【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：9.4

第九章9.4第4課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．已知直線l過(guò)點(diǎn)(－2,0)，當(dāng)直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．(－eq\f(\r(2),4)，eq\f(\r(2),4))D．(－eq\f(1,8)，eq\f(1,8))答案C解析設(shè)l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圓心為(1,0)．由已知有eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，∴－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4).2．直線xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ與圓(x－1)2＋y2＝4的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交D．以上都有可能答案B解析圓心到直線的距離d＝eq\f(|sinθ－2－sinθ|,\r(sin2θ＋cos2θ))＝2.所以直線與圓相切．3．平移直線x－y＋1＝0使其與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則平移的最短距離為()A.eq\r(2)－1B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)D.eq\r(2)－1與eq\r(2)＋1答案A解析如圖，圓心(2,1)到直線l0：x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，圓的半徑為1，故直線l0與l1的距離為eq\r(2)－1，∴平移的最短距離為eq\r(2)－1，故選A.4．已知圓O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4；O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，那么兩圓的位置關(guān)系是()A．內(nèi)含B．內(nèi)切C．相交D．外切答案C解析由兩圓方程易知其圓心坐標(biāo)分別為O1(a，b)、O2(a＋1，b＋2)，經(jīng)計(jì)算得：O1O2＝eq\r(5)，由于R－r＝1<O1O2＝eq\r(5)<R＋r＝3，故兩圓相交．5．函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓心在原點(diǎn)的單位圓在Ⅰ、Ⅲ象限內(nèi)的兩段圓孤，如圖，則不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集為()A．(－1，－eq\f(\r(2),2))∪(0，eq\f(\r(2),2))B．(－1，－eq\f(\r(2),2))∪(eq\f(\r(2),2)，1)C．(－eq\f(\r(2),2)，0)∪(0，eq\f(\r(2),2))D．(－eq\f(\r(2),2)，0)∪(eq\f(\r(2),2)，1)答案D6．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．3答案C解析設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長(zhǎng)，MQ為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離，設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，∴|PM|最小值為2eq\r(2)，|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2))）2－1)＝eq\r(7)，選C.7．若圓O1方程為：(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝0，圓O2方程為：(x－3)2＋(y－2)2－1＝0，則方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝(x－3)2＋(y－2)2－1表示的軌跡是()A．線段O1O2的中垂線B．過(guò)兩圓的公切線交點(diǎn)且垂直于線段O1O2的直線C．兩圓公共弦所在的直線D．一條直線且該直線上的點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等答案D解析∵圓心距|O1O2|＝eq\r(（3＋1）2＋（2＋1）2)＝5>2＋1＝3，∴兩圓相離．把所給的軌跡方程化簡(jiǎn)得4x＋3y－7＝0明顯線段O1O2的中點(diǎn)不在直線4x＋3y－7＝0上，排解A、C，由計(jì)算知，到兩圓的切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡恰為直線4x＋3y－7＝0.8．已知圓C：x2＋y2＝1，點(diǎn)A(－2,0)及點(diǎn)B(2，a)，從A點(diǎn)觀看B點(diǎn)，要使視線不被圓C攔住，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－eq\f(4,3)eq\r(3))∪(eq\f(4,3)eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)答案C解析解法一：(直接法)寫出直線方程，將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離來(lái)解決．過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程為y＝eq\f(a,4)x＋eq\f(a,2)，即ax－4y＋2a＝0，則d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋16))＝1，化簡(jiǎn)后，得3a2＝16，解得a＝±eq\f(4\r(3),3).再進(jìn)一步推斷便可得到正確答案為C.解法二：設(shè)AB1直線方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2),x2＋y2＝1))?(1＋k2)x2＋4k2x＋4k2－1＝0，Δ＝0，k＝±eq\f(\r(3),3)，直線AB1方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，直線AB2方程為y＝－eq\f(\r(3),3)(x＋2)，可得B1(2，eq\f(4\r(3),3))，B2(2，－eq\f(4\r(3),3))，要使從A看B不被圓攔住，B縱坐標(biāo)即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－eq\f(4\r(3),3))∪(eq\f(4\r(3),3)，＋∞)．9．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是()A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]答案A二、填空題10．