中考數學二輪培優(yōu)訓練專題30 圓冪定理（原卷版）

專題30圓冪定理模型的概述：相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角讀數。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。圓冪定理實質上是反映兩條相交直線與圓的位置關系的性質定理，其本質與比例線段相關。相交弦定理模型：如左圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P,則AP?DP=BP?CP證明：如中圖，連接AB、CD在△APB和△CPD中∠1=∠2（同弧所對圓周角相等）∴△APB∽△CPD∴APCP=BPDP則AP?∠3=∠4【進階】如右圖，OP所在直線與⊙O交于M、N兩點，r為⊙O的半徑，則AP?DP=BP?CP=MP?NP=(r-OP)(r+OP)=割線定理模型：若從圓外一點P引圓的兩條割線PAB和PCD，則AP?BP=CP?DP?].’=證明（方法一）：如中圖，連接AC、BD∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴APDP=CPBP則AP證明（方法二）：如右圖，連接AD、BC在△PAD和△PCB中∠PAD=∠PCB（∠1=∠2），∠P=∠P∴△PAD∽△PCB∴APCP=DPBP則AP?【進階】若從圓外一點P引圓的兩條割線PAB和PMN，且割線PMN經過圓心，r為⊙O的半徑，則AP?BP=MP?NP=(OP-r)(OP+r)=OP2弦切角定理模型：線段AB切⊙O于點B，線段BC、CD為⊙O的弦，則∠1=∠2=12∠證明：連接OB、OD，則∠4=∠5∵線段AB切⊙O于點B∴∠1+∠4=90°∵∠3+∠4+∠5=180°∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2∴∠2+∠4=90°∴∠1=∠2則∠1=∠2=12∠切割線定理模型：如右圖，線段ADC是⊙O的一條割線，AB是⊙O的一條切線，切點為點B，則AB2=AD?證明：∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴ABAC=ADAB則AB【能力培優(yōu)練】1．如圖，PA切⊙O于點，PBC是⊙O的一條割線，且PA=23，BC=2A．2 B．

6 C．4 D．22．如圖，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，如果PB=2，PC=4，則PA的長為________．3．弗朗索瓦·韋達是十六世紀法國最杰出的數學家之一，最早提出“切割線定理”（圓冪定理之一），指的是從圓外一點引圓的切線和割線，則切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，下面緊跟著圓的切線作圖的思路嘗試證明與運用．(1)作圖（保留作圖痕跡）：已知AB是圓O的直徑，點P是BA延長線上的一點，①作線段OP的中垂線MN交OP于點Q；②以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點E、F；③連接PE和PF；試說明PE是圓O切線的理由．(2)計算：若圓O半徑OB=4，PB=14，嘗試證明“切割線定理”并計算出PE的長度．4．圓冪定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線定理、割線定理以及它們的推論，其中切割線定理的內容是：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．你能給出證明嗎？下面是證明的開頭：已知：如圖①，點P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于A，割線PBC與圓相交于點B、C．求證：PA2＝PB?PC證明：如圖②，連接AB、AC、B0、AO，因為PA切⊙0于點A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．閱讀以上材料，完成下列問題：(1)補充完成上面的證明過程；(2)如圖③，割線PDE與⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的長．5．在數學課上，當老師講到直線與圓的位置關系時，張明同學突發(fā)奇想，特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數量關系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這本書是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作．它是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數學幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36-2圓冪定理（切割線定理）內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例中項．（比例中項的定義：如果a、b、c三個量成連比例即a:b=b:c，則b叫做a和c的比例中項）(1)為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是圓O外一點，AB是圓O的切線，直線ACD為圓O的割線．求證：證明：(2)已知AC=2，CD=4，則AB的長度是．6．復習鞏固切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.如圖1，直線l1為⊙O的切線割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.如圖1，直線l2為⊙O的割線切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.閱讀材料《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所普的一部數學著作.它是歐州數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數學幾何部分最成功的教科書其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線定理）內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程已知：如圖2，A是⊙O外一點，．求證：[提示]輔助線可先考慮作⊙O的直徑DE．7．閱讀下列材料，完成相應任務：弗朗索瓦?韋達，法國杰出數學家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數學之父”．他還發(fā)現從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是⊙O外一點，PC是⊙O的切線，PA是⊙O的一條割線，與⊙O的另一個交點為B，則PC證明：如圖2，連接AC、BC，過點C作⊙O的直徑CD，連接AD．∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥∴，即∠PCB+∠……任務：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，PA與⊙O相切于點A，連接PO并延長與⊙O交于點B、C，∠P=∠BAD，BC=8，AP=3BP，連接CD．①CD與AP的位置關系是．②求BD的長．8．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關系．如圖1，P是⊙O外一點，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于點B（即PA是⊙O的割線），則PT下面是切割線定理的證明過程：證明：如圖2，連接TO并延長，交⊙O于點C，連接BC．∵PT切⊙O于點T，∴∠∴∠∵CT是⊙O……(1)根據前面的證明思路，補全剩余的證明過程；(2)在圖1中，已知AB=6，PB=5，則PT=______，ATTB9．讀下面材料，并完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為⊙O外一點，PA與⊙O交于A，B兩點，PM與⊙O相切于點M求證：PM證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交⊙O于點C，連接BC∵PM為⊙O的切線，∴_______=90°，∴∠CMB+∠BMP=90°，∵CM為⊙O的直徑，∴_______=90°，∴∠CMB+∠MCB=90°，∴∠MCB=_______，∵∠MAB=∠MCB，∴∠BMP=∠MAB．∵∠P=∠P，∴△PBM∽_______．∴PMPA=PBPM學習任務：如圖，若線段AB與⊙O相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為⊙O的兩條切線，切點分別為E，F，連接CF．(1)求證：AE=BF；(2)若BF=6，CD=2BD，∠FBC=60°，求△BCF10．我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離．當直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過⊙O外一點P作⊙O的兩條割線，一條交⊙O于A、B點，另一條交⊙O于C、D點．求證：PA?證明一：連接AD、BC，∵∠A和∠C為BD所對的圓周角，∴______．又∵∠P=∠P，∴即PA?研究后發(fā)現，如圖②，如果連接AC、BD，即可得到學習過的圓內接四邊形ABDC．那么或許割線定理也可以用圓內接四邊形的性質來證明．請根據提示，獨立完成證明二．證明二：連接AC、BD，11．如圖，P是⊙O外一點，割線POB與⊙O相交于A、B，切線PC與⊙O相切于C，若PA=2，PC=3，求⊙0的半徑．12．閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項．證明過程如下：如圖1：已知：點P是⊙O外一點，PF是切線，F是切點，PBA是割線，點A，B是它與⊙O的交點，求證：P證明：連接FO并延長交⊙O于C，連接AF，BF，BC，∵PF是⊙O的切線，∴∠∵CF是⊙O的直徑，∴∠∴∠C+∠CFB=90°

