【2021高考復習參考】高三數學(理)配套黃金練習：10-5

第十章10.5第5課時高考數學（理）黃金配套練習一、選擇題1．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案D解析分別從兩個集合中各取一個數，共有15種取法，其中滿足b>a的有3種取法，故所求大事的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).2．羊村村長慢羊羊打算從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草，則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(6,7)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析從5只羊中任選兩只，有Ceq\o\al(2,5)＝10種選法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的結果有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＝6種，故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).選C.3．袋中裝有1個白球和3個黑球，從中摸出2個球正好一白一黑的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案B解析白球記作A,3個黑球分別記為a，b，c.基本大事為Aa，Ab，Ac，ab，ac，bc，一白一黑共有3個基本大事．∴P＝eq\f(1,2).4．從甲地到乙地有A1、A2、A3共3條路線，從乙地到丙地有B1、B2共2條路線，其中A2B1是從甲到丙的最短路線，某人任選了1條從甲地到丙地的路線，它正好是最短路線的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案D解析基本大事，等可能大事的概率．n＝3×2＝6，m＝1.∴P(A)＝eq\f(1,6).5．投擲兩顆骰子，得到其向上點數分別為m和n，則復數(m＋ni)(n－mi)為實數的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)答案C解析復數(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實數，則n2－m2＝0?m＝n，∴投擲兩顆骰子得到點數相同的狀況只有6種，∴所求概率為eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6)，故選C.6．某公司規(guī)定，每位職工可以在每周的7天中任選2天休息(如選定星期一、星期三)，其余5天工作，以后不再改動，則甲、乙、丙三位職工恰好同時工作、同時休息的概率是()A.eq\f(2,7)B.eq\f(1,21)C.eq\f(1,441)D.eq\f(1,147)答案C解析甲、乙、丙三位職工恰好同時工作、同時休息就是指三個人選定的休息日相同．由于每位職工從每周的7天中任選2天，有Ceq\o\al(2,7)種不同選法，所以甲、乙、丙三人一共有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,7)種不同的選法，而他們選擇的休息日相同的選法有C27，所以所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,7)·C\o\al(2,7)·C\o\al(2,7))＝eq\f(1,441).7．甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是()A.eq\f(3,18)B.eq\f(4,18)C.eq\f(5,18)D.eq\f(6,18)答案C解析甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，所得的直線共有eq\f(6×6,2)＝18(對)，而相互垂直的有5對，故依據古典概型概率公式得P＝eq\f(5,18).二、填空題8．2022年倫敦奧運會我國將派5名正式運動員和3名替補運動員參與體操競賽，最終將有3人上場競賽，其中甲、乙兩名替補運動員均不上場競賽的概率是__________.答案eq\f(5,14)解析由等可能大事知概率為eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,14).9．在一個口袋中裝有5個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，則摸出白球的個數多于黑球的個數的概率為________．答案eq\f(2,7)解析依題意，白球的個數多于黑球的個數的狀況有2白1黑、3白兩種，其概率為eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(2,7).10．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m，n作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線x＋y＝5的下方的概率為________．答案eq\f(1,6)解析點P在直線x＋y＝5下方的狀況有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六種可能，故P＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).11．古代“五行”學說認為：“物質分金、木、水、火、土五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”從五種不同屬性的物質中隨機抽取兩種，則抽取的兩種物質不相克的概率是________．答案eq\f(1,2)解析從五種不同屬性物質中抽取兩種共有如下所示10種狀況．其中相克的(金，木)，(金，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)五種狀況，故所求的大事的概率為1－eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).三、解答題12．為了對某課題進行爭辯，用分層抽樣方法從三所高校A，B，C的相關人員中，抽取若干人組成爭辯小組，有關數據見下表(單位：人)．高校相關人數抽取人數A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若從高校B，C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都來自高校C的概率．解析(1)由題意可得，eq\f(x,18)＝eq\f(2,36)＝eq\f(y,54)，所以x＝1，y＝3.(2)記從高校B抽取的2人為b1，b2，從高校C抽取的3人為c1，c2，c3，則從高校B，C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本大事有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10種．設選中的2人都來自高校C的大事為X，則X包含的基本大事有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3種．因此P(X)＝eq\f(3,10).故選中的2人都來自高校C的概率為eq\f(3,10).13．有編號為A1，A2，…，A10的10個零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數據：編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內的零件為一等品．(1)從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；(2)從一等品零件中，隨機抽取2個．