2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上冊(cè)1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合A＝，B＝，則A∩B等于()A.[1,3] B.[1,5] C.[3,5] D.[1，＋∞)【正確答案】C【分析】求出中不等式的解集確定出，求出中的范圍確定出，找出與的交集即可【詳解】由中不等式變形可得：，解得由中得到，即則故選本題主要考查的是集合的交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.若復(fù)數(shù)z滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A.-2 B.i C.0 D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘方、加減運(yùn)算計(jì)算即可判斷作答.詳解】因，則，所以所求共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為0.故選：C3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言．務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．”意為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第1個(gè)孩子開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話．”在這個(gè)問(wèn)題中，第8個(gè)孩子分到的棉花為（）A.184斤 B.176斤 C.65斤 D.60斤【正確答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，．故選：A4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.5 B.0.625 C.0.75 D.0.875【正確答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，由題中條件，直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋⑶矣忠驗(yàn)?，所以，所以所以，所以故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，且，所以，所以，所以．故選：C．6.設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為1，則的面積為（）A.2 B.3 C. D.【正確答案】C【分析】由題意結(jié)合橢圓的定義求出，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜汕蟪?，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為：，則，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為1，所以假設(shè)，則，解得：，又因?yàn)?，在中，由余弦定理可得：，所以，所以的面積為.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，則，解得，即；當(dāng)時(shí)，，要使得該函數(shù)取得一次最大值，故只需，解得；綜上所述，的取值范圍為.故選：C.8.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，由圖可知，若對(duì)，都有，則.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為B.在軸上存在異于的兩定點(diǎn)，使得C.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線D.在上存在點(diǎn)，使得【正確答案】BC【分析】設(shè)點(diǎn)，由可求出的方程，即可判斷A；設(shè)，，將轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，由點(diǎn)的軌跡為即可求出，的值，即可判斷選項(xiàng)B；由可得是的平分線即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)，由可得的方程，然后與的方程聯(lián)立求解可判斷D.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則由可得，化簡(jiǎn)可得，故A錯(cuò)誤；假設(shè)在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得，設(shè)，，由可得，即化簡(jiǎn)可得：，由點(diǎn)的軌跡為可得，，解得：，或，（舍去），即存在，，即存在點(diǎn)，，使得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由，可得是的平分線，故選項(xiàng)C正確；若存在點(diǎn)M，使得，可設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，與聯(lián)立可得方程組無(wú)解，故不存在，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，若在上的值域是，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)已知求出的范圍即可.【詳解】，因?yàn)?，所以又因?yàn)榈闹涤蚴?，所以可知的取值范圍?故選：BC.11.對(duì)于伯努利數(shù)，有定義.則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)伯努利數(shù)的定義以及二項(xiàng)式定理，將寫(xiě)成遞推公式的形式，逐一代入計(jì)算即可判斷選項(xiàng).【詳解】由得，，所以，，同理，，所以，，其中第項(xiàng)為即可得令，得；令，得；令，得同理，可得；即可得選項(xiàng)AC正確，B錯(cuò)誤；由上述前12項(xiàng)的值可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，除了之外其余都是0，即，也即；所以D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)（為正整數(shù)，）的最小正周期，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn) B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.方程在上有三個(gè)解 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】先由周期范圍及為正整數(shù)求得，再由平移后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求得，從而得到，對(duì)于AB，將與代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于C，利用換元法得到在內(nèi)只有兩個(gè)解，從而可以判斷；對(duì)于D，利用整體法及的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，又為正整?shù)，所以，所以，所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，（點(diǎn)撥：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移變換得到的圖象時(shí)，不是平移個(gè)單位長(zhǎng)度，而是平移個(gè)單位長(zhǎng)度），由題意知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，即，又，所以，，所以，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于A，令，因?yàn)?，所以，顯然在內(nèi)只有，兩個(gè)解，即方程在上只有兩個(gè)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換法則求出變換后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，注意口訣“左加右減，上加下減，橫變，縱變A”在解題中的應(yīng)用.三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13.一個(gè)布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)是紅球，2個(gè)是白球，若從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率是______.【正確答案】【分析】先求出“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的對(duì)立事件的概率，再用1減去此概率的值，即得所求．【詳解】從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，所有的抽法共有種，事件“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的對(duì)立事件為“所抽取的球中沒(méi)有紅球”，而事件：“所抽取的球中沒(méi)有紅球”的概率為，故事件“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的概率等于，故答案為.