2022年浙江省臺州市沙門鎮(zhèn)中學高二數學理聯(lián)考試卷含解析

2022年浙江省臺州市沙門鎮(zhèn)中學高二數學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若，則（

）A.18

B.36

C.54

D.72參考答案：D2.如圖，5個(x,y)數據，去掉后，下列說法錯誤的是（

）A．相關系數r變大B．殘差平方和變大C.相關指數R2變大D．解釋變量x與預報變量y的相關性變強參考答案：B因為點距離回歸直線越近，說明相關系數會越大，對應的殘差平方和會越小，相關性就會越強，從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，將去掉之后，明顯的所有的點里對應的回歸直線就會越近，從而得到B是錯誤的，故選B.

3.不等式的解集為R，那么必有

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.執(zhí)行圖的程序框圖后，輸出的結果為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運行過程，即可得出程序運行后輸出的結果．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有a=0，S=0，i=1，a=1，S=1，不滿足條件i≥4，有i=2，a=3，S=，不滿足條件i≥4，有i=3，a=6，S=，不滿足條件i≥4，有i=4，a=10，S=，滿足條件i≥4，輸出S的值為．故選：A．5.用1，2，3，4，5這5個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數的有（

）

A.24

B.30

C.40

D.60參考答案：A6.從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數為b，則b>a的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D該試驗所有基本事件(a，b)可在平面直角坐標系中表示出來如下圖．易知所有基本事件有5×3＝15個，記“b>a”為事件A，則事件A所含基本事件有3個．∴P(A)＝＝，故選D.7.不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C8.橢圓x2+=1（|b|＜1）的左焦點為F，A為上頂點，B為長軸上任意一點，且B在原點O的右側，若△FAB的外接圓圓心為P（m，n），且m+n＞0，橢圓離心率的范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】分別求出線段FB與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立解出圓心坐標P，利用m+n＞0，與離心率計算公式即可得出．【解答】解：如圖所示，B是右頂點線段FB的垂直平分線為：x=．線段AB的中點（，）．∵kAB=﹣b．∴線段AB的垂直平分線的斜率k=．∴線段AB的垂直平分線方程為：y﹣=（x﹣），把x==p代入上述方程可得：y==n．∵m+n＞0，∴+＞0．化為：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e==c=∈（0，）．B為長軸上任意一點，且B在原點O的右側，結論同樣成立，故選：A．9.計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數制，采用數字0～9和字母A～F共16個計數符號，這些符號與十進制的數的對應關系如表．十六進制01234567十進制01234567十六進制89ABCDEF十進制89101112131415例如，用十六進制表示E+D=1B，則A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0參考答案：B【考點】EM：進位制．【分析】本題需先根據十進制求出A與C的乘積，再把結果轉化成十六進制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根據16進制120可表示為78．故選：B．10.對，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先分離變量，再利用導數研究新函數單調性與最值，即得結果.【詳解】由恒成立可得恒成立，令，則，顯然在上單調遞增，又，∴當時，，當時，，∴當時，取得最小值.∴.故選：B．【點睛】本題考查利用導數研究不等式恒成立問題，考查基本分析求解能力，屬中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面內不在上的動點P，記PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，若，則△PAB的面積的最大值是

。參考答案：12由條件可得：PB=2PA，即P到B的距離為到A的距離的2倍在平面內以AB為軸，AB的中垂線為軸，建立平面直角坐標系設P（，）則=∴=

∴+27=0∴

∴=16∴平面內P點軌跡為以（，0）為圓心，4為半徑的圓（與軸的交點除外）∴高的最大值為4，

∴面積的最大值為=1212.已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是．參考答案：+=1【考點】橢圓的標準方程．【專題】計算題．【分析】依題意可知c，進而根據離心率求得a，進而根據b2=a2﹣c2求得b20，則橢圓方程可得．【解答】解：由題意知，2c=8，c=4，∴e===，∴a=8，從而b2=a2﹣c2=48，∴方程是+=1．故答案為+=1【點評】本題主要考查了橢圓的標準方程．解題的關鍵是熟練掌握橢圓標準方程中a，b和c之間的關系．13.如圖是一個幾何體的三視圖（側視圖中的弧線是半圓），則該幾何體的表面積是

