第14講-橢圓(解析版)

第14講橢圓.掌握橢圓的定義以及標準方程、幾何圖形和簡單幾何性質(zhì).1定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.如圖：P是橢圓上一點，P注PF1+PF2=2a>FPF1+PF2PF2幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程xy范圍?a≤x≤a且?b≤y≤b?b≤x≤b且?a≤y≤a頂點ABAB軸長短軸長2b，長軸長焦點FF焦距Fa、b、c的關(guān)系a離心率e=3一些常見結(jié)論①通徑：過焦點且垂直于長軸的弦，其長度為2b②最大角，P是橢圓上一點，當運動到短軸端點時，∠F③焦點三角形面積S?P④焦半徑PF1=a+e⑤橢圓x2a2【題型1橢圓的定義】【典題】（1）如圖，點A是平面α外一定點，過A作平面α的斜線l，斜線l與平面α所成角為50°．若點P在平面α內(nèi)運動，并使直線AP與l所成角為35°，則動點P的軌跡是()A．圓B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線的一支【解析】用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線．故可知動點P的軌跡是橢圓的一部分．故選：B．【典題】（2）設(shè)定點F10,－3、F2(0,3)動點A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【解析】由題意得，|PF所以|P當且僅當a=9a時取等號，此時a=3因為定點F1(0,－3)、F當|PF1|+|PF2|=6當|PF1|+|PF2|>6時，點故選：D．【點撥】注意橢圓定義的常數(shù)要大于兩定點距離.鞏固練習1.在棱長為1的正方體ABCD－A'B'C'D'中，若點P是棱上一點，則滿足|PA|+|PC'|=2的點P的個數(shù)為()A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】∵正方體的棱長為1,∴AC'=∵|PA|+|PC'|=2∴點P是以2c=3為焦距，以a=1為長半軸，以1∵P在正方體的棱上∴P應是橢圓與正方體的棱的交點結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，滿足條件的點應該在棱B'C',C'D',CC',AA',AB,AD上各有一點滿足條件故選：B．2.設(shè)F1－4,0、F2(4,0)為定點，動點A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【答案】B【解析】若點M與F1，F(xiàn)2可以構(gòu)成一個三角形，則∵|F1F2|=8∴點M在線段F1故選：D．【題型2橢圓方程】【典題】（1）已知F(2,0)是橢圓E：x2a2+y2b【解析】方法一已知F(2,0)是橢圓E：x2a2可得a2?(這里求a,b可“猜”，由2a2+1b所以所求橢圓方程為：x2方法二依題意可知，橢圓的兩個焦點分別為F1?由橢圓的定義，可知2a=EF又c=2所以所求橢圓方程為：x2【點撥】方法二利用橢圓的定義求解，計算量較小.【典題】（2）經(jīng)過兩點A(0,2)、B(12,3)【解析】由題意，設(shè)橢圓的方程為x2m則4n=11∴橢圓的標準方程為x2【點撥】過兩個點的橢圓設(shè)為x2m+y2【典題】（3）已知方程4x2+ky2=1的曲線是焦點在【解析】橢圓方程4x2+k由于橢圓的焦點在y軸上，則1k>故答案為：0<k<4.【點撥】曲線方程C:當m>0,n>0且m≠n時，C為橢圓(若m=n當m>n>0時，C為焦點在x軸上的橢圓且a當n>m>0時，C為焦點在y軸上的橢圓且a簡而言之：看分母大小.鞏固練習1.已知B、C是兩個定點，|BC|=6，且△ABC的周長等于16，則頂點A【答案】x225+【解析】∵|BC|=6，且△ABC的周長等于16，∴AB+AC=10>BC，故頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，除去與x軸的交點，∴2a=10，c=3，∴b=4，故頂點A的軌跡方程為x225+故答案為：x225+y22.已知方程x24?k+y2k?1=【答案】(1，52【解析】∵方程x24?k+∴4?k>0k?1>04?k>k?1∴k的取值范圍是(1，52)．故答案為：(1，523.焦點在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過點P(3,?26)的橢圓標準方程是【答案】x2【解析】由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為x∵焦距等于4，且橢圓經(jīng)過點P(3,?26∴c=a2?b因此，橢圓的標準方程為x2故答案為：x【題型3橢圓的圖像及其性質(zhì)】【典題】（1）如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－25,0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|=|OF|，且【解析】由題意可得c=25，設(shè)右焦點為由|OP|=|OF|=|OF'|，易得PF⊥PF'(P在三角形?PFF'外接圓上)由勾股定理，得|PF'|=FF'由橢圓定義，得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12，從而a=6，于是b所以橢圓的方程為x2【點撥】注意焦點三角形△PFF'的運用，常用到橢圓定義|PF【典題】（2）橢圓的離心率為22，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點與F關(guān)于直線y=x+4【解析】由橢圓的離心率e=ca=2由b2=不妨設(shè)橢圓方程為x∴右焦點(－b,0)關(guān)于l：y=x+4的對稱點設(shè)為(x',y')則y'x'+b=?1由點(－4,4－b)在橢圓上，得16+2由橢圓的對稱性可知橢圓的焦點坐標也可以在y軸上，(注意焦點的位置)∴橢圓的標準方程為：x218+【點撥】點A(x1,y1?AA'的中點(x1+x2【典題】（3）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,【解析】在三角形?F由余弦定理可得cos∠F1B(用二倍角公式求出也cos∠OBF可設(shè)a=5t，c=3t設(shè)D(m,n)，即有∵B(0,b)∴k(這是由一定理想到的：A,B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A,B的一點，且kPA,kPB由kBD【點撥】①處理斜率問題常用到斜率公式k=y②本題另一思路：求出直線BF2的方程---聯(lián)立方程求出點D---求鞏固練習1.