已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a等于________．答案±2解析由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|知OA⊥OB，所以由題意可得eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝±2.11．過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l將圓(x－2)2＋y2＝9分成兩段弧，其中的劣弧最短時(shí)，直線l的方程為________．答案x－2y＋3＝0解析設(shè)圓心為N(2,0)，由圓的性質(zhì)得直線l⊥MN時(shí)，形成的劣弧最短，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為x－2y＋3＝0.12．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是________．答案[－eq\f(3,4)，0]解析如圖，記題中圓的圓心為C(3,2)，作CD⊥MN于D，則|CD|＝eq\f(|3k＋1|,\r(1＋k2))，于是有|MN|＝2|MD|＝2eq\r(|CM|2－|CD|2)＝2eq\r(4－\f(9k2＋6k＋1,1＋k2))≥2eq\r(3)，即4－eq\f(9k2＋6k＋1,1＋k2)≥3，解得－eq\f(3,4)≤k≤0.13．若直線y＝x＋b與曲線x＝eq\r(1－y2)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則b取值范圍是__________．答案－1＜b≤1或b＝－eq\r(2)解析x＝eq\r(1－y2)?x2＋y2＝1(x≥0)方程x2＋y2＝1(x≥0)所表示的曲線為半圓(如圖)當(dāng)直線與圓相切時(shí)或在l2與l3之間時(shí)，適合題意．三、解答題14．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的確定值相等，求此切線的方程．解析∵切線在兩坐標(biāo)軸上截距的確定值相等，∴切線的斜率是±1.設(shè)切線方程為y＝－x＋b或y＝x＋c，分別代入圓C的方程得2x2－2(b－3)x＋(b2－4b＋3)＝0或2x2＋2(c－1)x＋(c2－4c＋3)＝0，由于相切，則方程有等根，即b＝3或b＝－1，c＝5或c＝1.故所求切線方程為：x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.15．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－2，求實(shí)數(shù)k的值；(3)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值．解設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r.由于圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圓C的方程是x2＋y2＝4.(2)由于eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2×2×cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉＝－2，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的夾角為∠POQ，所以cos∠POQ＝－eq\f(1,2)，∠POQ＝120°，所以圓心到直線l：kx－y＋1＝0的距離d＝1，又d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，所以k＝0.(3)設(shè)圓心O到直線l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S.由于直線l，l1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且l⊥l1，依據(jù)勾股定理，有deq\o\al(2,1)＋d2＝1.又易知|PQ|＝2×eq\r(4－d2)，|MN|＝2×eq\r(4－d\o\al(2,1))，所以S＝eq\f(1,2)·|PQ|·|MN|，即S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(4－d2)×2×eq\r(4－d\o\al(2,1))＝2eq\r(16－4(d\o\al(2,1)＋d2)＋d\o\al(2,1)·d2)＝2eq\r(12＋d\o\al(2,1)·d2)≤2eq\r(12＋(\f(d\o\al(2,1)＋d2,2))2)＝2eq\r(12＋\f(1,4))＝7，當(dāng)且僅當(dāng)d1＝d時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最大值為7.老師備選題1．點(diǎn)P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，則|PQ|的最小值是________．答案3eq\r(5)－3－eq\r(6)解析轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)到另一個(gè)圓圓心距離的最小值．2．已知：過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N兩點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)求證：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))為定值；(3)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，求k的值．解析(1)解法一：∵直線l過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k，∴直線l的方程為y＝kx＋1.將其代入圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0①由題意：△＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).解法二：同解法一得直線方程為y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，又圓心到直線距離d＝eq\f(|2k－3＋1|,\r(k2＋1))＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))，∴d＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).(2)設(shè)過(guò)A點(diǎn)的圓的切線為AT，T為切點(diǎn)，則|AT|2＝|AM|·|AN|，|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝7.依據(jù)向量的運(yùn)算：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos0°＝7為定值．(3)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4＋4k,1＋k2),