．參考答案：20+3π【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】由幾何體的三視圖，知該幾何體的上半部分是棱長為2的正方體，下半部分是半徑為1，高為2的圓柱的一半，由此能求出該幾何體的表面積．【解答】解：由幾何體的三視圖，知該幾何體的上半部分是棱長為2的正方體，下半部分是半徑為1，高為2的圓柱的一半，∴該幾何體的表面積S=5×22+π×12+=20+3π．故答案為：20+3π．【點評】本題考查由幾何體的三視圖求幾何體的表面積的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．14.經過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑等于2的圓的方程是____________.參考答案：略15.已知x，y滿足不等式組，則目標函數z=2x+y的最大值為．參考答案：6【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，即可求最大值．【解答】6解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（2，2），代入目標函數z=2x+y得z=2×2+2=6．即目標函數z=2x+y的最大值為6．故答案為：6．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．16.函數的圖象恒過定點，在冪函數的圖象上，則__________．參考答案：17.記n!=1×2×…n（n∈N*），則1!+2!+3!+…+2014!的末位數字是_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，側面SAB為等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求證：AB⊥DS；（2）求平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）取AB的中點O，連結OD，OS，推導出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能證明AB⊥SD．（2）推導出OS⊥平面ABCD，以O為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．【解答】證明：（1）取AB的中點O，連結OD，OS，∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，∵四邊形ABCD是直角梯形，DC=，AB∥CD，∴四邊形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，∴AB⊥SD．解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴OS⊥平面ABCD，如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系，則A（0，6，0），B（0，﹣6，0），D（6，0，0），C（6，﹣6，0），S（0，0，6），=（﹣6，0，6），=（6，﹣6，0），設平面SAD的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得，同理，得平面SBC的一個法向量=（0，﹣，1），則cosθ==．∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為．19.設數列{an}的前n項和為Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數列{bn}，滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當n＞1時，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，從而可得{an}的通項公式；（Ⅱ）依題意，anbn=log3an，可得b1=，當n＞1時，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；當n＞1時，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用錯位相減法可求得{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）因為2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，當n＞1時，2Sn﹣1=3n﹣1+3，此時，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，所以an=．（Ⅱ）因為anbn=log3an，所以b1=，當n＞1時，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；當n＞1時，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），兩式相減得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，所以Tn=﹣，經檢驗，n=1時也適合，綜上可得Tn=﹣．20.（1）設a，b是兩個不相等的正數，若+=1，用綜合法證明：a+b＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法證明：＜．參考答案：【考點】綜合法與分析法(選修）．【分析】（1）利用綜合法進行證明即可．（2）利用分析法進行證明．【解答】解：（1）因為a＞0，b＞0，且a≠b，所以a+b=（a+b）（）=1+1+＞2+2=4．所以a+b＞4

（2）因為a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要證明原不等式成立，只需證明＜a，即證b2﹣ac＜3a2，又b=﹣（a+c），從而只需證明（a+c）2﹣ac＜3a2，即證（a﹣c）（2a+c）＞0，因為a﹣c＞0，2a+c=a+c+a=a﹣b＞0，所以（a﹣c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立．21.定義函數為的k階函數.（1）求一階函數的單調區(qū)間；（2）討論方程的解的個數；（3）求證：.參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）先由題意得到，對其求導，分別討論和兩種情況，即可求出其單調區(qū)間；（2）先由得到，令，用導數方法判斷其單調性，作出其大致圖像，結合圖像，分別討論，和三種情況，即可得出結果；（3）先令，用導數的方法求的最大值，得到，進而可證明結論成立.【詳解】（1），，令得.當時，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為，當時，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.（2）由，得.令.則.由得，從而在單調遞增，在單調遞減..又，當恒有，作出函數大致圖像如下：∴當，即時，方程有兩個不同解.當，即時，方程有0個解，當，或即或時，方程有唯一解.綜上，當時，方程有兩個不同解.當時，方程有0個解.當或時，方程有唯一解.（3）特別地：當時，由得.由得，則在單調遞增，在單調遞減..∴，即.又時，.∴.令，則.【點睛】本題主要考查導數的應用，用導數的方法研究函數的單調性、方程的根，證明不等式等，通常需要對函數求導，根據導數方法求函數單調性，最值等，屬于常考題型.22.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率e=，焦距為2，O是坐標原點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線y=x+m交橢圓C于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過O點，求實數m的值．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）設橢圓的半