橢圓x2+my2=1【答案】4或14【解析】由x2+my2=1是橢圓，知m>0當橢圓焦點在x軸上時，長軸長為2，短軸長為21由2=41m，得當橢圓焦點在y軸上時，長軸長為21m，短軸長為由21m=4故答案為：4或14．2.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2【答案】3?1【解析】因為|OM|=|OF所以∠F設(shè)MF1=m如圖所示，由題意：Rt△MF1F2∽Rt△ON可得MF1MF2=ON可得m=(3?1)a∴3∴4－2化為：ca故選：D．3.已知橢圓x22m2?n+yA．(12,+∞) B．(4,12) C．(4,6) D．(6,+∞)【答案】A【解析】依題意得2m2－n>n－且n－m2=4則32(n?4)>n>n－4，得到故選：A．4.設(shè)點P為橢圓：x249+y224=1上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點【答案】8【解析】因為G為△PF1F因為PF1⊥PF2所以2c2=x所以c2所以方程整理可得x2－14x+48=0，解得當x1=6時，PF則S△P所以S△PG同理x2=8時，故答案為：8．一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2006·山東·高考真題）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直于長軸的弦長得到，根據(jù)焦點到相應準線的距離得到，結(jié)合，求出，求出離心率.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，則焦點坐標為，不妨令，則，解得：，故，即，焦點到相應準線的距離為，即又，所以，故，離心率為，當橢圓焦點在軸上時，同理可得：.故選：B3．（2008·山東·高考真題）設(shè)橢圓的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為．若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)離心率和長軸長計算得到，，判斷曲線為焦點在軸上的雙曲線，根據(jù)雙曲線的定義計算得到答案.【詳解】橢圓的離心率為，，，故，故橢圓的兩個焦點為，，曲線上的點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，，故曲線為焦點在軸上的雙曲線，，，，，故雙曲線方程為.故選：A4．（2008·天津·高考真題）設(shè)橢圓上一點到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則點到右準線的距離為（

）A．6 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義，求出，利用第二定義求出到右準線的距離，注意右焦點右準線的對應關(guān)系．【詳解】由橢圓第一定義知，所以，橢圓方程為，設(shè)點到右準線的距離為，因為到右焦點的距離為1，所以所以，故選：．5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.6．（2007·北京·高考真題）橢圓的焦點為，兩條準線與x軸的交點分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)準線方程公式，由橢圓的方程可得，表示出的長，又，所以把和的長度分別代入，化簡即可求出離心率的取值范圍，再根據(jù)橢圓的離心率小于1，取交集即可.【詳解】因為橢圓的準線方程為，所以，又因為，則由，得到，所以，又因為，所以，故，故選：D.7．（2007·湖南·高考真題）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出點的坐標，再由題目條件得到，利用兩點間的距離公式列出式子，借助化簡式子，得到關(guān)于離心率的式子，結(jié)合離心率的范圍解出不等式即可.【詳解】設(shè)點，因為線段的中垂線過點，所以，即，化簡得，因為，所以，即，所以，又因為，所以，解得.故選：D.二、填空題8．（2008·湖南·高考真題）已知橢圓的右焦點為F，右準線為，離心率．過頂點作，垂足為，則直線的斜率等于．【答案】/0.5【分析】根據(jù)題意求得，，再由離心率求得，從而可求得直線的斜率.【詳解】因為橢圓方程為，所以，右準線為，如圖，又因為，，垂足為，所以，因為，所以，，即，所以.故答案為：.9．（2008·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑作圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意可知：圓的方程為，設(shè)兩切點為，由圓的性質(zhì)和題意可知：，且，因此是直角三角形，故，故答案為：10．（2007·福建·高考真題）已知長方形，，，則以，為焦點，且過，的橢圓的離心率為．【答案】/【分析】利用橢圓的定義求橢圓的離心率.【詳解】解析:如圖，，即∵點在橢圓上，且∴，即，∴##故答案為：##.11．（2015·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點與圓的圓心重合，長軸長等于圓的直徑，那么短軸長等于．【答案】【分析】由于是圓，可得，通過圓心和半徑計算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長軸長為8，即，，，那么短軸長為故答案為：三、解答題12．（2005·上?！じ呖颊骖}）如圖,點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,．