(ⅰ)用零件的編號列出全部可能的抽取結果；(ⅱ)求這2個零件直徑相等的概率．解析(1)由所給數據可知，一等品零件共有6個，設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為大事A，則P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)(ⅰ)一等品零件的編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，全部可能的結果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15種．(ⅱ)“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為大事B)的全部可能結果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6種．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).14．一個袋中裝有四個外形大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率．解析(1)從袋中隨機取出兩個球，其一切可能的結果組成的基本條件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個．從袋中取出的球的編號之和不大于4的大事共有1和2,1和3兩個．因此所求大事的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機取一個球，登記編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，登記編號為n，其一切可能的結果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．又滿足條件n≥m＋2的大事為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件n≥m＋2的大事的概率為P1＝eq\f(3,16).故滿足條件n<m＋2的大事的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).15．從2009年夏季入學的高二新生開頭，我省一般高中全面實施新課程．新課程的一個最大亮點就是實行課程選修制．現(xiàn)在某校開出語文、數學、英語三門學科的選修課各一門，假如有4位同學，每位同學選語文、數學、英語選修課的概率均為eq\f(1,3)，求：①有三位同學選擇數學選修課的概率；②這4位同學中有幾個人選數學選修課的概率最大．解析(1)設“有三位同學選擇數學選修課”為大事A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq\f(8,81).(2)設ξ的全部可能的取值為0,1,2,3,4由等可能性大事的概率公式可得：P(ξ＝0)＝(eq\f(2,3))4＝eq\f(16,81)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·23,34)＝eq\f(32,81)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·22,34)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq\f(8,81)，P(ξ＝4)＝(eq\f(1,3))4＝eq\f(1,81)所以這4位同學中只有1個同學選數學選修課的概率最大．拓展練習·自助餐1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點分別為x，y，則log2xy＝1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析要使log2xy＝1，則要求2x＝y(tǒng)，∴毀滅的基本大事數為3，∴概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．有一對酷愛運動的年輕夫婦給他們12個月大的嬰兒拼排3塊分別寫有“20”，“10”和“北京”的字塊，假如嬰兒能夠排成“2010北京”或者“北京2010”，則他們就給嬰兒嘉獎．假設嬰兒能將字塊橫著正排，那么這個嬰兒能得到嘉獎的概率是(A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C3．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000塊大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻攪混在一起，任取一個，其兩面涂有油漆的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,25)D.eq\f(12,125)答案D解析每條棱上有8塊，共8×12＝96塊，∴P＝eq\f(96,1000)＝eq\f(12,125)4．三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．答案eq\f(1,3)解析BE1E2E2E1E1BE2E2BE2BE1E1B基本大事總數為6，所含基本大事個數為2，所以所求的概率是P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).老師備選題1．若隨機從集合{2,22,23，…，210}中選出兩個不同的元素a、b，則logab為整數的概率為__________．答案eq\f(17,90)解析a＝2時，有9個；a＝22時，b＝24或26或28或210，共4個；a＝24時，b＝28有1個；a＝23時，b＝26或29有2個；a＝25時，b＝210有1個；使logab為整數的有17個，∴概率為eq\f(17,A\o\al(2,10))＝eq\f(17,90).2．現(xiàn)有7名數理化成果優(yōu)秀者，其中A1，A2，A3的數學成果優(yōu)秀，B1，B2的物理成果優(yōu)秀，C1，C2的化學成果優(yōu)秀．從中選出數學、物理、化學成果優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參與競賽．(1)求C1被選中的概率；(2)求A1和B1不全被選中的概率．解析(1)從7人中選出數學、物理、化學成果優(yōu)秀者各1名，其一切可能的結果組成的12個基本大事為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．C1恰被選中有6個基本大事：(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)．因而C1被選中的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)用N表示“A1，B1不全被選中”這一大事，則其對立大事eq\x\to(N)表示“A1，B1全被選中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以大事eq\x\to(N)由兩個基本大事組成，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立大事的概率公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).3．在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點，在A，P，M，C中任取一點記為E，在B，Q，N，D中任取一點記為F.設G為滿足向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為________．答案eq\f(3,4)