中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題25 費(fèi)馬點(diǎn)（原卷版）

專題25費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn)。模型：如圖，已知?ABC中所有內(nèi)角都小于120°，且其內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求∠APC、∠APB、∠BPC【思路】將PA、PB、PC三條分散的線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，然后借助兩點(diǎn)之間的線段最短找到符合條件的點(diǎn)P。求解過程：將?APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到?A’P’B則?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB而∠P’BP=60°則?P’BP為等邊三角形∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C∴當(dāng)A’、P’、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的最小值為A’C此時(shí)∠BPC=180°-∠BPP’=120°∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°【進(jìn)階】已知?ABC，如何作費(fèi)馬點(diǎn)？①已知∠BAC<120°作法：1）如圖，分別以?ABC中的AB、AC為邊，作等邊?ADB、等邊?AEC2）連接CD、BE，則?ADC≌?ABE(手拉手模型)3）記CD、BE交點(diǎn)為P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)。4）以BC為邊作等邊?BCF，連接AF，必定經(jīng)過點(diǎn)P，且BE=AF=CD。②已知∠BAC=120°作法：在?ABC外作∠BAD=120°,連接BD、CD此時(shí)點(diǎn)A為?BCD的費(fèi)馬點(diǎn)則AB+AC+AD≤PB+PC+PD即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC(只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào))③已知∠BAC>120°作法：在∠BAC內(nèi)部作∠BAE=120°,連接BE、CE則AB+AE≤PA+PB+PE而AC≤AE+EC∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC(只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào))【過關(guān)培優(yōu)練】1．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置，費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，連接PD，可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC【解決問題】如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若，求PA+PB+PC2．（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC=_________；若AB=23,BC=2,AC=4，3．（2019秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小．人們稱這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為_____．4．（2021·四川成都·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint），已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=_____．5．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC=30°，AB=5，BC=6，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC6．（2023春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等邊△ABC中取點(diǎn)P，使得PA，PB，PC的長(zhǎng)分別為m，m，2m，將線段BP以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ，則∠7．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=32，點(diǎn)P為△ABC二、單選題8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接，若，則4PA+2PB+23PC的最小值是（

）A． B．36 C． D．三、解答題9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）探究題(1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．(3)知識(shí)應(yīng)用①如圖3所示的△ABC（其中∠A?∠B?∠C均小于120°），AB=3,BC=4,∠ABC=30°，現(xiàn)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)②如圖4，若三個(gè)村莊A?B?C構(gòu)成Rt△ABC，其中AC=6km,BC=43km,∠C=910．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最?。?1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時(shí)△ACP'≌△ABP(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP，在射線BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫出PA+PB+PC的值．11．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AP'C'，則可以構(gòu)造出等邊△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP'+PB+P'C(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A①若PA=3，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'②當(dāng)PA=3，PB=5，PC=4時(shí)，求∠A(2)如圖2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC12．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM,BM,CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB（2）若的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求此時(shí)∠AMB,∠（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)的一個(gè)方法嗎？請(qǐng)利用圖2畫出草圖，并說(shuō)明作法以及理由．13．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值14．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．15．（2021·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：費(fèi)馬，17世紀(jì)德國(guó)的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，使得證明：如圖②，把繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'∵_(dá)_______，∴△∴AP=P∴PA+PB+PC=P點(diǎn)C'可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°∴當(dāng)B、P、P'、這時(shí)∠BPA=18∠APC=∠BPC=36任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；（2）已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng).16．（2019秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校?1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移①我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P(要求尺規(guī)作圖).(3)知識(shí)應(yīng)用①判斷題（正確的打√，錯(cuò)誤的打×）：ⅰ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)（

）；ⅱ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部（

）.②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為6+邊長(zhǎng)．

17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為；(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'連結(jié)BB'．求證：BB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB'=PA+PB+PC．18．（2022秋·廣東河源·九年級(jí)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間