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第04講倍長中線模型構(gòu)造全等三角形【應(yīng)對方法與策略】倍長中線是指加倍延長中線,使所延長部分與中線相等,往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn),則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系(通常用“SAS”證明)(注:一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用)。三角形一邊的中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段),或中點(diǎn),通常考慮倍長中線或類中線,構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍,證明三角形全等,從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.主要思路:倍長中線(線段)造全等在△ABC中AD是BC邊中線延長AD到E,使DE=AD,連接BE作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延長線于E連接BE延長MD到N,使DN=MD,連接CD【多題一解】一、單選題1.(2021·浙江湖州·二模)如圖,在四邊形中,,,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),則的長為(
).A.2 B. C. D.32.(2021·甘肅蘭州·模擬預(yù)測)如圖,在△ABC中,AB=4,AC=2,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則AD的長可能是()A.1 B.2 C.3 D.43.(2021·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在平行四邊形中,,為上一點(diǎn),為的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是(
)A. B. C. D.二、填空題4.(2019·湖北·武漢市糧道街中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖,△ABC中,D是AB的中點(diǎn),CD:AC:BC=1:2:2,則∠BCD=_____.5.(2021·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在正方形中,分別是、邊上的點(diǎn),將四邊形沿直線翻折,使得點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處,且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn),交于點(diǎn),作于點(diǎn),交于點(diǎn).若,則________.6.(2021·全國·九年級專題練習(xí))如圖,為AD上的中點(diǎn),則BE=______.三、解答題7.(2020·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級階段練習(xí))△ABC中D是BC邊上一點(diǎn),連接AD.(1)如圖1,AD是中線,則AB+AC2AD(填>,<
或=);(2)如圖2,AD是角平分線,求證AB-AC>BD-CD.8.(2020·北京一七一中九年級階段練習(xí))在ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中點(diǎn),E為直線AC上一動點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)D作DF⊥DE,交直線BC于點(diǎn)F,連接EF.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí),AE=2,BF=1,求EF的長;(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí),依題意補(bǔ)全圖形2,用等式表示AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.9.(2020·全國·九年級專題練習(xí))已知:如圖所示,AD平分,M是BC的中點(diǎn),MF//AD,分別交CA延長線,AB于F、E.求證:BE=CF.10.(2020·北京·中考真題)在中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中點(diǎn).E為直線上一動點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)D作DF⊥DE,交直線BC于點(diǎn)F,連接EF.(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí),設(shè),求EF的長(用含的式子表示);(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí),依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.11.(2020·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=AC,D為線段BC的延長線上一點(diǎn),且DB=DA,BE⊥AD于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接AF.(1)若AC=,AE=,求BE的長;(2)在(1)的條件下,求△ABD的面積.(3)若∠BAC=∠DAF,求證:2AF=AD;12.(2022·全國·九年級專題練習(xí))已知:如圖,在△ABC中,D是BC中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AC上一點(diǎn).若∠EDF=90°,且BE2+FC2=EF2,求證:∠BAC=90°.13.(2020·福建福州·九年級開學(xué)考試)如圖1,已知正方形和等腰,,,是線段上一點(diǎn),取中點(diǎn),連接、.(1)探究與的數(shù)量與位置關(guān)系,并說明理由;(2)如圖2,將圖1中的等腰繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;(3)在(2)的條件下,若,求的最小值.14.(2020·陜西咸陽·一模)問題提出(1)如圖,是的中線,則__________;(填“”“”或“”)問題探究(2)如圖,在矩形中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為上任意一點(diǎn),當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí),求的長;問題解決(3)如圖,在矩形中,,點(diǎn)為對角線的中點(diǎn),點(diǎn)為上任意一點(diǎn),點(diǎn)為上任意一點(diǎn),連接,是否存在這樣的點(diǎn),使折線的長度最?。