2024-2025學(xué)年高三山東省濰坊市上冊1月期末數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年高三山東省濰坊市上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.將4個不加區(qū)分的紅球和2個不加區(qū)分的黃球隨機排一行，則2個黃球不相鄰的概率為（）A. B. C. D.4.下列區(qū)間中，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.（0，） B. C.（，π） D.（，2π）5.已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為（）A. B. C. D.6.已知，，在的展開式中，若項的系數(shù)為2，則的最小值為（）A. B.2 C. D.7.若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點A，B，使得曲線在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)為“共切”函數(shù)，下列函數(shù)中是“共切”函數(shù)的為（）A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)的定義域為R且滿足是奇函數(shù)，則f（2）=（）A.－1 B.1 C.0 D.2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.和均為的最大值10.已知平面向量,，，則下列結(jié)論正確的是（）A.可以作為平面內(nèi)所有向量一組基底B.若，則C.存在實數(shù)，使得D.若，則11.點P在圓M：上，點A（4，0），點B（0，2），下列結(jié)論正確的是（）A.過點A可以作出圓的兩條切線B.圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程為C.點P到直線AB距離最大值為D.當(dāng)∠PBA最大時，12.記導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線C：，直線l：交拋物線C于P，Q兩點，且OP⊥OQ，則拋物線C的方程為____________.14.設(shè)為等比數(shù)列的前項和.若，，則________.15.已知是半徑為2的球的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為_______.16.已知函數(shù).當(dāng)時，若函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個交點，則的取值范圍為________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為迎接2022年北京冬奧會，某校組織一場冰雪運動知識競賽，規(guī)則如下：有A，B兩類問題，每位參加比賽的選手先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該選手比賽結(jié)束，若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得70分，否則得0分.小明參加了本次冰雪知識競賽，已知他能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明選擇先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.18.設(shè)a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的三邊.已知，.（1）求邊a的最小值；（2）當(dāng)邊a取得最小值時，設(shè)點D是線段AC上的一點且，求△ABD的面積.19.多面體中，側(cè)面為正方形，平面⊥平面，，，，E為AC的中點，D為棱上的點，BF⊥A1B1.（1）證明：AB⊥BC；（2）求面與面DFE所成二面角的余弦值的最大值.20.已知數(shù)列{}滿，.（1）記，寫出，，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）求的前2022項和.21.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（－，0），（，0），點M滿足，點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知A（1，0），過點A的直線AP，AQ與曲線C分別交于點P和Q（點P和Q都異于點A），若滿足AP⊥AQ，求證：直線PQ過定點.22.已知函數(shù)，.（1）討論f（x）單調(diào)性；（2）若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若有不相等的兩個正實數(shù)，滿足，證明.

2024-2025學(xué)年高三山東省濰坊市上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)偶次根式有意義及一元二次不等式的解法，再結(jié)合集合的交集的定義即可求解.【詳解】由有意義，得，解得，所以，，故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求出，再代入中化簡即可【詳解】因為，所以，所以，故選：A3.將4個不加區(qū)分的紅球和2個不加區(qū)分的黃球隨機排一行，則2個黃球不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)插空法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】將4個不加區(qū)分的紅球和2個不加區(qū)分的黃球隨機排一行，共有種，其中2個黃球不相鄰的有種，所以所求事件的概率為.故選：C4.下列區(qū)間中，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.（0，） B. C.（，π） D.（，2π）【正確答案】C【分析】，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需令，取得解.【詳解】解：，令，可得，令可得：，因為，故選項C正確；選項ABD都不符合題意.故選：C.5.已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，在中，利用余弦定理求得的關(guān)系，從而可得出答案.【詳解】解：在橢圓C：中，由橢圓的定義可得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選：A.6.已知，，在的展開式中，若項的系數(shù)為2，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)二項展開式通項公式得到，再利用基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因為，的展開式的通項公式為，,所以，即，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D7.