【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版必修五導學案：《解三角形的實際應(yīng)用》

第5課時解三角形的實際應(yīng)用 1.把握仰角、俯角、方向角、方位角等的含義.2.學會用正弦定理、余弦定理解決距離、高度、角度等的問題.3.學會解三角形應(yīng)用題的一般步驟.中國的“海洋國土”面積約300萬平方公里,海洋權(quán)益在國家利益中的地位更加凸顯.近幾年,我國海軍先后參與了為打擊海盜進行的亞丁灣護航,并開頭走出近海,深化遠海進行演習,實力在不斷增加,為護衛(wèi)我們的“藍色國土”供應(yīng)了堅實的保障.2005年7月11日,是中國宏大航海家鄭和下西洋600周年紀念日.2005年4月25日,經(jīng)國務(wù)院批準,將每年的7月11日確立為中國“航海日”,作為國家的重要節(jié)日固定下來,海洋強國正成為13億華夏兒女的共同幻想.問題1:海軍在海上航行時,定位船只或者自身位置的手段已經(jīng)格外先進.在較早時期,人們在海上航行時,定位船只的方法通常是依據(jù)方位角、方向角和距離來進行的.那么何為方位角、方向角呢?方位角:;方向角:.此外,在測量以及確定方位時,我們能接觸到的還有俯角:和仰角:,這些是測量中的常用的名詞,在我們的學習中也會經(jīng)常消滅.

問題2:正弦定理與余弦定理的常見變形有哪些?(1)a∶b∶c=;

(2)R為△ABC外接圓的半徑,則sinA=,sinB=,sinC=;

(3)余弦定理的推論可以用式子表示為cosA=,cosB=,cosC=.

問題3:在解三角形應(yīng)用問題時,一般在處理問題時要分幾個步驟?分如下四個步驟:(1):理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖.

(2):依據(jù)已知條件與求解目標,將實際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學問題.

(3):利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得數(shù)學模型的解.

(4):檢驗上述所求的解是否具有實際意義,從而得出實際問題的解.

問題4:解斜三角形應(yīng)用題的步驟是怎么樣的?應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形應(yīng)用問題,一般是依據(jù)題意,從實際問題中抽象出,通過解這些三角形,從而使實際問題得到解決.解題時應(yīng)認真審題,未給圖形的,可以先畫出示意圖,要理解好應(yīng)用題中有關(guān)的名詞、術(shù)語,如、、、等,要留意解的實際意義以及題目中給出的精確度.

1.若P在Q的北偏東44°50',則Q在P的().A.東偏北45°10' B.東偏北45°50'C.南偏西44°50' D.南偏西45°50'2.一船向正北航行,觀察正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,連續(xù)航行半小時后,觀察一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的航行速度是每小時().A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里3.在直徑為30m的圓形廣場中心上空,設(shè)置一個照明光源,射向地面的光呈圓形,且其軸截面頂角為120°,若要光源恰好照到整個廣場,則光源的高度為m.

4.在同一平面內(nèi),在A處測得B點的仰角是50°,且到A的距離為2,C點的俯角為70°,且到A的距離為3,求B、C間的距離.利用正、余弦定理求解距離問題如圖所示,隔河看兩目標A,B,但不能到達,在岸邊選取相距3千米的C,D兩點,并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩目標A,B之間的距離.利用正、余弦定理求解高度問題如圖,山腳下有一小塔AB,在塔底B測得山頂C的仰角為60°,在山頂C測得塔頂A的俯角為45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度問題在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中,紅方一艘偵察艇發(fā)覺在北偏東45°方向,相距12nmile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進,若偵察艇以每小時14nmile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍方的小艇.若要在最短的時間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.某觀測站C在目標A的南偏西25°方向,從A動身有一條南偏東35°走向的大路,在C處測得與C相距31km的大路上的B處有一人正沿此大路向A走去,走了20km后到達D處,此時測得CD距離為21km,求此人在D處距A的距離.如圖所示,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,現(xiàn)測得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,求cosθ.1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α、β的關(guān)系為().A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀看站C的距離都等于akm,燈塔A在觀看站C的北偏東20°,燈塔B在觀看站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為().A.akm B.3akmC.2akm D.2akm3.海上有A,B,C三個小島,測得A,B兩島相距10nmile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,則B,C間的距離是nmile.

