2024學年北師大萬寧附中高三數(shù)學上學期第三次月考試卷及答案解析

學年北師大萬寧附中高三數(shù)學上學期第三次月考試卷（考試時間120分鐘滿分150分）一、選擇題（共8題，每題5分，共40分）1.設復數(shù)，則等于（）A. B. C. D.2.設集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.3.擲出兩枚質地均勻的骰子，記事件“第一枚點數(shù)小于3”，事件“第二枚點數(shù)大于4”，則與關系為（）A.互斥 B.互為對立 C.相互獨立 D.相等4.在中，點D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.5.下列選項中，與不相等的是（）A. B. C. D.6.已知直三棱柱中，，，點到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標系中，以軸非負半軸為始邊作角和角，，它們的終邊分別與單位圓交于點，，設線段的中點的縱坐標為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，的定義域為，是的導數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A80 B.75 C.70 D.65二、多項選擇題（共3題，每題6分，共18分）9.以下四個命題表述正確的是（）A.圓的圓心到直線的距離為2B.直線恒過定點C.圓與圓恰有三條公切線D.圓與的公共弦所在直線方程為10.某校在運動會期間進行了一場“不服來戰(zhàn)”對抗賽，由籃球專業(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進行對抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學連續(xù)投球3次，乙組的同學每人各投球1次.若甲組同學和乙組3名同學的命中率依次分別為，則（）A.乙組同學恰好命中2次的概率為B.甲組同學恰好命中2次的概率小于乙組同學恰好命中2次的概率C.甲組同學命中次數(shù)方差為D.乙組同學命中次數(shù)的數(shù)學期望為11.如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）A.B.C. D.三、填空題12.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是_____________.13.盒中有個紅球，個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．14.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．四、解答題（15題13分，16、17題15分，18、19題17分，要求有必要的解答過程）15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）記，求．16.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）判斷的形狀；（2）若，且的面積為，求角．17.已知雙曲線：（，）的左頂點為，右焦點為，動點在雙曲線上，當時，.（1）求的離心率；（2）已知，，兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若，求的面積.18.如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.19.函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，曲線上兩點，連線的斜率記為.（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：.（3）盒子中有編號為1-100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回地隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為，求證：.【答案】1.C解析：，.故選：C.2.B解析：因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：故選：B.3.C解析：由題意，擲出兩枚質地均勻的骰子共有基本事件個，其中事件有，共12個，事件有，共12個，事件有，共4個基本事件，所以,所以，故相互獨立，答選：C4.B解析：因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．5.D解析：，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：D6.C解析：過點作于點，連接，因為三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，則，設外接圓圓心為，外接圓圓心為，則，即，且三棱柱外接球球心為中點，則外接球半徑，表面積為，故選：.7.B解析：由題意可得，，則，由可得，即，解得，即，又，則時，.故選：B8.B解析：因為為偶函數(shù)，則，求導可得，因為，，則，可得，且，則，可得，即，可得，可知8為的一個周期，且，對于，，令，可得，，可得，所以.故選：B.9.BC解析：對于A，由圓得圓心，所以圓心到直線的距離為，故A錯誤；對于B，因為直線，令，則，所以該直線恒過定點，故B正確；對于C，由圓得，故，；由圓得，故，；所以，故圓與圓外切，恰有三條公切線，故C正確；對于D，由減，得，即，故兩圓的公共弦所在直線方程為，故D錯誤.故選：BC.10.BCD解析：對于A中，設“乙組同學恰好命中2次”為事件，則，所以A錯誤；對于B中，設“甲組同學恰好命中2次”為事件，則，因為，所以B正確；對于C中，因為甲組同學每次命中的概率都為，設甲組同學命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；對于D中，設乙組同學命中次數(shù)為隨機變量，則的所有可能取值為，所以，，，故，所以D正確.故選：BCD.11.CD解析：設，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.12.解析：由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，解得或，由于是單調遞增函數(shù)，所以要求的遞增區(qū)間，只需求二次函數(shù)的遞增區(qū)間即可，由二次函數(shù)的性質可得的遞增區(qū)間為，結合函數(shù)定義域可得的遞增區(qū)間為，故答案為：.13.##解析：記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為：.14.解析：由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：15.（1）（2）【小問1解析】設數(shù)列的公差為，由題意可知：，所以.小問2解析】由（1）可知：，顯然為等比數(shù)列，且公比，設，因為，所以數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，所以.16.（1）等腰三角形（2）【小問1解析】由正弦定理，，因，則，，則為等腰三角形；【小問2解析】由（1）設等腰三角形兩腰，即c，a為x，則由圖結合勾股定理可得，邊b對應的高為，則，即為等邊三角形，則角為.17.（1）2；（2）.【小問1解析】設，將代入雙曲線方程得，此時，所以，即，，則，所以（負值舍去），故的離心率為2.【小問2解析】因為，由（1）知，雙曲線方程為：，漸近線方程為，設，則，所以，又在雙曲線上，所以，整理得：，由漸近線方程為得，所以的面積為.18.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【小問1解析】連接，設，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2解析】法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，在中，，在中，，設，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；【小問3解析】法一：過點作交于點，設，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因為分別為的中點，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因為，所以，故二面角的正弦值為.19.（1）遞增區(qū)間為：和，遞減區(qū)間為：（2）（?。áⅲ┳C明見解析（3）證明見解析【小問1解析】當時，函數(shù)，∴函數(shù)的定義域為，.令，解得或；令