咳舸嬖?,請確定點(diǎn)的位置,并求出折線的最小長度;若不存在,請說明理由.15.(2020·安徽合肥·二模)如圖,正方形ABCD中,E為BC邊上任意點(diǎn),AF平分∠EAD,交CD于點(diǎn)F.(1)如圖1,若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn),求證:AE=BE+2CE;(2)在(1)的條件下,求的值;(3)如圖2,延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G,延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H,連接HG,當(dāng)CG=DF時(shí),求證:HG⊥AG.16.(2020·江西宜春·一模)將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起,,連接.(1)如圖1,若三點(diǎn)在同一條直線上,則與的關(guān)系是;
(2)如圖2,若三點(diǎn)不在同一條直線上,與相交于點(diǎn),連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;(3)如圖3,在(2)的條件下作的中點(diǎn),連接,直接寫出與之間的關(guān)系.17.(2022·安徽宿州·九年級期末)已知:在矩形中,連接,過點(diǎn)作,交于點(diǎn),交于點(diǎn).(1)如圖1,若.①求證:;②連接,求證:.(2)如圖2,若,求的值.18.(2021·江蘇宿遷·二模)【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家,他曾提出一個(gè)定理:若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直,則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線平分對邊.證明:如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直,垂足為點(diǎn),過點(diǎn)的直線垂直于,垂足為點(diǎn),與邊交于點(diǎn),由垂直關(guān)系得,,所以,由同弧所對的圓周角相等得,所以,則,同理,,故;【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直,則平分對邊且過對角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為(填“真命題”,“假命題”);【探究】(1)如圖2,和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,過點(diǎn)的直線垂直于,垂足為點(diǎn),與邊交于點(diǎn).證明:點(diǎn)是的中點(diǎn);(2)如圖3,和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接交于點(diǎn),若,求的長.19.(2020·江蘇徐州·模擬預(yù)測)(1)閱讀理解:如圖①,在中,若,,求邊上的中線的取值范圍.可以用如下方法:將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,在中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______;(2)問題解決:如圖②,在中,是邊上的中點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,求證:;(3)問題拓展:如圖③,在四邊形中,,,,以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角,角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn),連接,探索線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【一題多解】1.(2021·河北·九年級專題練習(xí))閱讀下面材料:數(shù)學(xué)課上,老師給出了如下問題:如圖,AD為△ABC中線,點(diǎn)E在AC上,BE交AD于點(diǎn)F,AE=EF.求證:AC=BF.經(jīng)過討論,同學(xué)們得到以下兩種思路:思路一如圖①,添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以進(jìn)一步證得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,從而證明結(jié)論.思路二如圖②,添加輔助線后并利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB,從而證明結(jié)論.完成下面問題:(1)①思路一的輔助線的作法是:;②思路二的輔助線的作法是:.(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求:只寫出輔助線的作法,并畫出相應(yīng)的圖形,不需要寫出證明過程).2.(2021·貴州·貴陽市第十九中學(xué)九年級階段練習(xí))在與中,,,,連接,點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn).(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí),與的數(shù)量關(guān)系是:__________;(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在的延長線上時(shí),與是否仍有具有(1)中的數(shù)量關(guān)系,如果具有,請給予證明;如果沒有,請說明理由;(3)旋轉(zhuǎn)過程中,若當(dāng)時(shí),直接寫出的值.3.(2021·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)定義:如果三角形三邊的長a、b、c滿足,那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”.如:三邊長分別為1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“勻稱三角形”.(1)已知“勻稱三角形”的兩邊長分別為4和6,則第三邊長為.(2)如圖,ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F,交AB的延長線于E,求證:EF是⊙O的切線;(3)在(2)的條件下,若,判斷AEF是否為“勻稱三角形”?請說明理由.4.(2021·重慶市渝北中學(xué)校九年級階段練習(xí))(1)如圖1.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)D、E分別在邊CA,CB上且CD=3,CE=4,連接
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