(1)求點P的坐標;(2)設(shè)M是橢圓長軸上的一點,M到直線的距離等于,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)設(shè)出點坐標,代入橢圓方程,根據(jù)列出方程聯(lián)立即可求出點坐標;(2)設(shè)出點坐標,根據(jù)M到直線的距離等于,列出方程,求出點坐標,設(shè)出橢圓上點的坐標,根據(jù)兩點間距離公式列出式子,將點坐標滿足的橢圓方程代入消,可得到關(guān)于的二次函數(shù),配方即可求得距離平方的最小值,進而求得距離的最小值.【詳解】（1）解:由題知,P在橢圓上,不妨設(shè),,,,即,兩式聯(lián)立可得:,故點P的坐標為;（2）M是橢圓長軸上的一點,不妨設(shè),,,,M到直線的距離等于,,即,因為所以解得設(shè)為橢圓任一點,則滿足,即,則,故當時有最小值為.13．（2006·福建·高考真題）已知橢圓的左焦點為為坐標原點.(1)求過點，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；(2)設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A?B兩點，線段的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓左焦點F的坐標，左準線l的方程，再求出圓的方程作答.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質(zhì)可求得點的橫坐標的取值范圍.【詳解】（1）橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，則，依題意，所求圓的圓心在直線，設(shè)，則半徑，而，解得，所以所求圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根．設(shè)點、，設(shè)的中點為，則，，．直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以故點的橫坐標的取值范圍.14．（2006·福建·高考真題）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點．(1)求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；(2)設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段的中點在直線上，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓左焦點F的坐標，左準線l的方程，再求出圓的方程作答.（2）設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理求解作答.【詳解】（1）橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，則，依題意，所求圓的圓心在直線上，設(shè)，則半徑，而，解得，所以所求圓的方程為.（2）當直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)中點，則，，因線段AB的中點N在直線上，有，解得或，直線AB方程為：或，當直線AB與軸垂直時，線段AB的中點F不在直線上，所以直線AB的方程是或.四、雙空題15．（2004·北京·高考真題）若直線與圓沒有公共點，則m，n滿足的關(guān)系式為；以為點P的坐標，過點P的一條直線與橢圓的公共點有個．【答案】；2【分析】由直線與圓無公共點，圓心到直線的距離大于半徑，應用點線距離公式得到m，n的關(guān)系式，根據(jù)橢圓短軸長即可判斷與橢圓內(nèi)的位置關(guān)系，進而可得直線與橢圓的交點個數(shù).【詳解】要使直線與圓無公共點，則圓心到直線的距離大于半徑即可，所以，則，因為橢圓的短軸長為，而，即恒在橢圓內(nèi)部，所以過點P的一條直線與橢圓的公共點有2個.故答案為：，216．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．一、單選題1．橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程可求得的值，進而可得離心率.【詳解】由橢圓方程得：，，，橢圓離心率.故選：D.2．已知兩定點，，直線l：y＝x－，在l上滿足|PM|＋|PN|＝2的點P的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．0或1或2【答案】B【解析】利用橢圓的定義求出和，然后，聯(lián)立直線和橢圓方程，求解即可求解【詳解】由橢圓的定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，故c＝1，a＝，b＝1，其方程為，由，得，則在l上滿足的點P有1個，故選B.【點睛】解題關(guān)鍵在于，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用求解，屬于基礎(chǔ)題3．已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，則（

）A．3 B． C．12 D．2【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求出，得到，進而可求出值.【詳解】焦點在軸上的橢圓，可得，橢圓的離心率為，可得：，解得.故選：A4．是橢圓的左焦點是橢圓上的動點為定點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，將求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)變?yōu)閮删€段之差的絕對值的最大值即可.【詳解】橢圓的，如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則；；由圖形知，當在直線上時，，當不在直線上時，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，當在的延長線上時，取得最小值的最小值為．故選：C．5．已知動點在橢圓上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，若點M滿足且，則的最大值為（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【分析】依題意知，該橢圓的焦點，點M在以為圓心，1為半徑的圓上，當PF最長時，切線長PM最大，作出圖形，即可得到答案．【詳解】因為，所以點M在以為圓心，1為半徑的圓上，又因為，所以，PM為圓的切線，，所以當PF最長時，切線長PM最大．當點P與橢圓的左頂點重合時，最大，最大值為．此時的最大值為．故選：B．6．如圖所示，已知是橢圓的左?右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線的方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.二、多選題7．設(shè)橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（