若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點A，B，使得曲線在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)為“共切”函數(shù)，下列函數(shù)中是“共切”函數(shù)的為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由題意知，導(dǎo)函數(shù)中存在兩個點，它們的函數(shù)值相等，才可能是“共切”函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)不能為單調(diào)函數(shù)，由此判斷A,B;對于C，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)特征可以設(shè)出兩點坐標(biāo)，使得在這兩點處導(dǎo)數(shù)相等，但求出切線方程，切線都不會重合，判斷C;對于D，求出導(dǎo)數(shù)，可以找到至少有兩點符合題中要求，判斷D.【詳解】由“共切”函數(shù)的定義可知，導(dǎo)函數(shù)中自變量存在兩個值，它們的函數(shù)值相等，才可能是“共切”函數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)不會為單調(diào)函數(shù)；對于，，即導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且自變量與函數(shù)值是一一對應(yīng)的關(guān)系，故不會是“共切”函數(shù)；對于，，即導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故必不是“共切”函數(shù)；對于，，存在與，，兩點處的切線斜率為相等，分別寫出切線方程為：，，顯然兩直線不重合，故不是“共切”函數(shù)；對于，，，即導(dǎo)函數(shù)為的周期函數(shù)，且恒成立，故在上遞增，不妨取，則，切點分別為，此時切線方程分別為，兩切線重合，可知至少存在、兩點處的切線重合，故該函數(shù)為“共切”函數(shù)．故選：．8.設(shè)函數(shù)的定義域為R且滿足是奇函數(shù)，則f（2）=（）A.－1 B.1 C.0 D.2【正確答案】C【分析】直接根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】令，因為為奇函數(shù)，所以，故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.和均為的最大值【正確答案】ACD【分析】由題意推出，，由此可判斷A,C;利用，結(jié)合，判斷B；由，可判斷D.【詳解】由得，即，又，，，故C正確；，故A正確；對于B，，而，故，，故，B錯誤；由以上分析可知：，故,均為的最大值，故D正確；故選：ACD．10.已知平面向量,，，則下列結(jié)論正確的是（）A.可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.若，則C.存在實數(shù)，使得D.若，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)坐標(biāo)判斷、不共線，再根據(jù)基底的概念可判斷A；根據(jù)求出，可判斷B；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可判斷D.【詳解】因為，，所以，對于A，因為，所以與不共線，所以可以作為平面內(nèi)所有向量一組基底；故A正確；對于B，若，則，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以不存在實數(shù)，使得，故C不正確；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ABD11.點P在圓M：上，點A（4，0），點B（0，2），下列結(jié)論正確的是（）A.過點A可以作出圓的兩條切線B.圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程為C.點P到直線AB距離的最大值為D.當(dāng)∠PBA最大時，【正確答案】ACD【分析】對于A，判斷出點A（4，0）在圓M外，據(jù)此判斷A；對于B，求出圓M關(guān)于直線AB對稱的點為，進而得到圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程；對于C，先求點M到直線AB距離，加上半徑即點P到直線AB距離的最大值；對于D，當(dāng)與圓M相切時，∠PBA最大或最小，求出即可.【詳解】解：對于A，，點A（4，0）在圓M外，所以過點A可以作出圓M的兩條切線，故A正確；對于B，有題知，直線AB的方程為：，設(shè)圓M關(guān)于直線AB對稱的點為，由解得，圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程的圓心為，圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程為，故B錯誤；對于C，點M到直線AB距離為，所以點P到直線AB距離的最大值為，故C正確；對于D，如圖，當(dāng)與圓M相切時，∠PBA最大或最小，此時，故D正確.故選：ACD12.記的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對于AB，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，借助單調(diào)性比較大小即可；對于CD，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，借助單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：因為，所以，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，故A錯誤；同理，即，所以，故B正確；因為，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即，化簡得，故C正確；同理，即，化簡得，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線C：，直線l：交拋物線C于P，Q兩點，且OP⊥OQ，則拋物線C的方程為____________.【正確答案】【分析】將直線l：代入拋物線C：，得，，由OP⊥OQ得，計算可得.【詳解】解：將直線l：代入拋物線C：，得，，所以，，因為OP⊥OQ，所以，，所以拋物線C的方程為.故答案為.14.設(shè)為等比數(shù)列的前項和.若，，則________.【正確答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知成等比數(shù)列，由此可依次計算求得，進而得到結(jié)果.