本題考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”問(wèn)題的概率通常求其的對(duì)立事件的概率，再用1減去此概率的值，屬于簡(jiǎn)單題.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作的切線、，與交于點(diǎn)，，與軸的交點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積為_(kāi)_____________．【正確答案】4【分析】求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，即可求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線，的方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，的坐標(biāo)，可得，再由三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為且直線的傾斜角為，則，所以直線方程為，即，設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，聯(lián)立，消去得解得、，代入直線方程，則、，因?yàn)橹本€與拋物線相切于點(diǎn)，即，則，所以，同理可得，則可得直線方程為，即，則其與軸交點(diǎn)，令，則，所以，直線的方程為，即，則其與軸交點(diǎn)，令，則，所以，所以，聯(lián)立、的方程，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，．故．15.已知函數(shù)，則的最小值為_(kāi)___.【正確答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用換元法，通過(guò)二次函數(shù)的最值的求解即可．【詳解】解：f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6）＝x（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝[x（x﹣2）][（x+1）（x﹣3）]＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），不妨令t＝x2﹣2x≥﹣1，則（t≥﹣1），所以當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值．故答案為本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．16.已知函數(shù)有六個(gè)不同零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為，則的取值范圍為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得的值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)分類(lèi)討論和導(dǎo)數(shù)的方式得到單調(diào)性和極值，進(jìn)而確定的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式得到結(jié)果.【詳解】，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又的六個(gè)零點(diǎn)之和為，，解得：，，令，則與有個(gè)不同交點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，又與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得其大致圖象如下圖所示：由圖象可知：若與有個(gè)不同交點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本方法：（1）直接法：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）分離變量法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.四、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.某電視臺(tái)“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問(wèn)題，其中前兩個(gè)問(wèn)題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個(gè)問(wèn)題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總分不低于分就算闖關(guān)成功．（）求至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率．（）求這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的分布列．（）求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合對(duì)立事件概率公式可得至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率為.（Ⅱ）這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的所有可能取值為.計(jì)算各個(gè)分值相應(yīng)的概率值即可求得總得分X的分布列；（Ⅲ）結(jié)合(Ⅱ)中計(jì)算得出概率值可得這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率值為.試題解析：（Ⅰ）設(shè)至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題為事件,則.（Ⅱ）這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的所有可能取值為.根據(jù)題意,,,,,,.隨機(jī)變量的分布列是:（Ⅲ）設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事件,則.18.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去如陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒，E，F(xiàn)是AB邊上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)cm.（1）求包裝盒的容積關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域.（2）當(dāng)x為多少時(shí)，包裝盒的容積V（）最大？最大容積是多少？【正確答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是【分析】（1）設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為，分別將用表示，求出函數(shù)的解析式，注明定義域即可．（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為，則，，，所以，；【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值：．所以當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是．19.已知函數(shù)（1）函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)時(shí)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一的極大值點(diǎn).【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求解，（2）由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，及零點(diǎn)存在性定理證明．【小問(wèn)1詳解】，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，，由（1）可知的最小值為，而，又，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在使得，又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，又上單調(diào)遞增，故在上不存在極大值點(diǎn)，所以存在唯一的極大值點(diǎn)，20.已知數(shù)列中，，，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求．【正確答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）由，得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，再根據(jù)累加法得答案；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和即可得證.【詳解】即（1）因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以而也符合該式，?（2），21.已知直線方程為，其中.（1）當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值及此時(shí)的直線方程；（2）若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)的直線方程.【正確答案】（1）