(xué)問點(diǎn)】平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算F3【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）當(dāng)A點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，在軸上，，

則.（2）如圖令，由于故，

如圖，，

故故同理可求得，即當(dāng)時(shí)，取最大值，則的最大值是．故答案為：1，2【思路點(diǎn)撥】（1）求出的坐標(biāo)，以及向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得到；

（2）令，由邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，可得出的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個(gè)向量，算出它們的內(nèi)積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（202212）word版】11．在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，則_________．【學(xué)問點(diǎn)】向量數(shù)量積的計(jì)算.F3【答案】【解析】-2解析：【思路點(diǎn)撥】依據(jù)向量數(shù)量積的定義求解.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省嘉興一中等五校2021屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（202212）】21.（本題滿分14分）設(shè)向量，其中為實(shí)數(shù)．（Ⅰ）若，且求的取值范圍；（Ⅱ）若求的取值范圍．【學(xué)問點(diǎn)】向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的性質(zhì)C3F3【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）時(shí)，，由于，所以,整理得對(duì)一切均有解，當(dāng)時(shí)，得，符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，所以的取值范圍為；（Ⅱ）由題意只需，由消元得，解不等式組，解得，所以.【思路點(diǎn)撥】先把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根或函數(shù)的值域問題進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆河北省唐山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】14.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，則.【學(xué)問點(diǎn)】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】解析：建立直角坐標(biāo)系，則可得，所以，故答案為.【思路點(diǎn)撥】建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆河北省唐山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】11.若均為單位向量，，，則的最大值是（）A．B.