）A．為定值B．的周長的取值范圍是C．當時，為直角三角形D．當時，的面積為【答案】ACD【分析】對選項進行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則所以為定值，A正確；的周長為，因為為定值6，所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B錯誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，又因為，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.故選：ACD8．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點．下列橢圓的方程中，能使得為正三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意可知，要使為正三角形，則，可得通徑，再結(jié)合橢圓的定義既可求得，對各選項逐一檢驗即可得出答案.【詳解】設(shè)橢圓．由題意知，易得，又，故，顯然B、D選項正確．故選：BD.

三、填空題9．設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點，若直線上存在點，使，則橢圓離心率的取值范圍為.【答案】【分析】由題設(shè)易知，結(jié)合橢圓離心率的性質(zhì)即可得離心率的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，，則，而，所以.故答案為：.10．過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為.【答案】【解析】根據(jù)題中條件，得到所求橢圓焦點在軸上，且，設(shè)它的標準方程為，由題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為所求橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在軸上，且.設(shè)它的標準方程為，因為，且，故①，又點在所求橢圓上，所以②由①②得，，所以所求橢圓的標準方程為.11．已知是橢圓的兩個焦點，過且垂直于軸的直線交于兩點,且則的方程為．【答案】【詳解】試題分析：依題意設(shè)橢圓C的方程為+=1（a>b>0）,由條件可得,,因,即,所以解得所以橢圓C的方程為．故選C．考點：橢圓的方程．12．已知命題方程表示焦點在x軸上的橢圓；命題q：方程表示圓．若“p或”為假，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】若“或”為假，等價于命題為假，且命題為真，再橢圓和圓的方程要求列不等式，解出不等式即可【詳解】解：當命題為真命題時，解得：當命題為真命題時，即或．若“或”為假，則命題為假，且命題為真若命題“”為假命題，則有：或綜上可得：或?qū)崝?shù)a的取值范圍：故答案為：四、解答題13．求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)兩個焦點的坐標分別為，并且橢圓經(jīng)過點．(2)已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓C上，求C的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，橢圓上一點到兩焦點距離為，可求出，再由b2＝a2﹣c2計算，寫出橢圓方程；（2）由橢圓的對稱性可判斷橢圓過，兩點，又，不同時在橢圓上，可確定點在橢圓C上，將點代入橢圓方程計算，可求出的值，從而寫出橢圓方程.(1)根據(jù)題意，兩個焦點的坐標分別為，即c＝2，又由橢圓經(jīng)過點，則2a，故a，則b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，故要求橢圓的方程為1；(2)解：由題意，因為，兩點關(guān)于y軸對稱，所以橢圓C經(jīng)過，兩點，又由，知，橢圓C不經(jīng)過點，所以點在橢圓C上，因此，解得，所以橢圓C的方程為．14．已知曲線C的方程為．(1)判斷曲線C是什么曲線，并求其標準方程；(2)過點的直線l交曲線C于M，N兩點，若點P為線段MN的中點，求直線l的方程．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點差法即可求解中點弦斜率和中點弦方程.【詳解】（1）設(shè)，，E(x，y)，∵，，且，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓．設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線的標準方程為．（2）根據(jù)橢圓對稱性可知直線l斜率存在，設(shè)，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.15．橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點A(－2，0)，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(4，0)任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N.在x軸上是否存在點Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，Q(1，0).【分析】（1）由頂