∴又∵∠C=∴......任務：(1)完成材料證明部分中的“依據”，填入空格．(2)把證明過程補充完整．(3)定理應用：已知PT為⊙O的切線，T是切點，PBA是⊙O的割線，交OC于D，為⊙O的直徑，OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的長．13．閱讀與思考九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突然看到某本數學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應的任務．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：APBP證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴APBP∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務：(1)請將上述證明過程補充完整．根據：；@：．(2)小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是O的弦，P是AB上一點，，PA=3cm，OP=15cm，求⊙14．閱讀與思考九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突然看到某本數學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應的任務．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：AP?證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴AP?∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務：(1)請將上述證明過程補充完整．根據：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點，AB=10cm，PA=4cm，，求⊙15．九年級學生小剛是一個喜歡看書的好學生，他在學習完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細閱讀原來就是：PA?PB=PC?PD，小剛很想知道是如何證明的，可異證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結AC、BD．聰明的你一定能幫他證出，請在圖1中做出輔助線，并寫出詳細的證明過程．小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是⊙O弦，P是AB上一點，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會幫助他，請寫出詳細的證明過程．16．小高同學在一本數學課外讀物上看到一個與圓相關的角——弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓周角度數．【證明】在證明時，細心的小高考慮了三種情況，圓心在弦切角∠PAB的一條邊上，圓心在弦切角外，圓心在弦切角內．如圖1，PA與⊙O相切于點A，AB為直徑，當圓心O在AB上時，容易得到∠PAB=90°，所以弦切角∠PAB=(1)如圖2，PA是⊙O的切線，A為切點，AC為直徑，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠C，求證：∠(2)如圖3，PA是⊙O的切線，A為切點，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠C．求證；∠【解決問題】(3)如圖4，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，過點B作⊙O的切線交AC的延長線于點D，直接寫出∠CBD與∠CAB17．閱讀與思考閱讀下面內容并完成任務：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線NM與⊙O相切于點A，AB為⊙O的弦，∠BAM叫弦切角，AB叫做弦切角∠BAM所夾的弧，∠C是AB所對的圓周角，AC為直徑時，很容易證明∠BAM=小華同學認為這是一種特殊情況，若AC不是直徑會如何呢？即在圖2中∠BAM=∠C嗎？她連接AO并延長，交⊙O于點