【詳解】為等比數(shù)列的前項和，成等比數(shù)列，又，，，則，，則.故答案為.15.已知是半徑為2的球的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為_______.【正確答案】【分析】先求出外接圓半徑，通過球半徑和外接圓半徑結(jié)合勾股定理得出點到平面的距離，然后再利用體積公式即可求解.【詳解】如圖所示由可知，是以為斜邊的直角三角形，又知，所以，所以的外接圓的圓心為的中點，半徑，連接,因為點為球心，所以平面，即的長為點到平面的距離.在中，，，.所以三棱錐的體積為.故答案為.16.已知函數(shù).當(dāng)時，若函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個交點，則的取值范圍為________.【正確答案】且【分析】轉(zhuǎn)化為在上有且僅有兩個不同正根，兩邊取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個不同正根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個交點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合圖象可求出結(jié)果.【詳解】因為當(dāng)時，若函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個交點，所以當(dāng)時，，即，即，即有且只有兩個正根，令，則函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個交點，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，因為，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于0，所以，由得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以由得，綜上所述：且.故且關(guān)鍵點點睛：轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有且僅有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為迎接2022年北京冬奧會，某校組織一場冰雪運動知識競賽，規(guī)則如下：有A，B兩類問題，每位參加比賽的選手先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該選手比賽結(jié)束，若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得70分，否則得0分.小明參加了本次冰雪知識競賽，已知他能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明選擇先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【正確答案】（1）答案見詳解；（2）應(yīng)選擇先回答類問題，理由見詳解．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【小問1詳解】由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以分布列為【小問2詳解】由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．18.設(shè)a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的三邊.已知，.（1）求邊a的最小值；（2）當(dāng)邊a取得最小值時，設(shè)點D是線段AC上的一點且，求△ABD的面積.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合配方法進行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可.【小問1詳解】由余弦定理可知：，當(dāng)時，邊a有最小值，最小值為，即；【小問2詳解】由（1）可知：，，所以在中，由余弦定理可知：，解得，所以△ABD的面積為.19.多面體中，側(cè)面為正方形，平面⊥平面，，，，E為AC的中點，D為棱上的點，BF⊥A1B1.（1）證明：AB⊥BC；（2）求面與面DFE所成二面角的余弦值的最大值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明平面，可得，再根據(jù)可證；（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，利用空間向量求出面與面DFE所成二面角的余弦值關(guān)于的函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)知識可求出結(jié)果,【小問1詳解】因為，，，所以平面，所以，因為，所以.【小問2詳解】因為平面⊥平面，，所以平面，所以兩兩垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則，取平面的一個法向量為，設(shè)面與面DFE所成二面角，則，因為，所以當(dāng)時，取得最大值.20.已知數(shù)列{}滿，.（1）記，寫出，，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）求的前2022項和.【正確答案】（1），，（2）3033【分析】（1）根據(jù)遞推公式求出、，即可得到，即可得到以為首項、為公差等差數(shù)列，從而求出的通項公式；（2）依題意可得，，由等差數(shù)列前項和公式計算可得．【小問1詳解】因為，且，所以，，，所以，，為以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】設(shè)的前2022項和為，則21.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（－，0），（，0），點M滿足，點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知A（1，0），過點A的直線AP，AQ與曲線C分別交于點P和Q（點P和Q都異于點A），若滿足AP⊥AQ，求證：直線PQ過定點.【正確答案】（1）（2）過定點，證明見詳解【分析】（1）根據(jù)定義法判斷曲線類型，然后由題意可得；（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達定理將AP⊥AQ坐標(biāo)化，得到參數(shù)之間的關(guān)系代回直線方程可證.【小問1詳解】因為，所以由雙曲線定義可知，M的軌跡為雙曲線，其中所以所以曲線C的方程為：【小問2詳解】若直線PQ垂直于x軸，易知此時直線AP的方程為，聯(lián)立求解可得，直線PQ過點.當(dāng)直線PQ斜率存在時，設(shè)直線PQ方程為，代入，整理得：則因為AP⊥AQ，所以整理得解得或因為點P和Q都異于點A，所以不滿足題意故，代入，得，過定點.綜上，直線PQ過定點.22.已知函數(shù)，.（1）討論f