中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題25 費馬點（原卷版）

專題25費馬點費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點。模型：如圖，已知?ABC中所有內(nèi)角都小于120°，且其內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC，當(dāng)PA+PB+PC的值最小時，求∠APC、∠APB、∠BPC【思路】將PA、PB、PC三條分散的線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，然后借助兩點之間的線段最短找到符合條件的點P。求解過程：將?APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到?A’P’B則?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB而∠P’BP=60°則?P’BP為等邊三角形∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C∴當(dāng)A’、P’、P、C四點共線時，PA+PB+PC的最小值為A’C此時∠BPC=180°-∠BPP’=120°∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°【進(jìn)階】已知?ABC，如何作費馬點？①已知∠BAC<120°作法：1）如圖，分別以?ABC中的AB、AC為邊，作等邊?ADB、等邊?AEC2）連接CD、BE，則?ADC≌?ABE(手拉手模型)3）記CD、BE交點為P，點P為費馬點。4）以BC為邊作等邊?BCF，連接AF，必定經(jīng)過點P，且BE=AF=CD。②已知∠BAC=120°作法：在?ABC外作∠BAD=120°,連接BD、CD此時點A為?BCD的費馬點則AB+AC+AD≤PB+PC+PD即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC(只有當(dāng)P、A重合時取等號)③已知∠BAC>120°作法：在∠BAC內(nèi)部作∠BAE=120°,連接BE、CE則AB+AE≤PA+PB+PE而AC≤AE+EC∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC(只有當(dāng)P、A重合時取等號)【過關(guān)培優(yōu)練】1．（2023春·湖北十堰·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】平面幾何中的費馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個點A、B、C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置，費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，連接PD，可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC【解決問題】如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若，求PA+PB+PC2．（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC=_________；若AB=23,BC=2,AC=4，3．（2019秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家費馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最?。藗兎Q這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為_____．4．（2021·四川成都·九年級專題練習(xí)）已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermatpoint），已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費馬點，若P就是△ABC的費馬點，若點P是腰長為2的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=_____．5．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC=30°，AB=5，BC=6，P是△ABC內(nèi)部的任意一點，連接PA、PB、PC6．（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊△ABC中取點P，使得PA，PB，PC的長分別為m，m，2m，將線段BP以點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ，則∠7．（2023春·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=32，點P為△ABC二、單選題8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)的一點，連接，若，則4PA+2PB+23PC的最小值是（

）A． B．36 C． D．三、解答題9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）探究題(1)知識儲備①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．(2)知識遷移我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長度即為△ABC的費馬距離．(3)知識應(yīng)用①如圖3所示的△ABC（其中∠A?∠B?∠C均小于120°），AB=3,BC=4,∠ABC=30°，現(xiàn)取一點P，使點②如圖4，若三個村莊A?B?C構(gòu)成Rt△ABC，其中AC=6km,BC=43km,∠C=910．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120°，此時該點叫做這個三角形的費馬點．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，此時∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最?。?1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時△ACP'≌△ABP(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點P為直角三角形ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，請直接寫出PA+PB+PC的值．11．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．如圖，點P是△ABC內(nèi)的一點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△AP'C'，則可以構(gòu)造出等邊△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP'+PB+P'C(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC，將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A①若PA=3，則點P與點P'②當(dāng)PA=3，PB=5，PC=4時，求∠A(2)如圖2，點P是△ABC內(nèi)的一點，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC12．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM,BM,CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB（2）若的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點．若點M為△ABC的費馬點，求此時∠AMB,∠（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費馬點的一個方法嗎？請利用圖2畫出草圖，并說明作法以及理由．13．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費馬點）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值14．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）若點P是等邊三角形三條中線的交點，點P（填是或不是）該三角形的費馬點．（2）如果點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點為△ABC的費馬點．15．（2021·山西·九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：費馬，17世紀(jì)德國的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，在三角形內(nèi)有一點P，使得證明：如圖②，把繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'∵_(dá)_______，∴△∴AP=P∴PA+PB+PC=P點C'可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°∴當(dāng)B、P、P'、這時∠BPA=18∠APC=∠BPC=36任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；（2）已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長.16．（2019秋·浙江臺州·九年級校考期中）(1)知識儲備①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．(2)知識遷移①我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長度即為△ABC的費馬距離.②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費馬點P(要求尺規(guī)作圖).(3)知識應(yīng)用①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：ⅰ.任意三角形的費馬點有且只有一個（

）；ⅱ.任意三角形的費馬點一定在三角形的內(nèi)部（

）.②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點，且PA+PB+PC的最小值為6+邊長．

17．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(1)若點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為；(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'連結(jié)BB'．求證：BB'過△ABC的費馬點P，且BB'=PA+PB+PC．18．（2022秋·廣東河源·九年級?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)“兩點之間