4.如圖,為測一樹的高度,在地面上選取A、B兩點,從A、B兩點分別測得樹尖的仰角為30°、45°,且A、B兩點之間的距離為60m,求樹的高度h.(2021年·江蘇卷)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲動身2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,cosA=1213,cosC=3(1)求索道AB的長;(2)問乙動身多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?考題變式(我來改編):第5課時解三角形的實際應(yīng)用學問體系梳理問題1:從正北方向順時針到目標方向線的水平角從指定方向線到目標方向線的水平角在同一鉛垂面內(nèi),視線在水平線下方時與水平線所成的角在同一鉛垂面內(nèi),視線在水平線上方時與水平線所成的角問題2:(1)sinA∶sinB∶sinC(2)a2Rb2Rc2R(3問題3:(1)分析(2)建模(3)求解(4)檢驗問題4:一個或幾個三角形坡角仰角俯角方位角基礎(chǔ)學習溝通1.C依據(jù)P在Q的北偏東44°50',可以推斷Q在P的南偏西44°50',故選C.2.C如圖所示,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是這艘船的航行速度是50.5=10(海里/3.53軸截面如圖,則光源高度h=15tan60°=53(m4.解:依據(jù)題意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos120°=19,∴BC=19.重點難點探究探究一:【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=3.在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC=3sin75°sin60°=2sin(30°+45°)=2sin30°cos45°+2cos30°sin在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×cos75°=5+3-(32+6)(cos30°cos45°-sin30°sin45°)故兩目標A,B間的距離為5千米.【小結(jié)】(1)求解三角形中的基本元素,應(yīng)由確定三角形的條件個數(shù),組織一系列三角形求解,即“三角形鏈”方法.(2)本題是測量兩個都不能到達的兩點間的距離,它是測量學中應(yīng)用格外廣泛的“三角網(wǎng)”測量方法的原理,其中AB可視為基線.(3)計算方法:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.同理cos75°=6探究二:【解析】如圖,過點C作CE∥DB,延長BA交CE于點E,設(shè)CD=xm,則AE=(x-20)m,∵tan60°=CDBD∴BD=CDtan60°=x3=33x在△AEC中,x-20=33x,解得x=10(3+3)m.故山高CD為10(3+3)m【小結(jié)】(1)測量高度時,要精確?????理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(畫出)示意圖,明確在哪個三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理.探究三:【解析】如圖,設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇,則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.依據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.依據(jù)正弦定理得BCsinα=ACsin120°,解得sinα=所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時,角α的正弦值為53【小結(jié)】(1)測量角度,首先應(yīng)明確方向角的含義.(2)在解應(yīng)用題時,理清已知與所求,再依據(jù)題意正確畫出示意圖,通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題,在解題過程中也要留意體會正、余弦定理綜合使用的特點.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:如圖,∠CAD=25°+35°=60°.在△BCD中,由余弦定理,得cosB=B=312+2故sinB=123在△ABC中,由正弦定理,得AC=BCsinBsinA=由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,即312=AB2+242-2×AB×24cos60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D處距A還有15km.應(yīng)用二:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得BCsin∠BDC所以BC=CDsin∠BDC在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=stan應(yīng)用三:如圖所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,故cos∠ACB=27故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=277×32-217×或由cosθ=sinB及正弦定理有sinB=ACBC·sin120°=20227×32基礎(chǔ)智能檢測1.B依據(jù)仰角與俯角的定義可知α=β.2.B由題意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×(-12)=3a2,∴AB=33.56在△ABC中,由正弦定理可得BCsinA=ABsinC,即BC=ABsinA4.解:由正弦定理得:60sin(45°-30°)=PBsin30°,∴PB=30sin15°,∴h=PB全新視角拓展(1)在△ABC中,由于cosA=1213,cosC=35,所以sinA=513,sin從而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC