平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(提升訓(xùn)練)(解析版)-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)考點(diǎn)訓(xùn)練

第24講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

【提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)。滿足訪=2公"(A>1),若法?慶=3,則實(shí)

數(shù)2的值為()

35

A.—B.2C.—D.3

22

【答案】B

【分析】

21

根據(jù)向量的加法運(yùn)算，化簡(jiǎn)加6c=DB(DB+BC)=DB+DB/，從而萬一萬2二3，

解得2的值.

【詳解】

—>—?->—>—>—>—>—?—>TT

DB-DC=DB(DB+BC)=DB+DBBC=(-2AC)12-2ACBC

—萬——Z=3，

2

3

解得;1=2或一一(舍)

2

故選：B

2.如圖，在平行四邊形A8CZ)中，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段B力上的一動(dòng)點(diǎn)，若

麗=x通+y況(x>0,y>0),則怖蕓的最大值為()

13八

A.—B.-C.1D.2

24

【答案】A

【分析】

—3—

設(shè)B。、4E交于。，根據(jù)題意可得ZVI。8s△EO。，所以AE=-A。，進(jìn)而可得

2

AF=^xAO+yAB,根據(jù)。、F.3三點(diǎn)共線，可得x,），的關(guān)系，代入所求，即可基本

不等式，即可得答案.

【詳解】

設(shè)AE交于0,因?yàn)?/p>

AHAR

所以AAQBSZXEQD,所以上=—=2,

OEDE

所以AO=2QE,則荏=

2

所以酢=工近+），反=/X都+y通,

因?yàn)镺、F、B三點(diǎn)共線，

3

所以-x+y=l,即2-3x=2y,

2-3x_2y_2

所以4），+14y2+14），+工，

y

因?yàn)?>0,y>0,所以4y+2N2j4y?2=4,

y\y

iii

當(dāng)且僅當(dāng)4A），=一，即y=-時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)工=一,

y23

2-3x2,21

---------

所以4/+14），+工一42,

y

故選：A

3.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲線，這是一種分形曲線，它的分形過程是：從一個(gè)正

三角形（如圖①）開始，把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長(zhǎng)度為底邊，分別向外作

正三角形后，抹掉“底邊”線段，這樣就得到一個(gè)六角形（如圖②），所得六角形共有12條邊.

再把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長(zhǎng)度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底

邊''線段.反復(fù)進(jìn)行這一分形，就會(huì)得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線，這樣的曲線叫作科赫曲線或

“雪花”曲線.已知點(diǎn)。是六角形的對(duì)稱中心，4,8是六角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在六角形上

LUIUUULU

（內(nèi)部以及邊界）.若QP=X04+yO3，則工+丁的取值范圍是（）

C.[-5,5]D.[-6,6]

【答案】C

【分析】

設(shè)次=￡，麗=B，求工+》的最大值，只需考慮圖中以。為起點(diǎn)，6個(gè)頂點(diǎn)分別為終點(diǎn)

的向量即可，再根據(jù)對(duì)稱可得最小值.

【詳解】

如圖，設(shè)麗=￡,0B=b?求i+y的最大值，只需考慮圖中以。為起點(diǎn)，6個(gè)頂點(diǎn)分別

為終點(diǎn)的向量即可，討論如下：

當(dāng)點(diǎn)P在8處時(shí)，X=O,y=l,故X+y=l：

當(dāng)點(diǎn)尸在C處時(shí)，OC=OA-^-AC=a+2b^故x+y=3；

當(dāng)點(diǎn)尸在。處時(shí)，OD=OC^CD=OC+BC=2OC-OS=2a-^3b^故工+>=5；

當(dāng)點(diǎn)尸在E處時(shí)，OE=OA+AE=a+b^故x+y=2；

當(dāng)點(diǎn)P在尸處時(shí)，OF=OA+AF=a+3b^故x+y=4.

于是/+y的最大值為5.

根據(jù)其對(duì)稱性可知工+y的最小值為-5,故x+y的取值范圍是f-5,51.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出只需考慮圖中以。為起點(diǎn)，6個(gè)頂點(diǎn)分別為終點(diǎn)

的向量即可.

4.在AABC中，|A@=3,|AC|=4,忸q=5,M為BC中點(diǎn),。為“IBC的內(nèi)心,

^Ab=AAB+)LiAM?則九十夕=<)

735

A.—B.—C.-D.1

1246

【答案】A

【分析】

在直角三角形A8C中，求得內(nèi)切圓半徑，用幾,啟表示出1)，而

TTT〃.〃f

AO=2AB+//AM=(2+AB+^AC,從而求得4+〃.

【詳解】

由題知，NA=:，根據(jù)三角形面積與周長(zhǎng)和內(nèi)心的關(guān)系求得，內(nèi)切圓半徑

2

3x4

OE=OF=-----=1,四邊形4E0尸為矩形，

3+4+5

TTT11T11

則4O=AE+AF=-AC+-A8,乂AM=-A8+-AC

4322

則心=丸向+〃癡=(4+9必守士=9》+；/

I17

則義+,=_+-=—

3412

124

故選：A

【點(diǎn)睛】

T1T1T

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求得內(nèi)切圓半徑，得到AO=一AC+—A8,從而利用

43

TTTUUI->I->

AO=AAB+〃A"=(4+g)A8+1-AC=-AB+-AC,求得參數(shù)值即可.

5.在△ABC中，ZA=90°>AB=1,麗=3麗，則亞?麗=（）

12C34

A.-B.—C.-D.一

3343

【答案】C

【分析】

先用AC,AB表示AD，再根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：在△ABC中，ZA=90°，AB=\，CD=3DB>

如圖：則AD=—AC+eAB,

44

所以而?通二（，/+。而）?而=.而+。荏2=3.

U4J444

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算，基底表示向量，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵

在于根據(jù)題意，選擇衣，南作為基底表示而，進(jìn)而求解.

6.地磚是一種地面裝飾材料，也叫地板磚，用黏土燒制而成，質(zhì)堅(jiān)、耐壓、耐磨、防潮.地

板磚品種非常多，圖案也多種多樣.如圖是某公司大廳的地板磚鋪設(shè)方式，地板磚有正方形

與正三角形兩種形狀，且它們的邊長(zhǎng)都相同，若礪=￡,OB=b^則而;=（）

【答案】D

【分析】

以的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示,『而直角坐標(biāo)系，并設(shè)|的=2,可得礪，OB-

”2

+〃=2,3

~AF的坐標(biāo)，再設(shè)標(biāo)=AOA+pOB,得「廠廠解得L即

-&-6〃=2+2點(diǎn)G

4=一=

可得解.

【詳解】

如圖，以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|4同=2,則。（0,6），

A（-1,O）,5（1,0）,F（l,2+2后），

所以函而=（1,-G）,而=（2,2+26）.

2=一2一烏

____—A,+//=2,3

設(shè)*=/1±5+4礪，則〈廠廠廠解得＜

—x/3A—\J3jU=2+2。3,

產(chǎn)F

所以/=-（2+同次當(dāng)前，即而=_（2+*卜-爭(zhēng),

故選：D.

AM|BX

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性表示，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的線性

運(yùn)算用坐標(biāo)表示，解方程組得出結(jié)論.本題也可直接利用向量的線性運(yùn)算求解，如圖中

QM=^（OA+OB）,OK=-OMKF=-OA^再由向量加減法法則計(jì)算可得.

7.過拋物線f=4y焦點(diǎn)戶的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交x軸于C點(diǎn)，而=2而，

【答案】C

【分析】

設(shè)4不凹）,832，%），。（"2，°），由麗=2而求得為，再設(shè)出直線A8方程，代入拋物線

方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得y匕，求得M，由焦半徑公式求得焦半徑比值.

【詳解】

由題意尸（0,1），設(shè)人（%,乂）,8（演,必），。（九°），

由麗=2而，得（一工2，1一%）=2（工2-機(jī),丁2），所以1一%=2%，%=§，

x=，（y—1）

設(shè)直線AB方程為％=z（y-l），由124得“y2-（2產(chǎn)+4）y+*=0,

x=4y

所以,%=1，所以％=3,

|叫j+l=3+1=3

陽%+11+1:

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交，考查焦點(diǎn)弦性質(zhì).設(shè)4玉,）1）,8（々,為）是拋物線

y2=2px的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)，則凹丫2=一〃2,x,x2=，如果拋物線方程是f=2py,則

2

有X/2=_p2,yi>?2=￡_.

8.地磚是一種地面裝飾材料，也叫地板磚，用黏土燒制而成質(zhì)堅(jiān)、耐壓、耐磨、防潮.地

板磚品種非常多，圖案也多種多樣.如圖是某公司大廳的地板轉(zhuǎn)鋪設(shè)方式，地板磚有正方形

與正三角形兩種形狀，且它們的邊長(zhǎng)都相同，若麗=￡,而=萬，則/=（）

【答案】D

【分析】

以的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合平

面向量基本定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】

以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)|做=2,則0(0,石)，A(-1,O),B(1,O),產(chǎn)(1,2+26),所以)二(一1,一6),

—4+〃=2

05=(1,-6),AF=(2,2+2j3).設(shè)4尸=20A+〃03,則

⑨-回=2+2石

解得〈,所以A/7二一2+

=-

即而=_2+

故選：D

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：用一組基底表示平面向量往往利用平面向量的坐標(biāo)表示公式以及平面向量運(yùn)算的

坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解.

9.地磚是一種地面裝飾材料，也叫地板磚，用黏土繞制而成，質(zhì)堅(jiān)、耐壓、耐磨、防潮，

地板磚品種非常多，圖案也多種多樣，如圖是某公司大廳的地板磚鋪設(shè)方式，地板磚有正方

形與正三角形兩種形狀，且它們的邊長(zhǎng)都相同，若況=￡，OB=b^則而:=（）

-yjr

a+——b

3

【答案】D

【分析】

解法」以礪，而為鄰邊作平行四邊形。4A",連接,OM=a+b^0M=瘋》，

M，O,K三點(diǎn)共線，則派二一日的=一日（￡+可，連接OF，易知OA//KF，

所以。尸=一1+^-\a—^-b,則可得衣=礪一礪=一（2+鼻一與；

（313（3）3

解法二先以的中點(diǎn)A8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)|4同=2,可得次，

—2+〃=2,

0B?衣的坐標(biāo)，再設(shè)而=4麗+/礪，得，-⑸—瓦=2+26,解得

,即可得解.

【詳解】

解:解法一如圖1，以次，而為鄰邊作平行四邊形。4A"，連接OW,

OM=OA+OB=a+b^OM=COK，且M，。，K三點(diǎn)共線，所以的=一百冰，

則而=-整兩=-爭(zhēng)4

連接。尸，由圖易知。4//Kb,則/=_礪=—￡，

所以科而+喬=—次￡+?=一(1+/+一約

所以標(biāo)=標(biāo)-次=-11+且1-3B-￡=-

33

圖1圖2

解法二如圖2,以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|蝴=2,則

O(0,G),A(—1,0),3(1,0),產(chǎn)(1,2+26)，所以方=(-1,一6),05=(1,-x/3),

AF=(2,2+2x/3).

A=-2~—

-A+〃=2,3

設(shè)衣=/1函+〃麗，則?

-島=2+2石

所以通=-2+3］函一直方,即衣=工+回空

3333

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，解題的

關(guān)鍵是由題意得OM=JiOK，M，。，K三點(diǎn)共線，從而得

而=當(dāng)兩一

￡+5),進(jìn)而”J表示出赤，~AF?或建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,

屬于中檔題

10.在邊長(zhǎng)為1的等邊^(qū)ABC所在平面內(nèi)，有一點(diǎn)尸滿足2中+而+%=。,則西.麗=

()

1八3八13

A.----B.—C.—D.------

616616

【答案】D

【分析】

先利用平面向量基本定理把豕麗用而、麗表示出來，在進(jìn)行數(shù)審枳的運(yùn)算.

【詳解】

取8C中點(diǎn)為。，連結(jié)AD

???2萬+而+正=6，；?2⑸+2赤=6，即麗+麗=6,故P為A。的中點(diǎn).

APA=-PD=DP=-(DB+BA)=-|-CB+BAU-C5+-BA.

2、，2(2J42

PB=PA+AB=-f-CB+R4+AB=-CB+-AB,

212)42

(42八42八6488

=_L函2」麗2

164

~~16~4

_3_

--16

故選：D

【點(diǎn)睛】

在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算：

(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；

(2)樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行運(yùn)算.

II.在正方形48co中，。為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E為邊8C上的動(dòng)點(diǎn).若

一一21

/=4n+〃而則力+”的最小值為()

914

A.2B.5C.—D.—

23

【答案】C

【分析】

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，A0所在直線為x,軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為

1,求出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入已知關(guān)系式，即可求出；I,"的關(guān)系式，

然后根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】

如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以A6,AO所在直線為工，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則AQ0),8(1,0),C(l,l),D(0,l),

則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得嗎》設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為。，⑼,

則由危=九於+4P3，可得（1，M=〃l，1）+〃（；,-；），

廣….1E21,21「1、61〃％5caN9

所以］+,則不+—=（彳+—）（4+彳〃）=2+彳+7+—..彳+2/----=-,

24M4〃22X//2yjjuA2

當(dāng)且僅當(dāng)2=4,即丸=〃時(shí)取等號(hào),

219

此時(shí)不+一的最小值為一,

4〃2

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，其一，是聯(lián)想到利用坐標(biāo)法分析求解，坐標(biāo)法和基底法

是解決向量問題常用的策略，要靈活選擇；其二，是利用常量代換結(jié)合基本不等式求函數(shù)的

最值.

12.過點(diǎn)的兩條直線小《分別與雙曲線C：「y=1（4>1/>1）相交于點(diǎn)A,

a

C和點(diǎn)8,。，滿足而■=%碇，弱=4謂）（/1>0且義工1）.若直線A8的斜率&=2,

則雙曲線C的離心率是（）

A.yf2B.V2+1C.2D.6

【答案】D

【分析】

uuuUUU

設(shè)Aa，y）,B（X2，y2），C（X3，y3），D（Z，）’4），由初二2碇，BM=AMD,可得

kAB=kCD=2^%+/+4（七+/）=%+>2+4%+%），再利用點(diǎn)差法可得

2/(y+為),X+/=2/（y+”）,從而可得方2=護(hù)，進(jìn)而可求出離心率

%+W=

b234b2

【詳解】

解：設(shè)4%，,），8（%2，%），。（了3，丫3），0（%4，%），

則麗=（1一玉』-y）,祝=（七-1,），3—1）,麗=（1一天』一切），礪=（七一1，%一1）、

__UUUUUU,f

因?yàn)锳M=XMC，BM=AMD，所以A/〃C。，所以陽8=及「=2，

百十幾用=1+4X?+A-X^=1+4

所以《

)[+2％=1+丸'[%+4、4=1+%'

X1十入2+2(X3+%)=2(1+2)

所以

y+%+〃%+”)=2(1+4)

所以x+w+“玉+%)=y+乃+〃為+%)，

因?yàn)榕c一冬二1，工2A

2

a-b2

所以皿=號(hào)?衛(wèi)玉，所以2=4?正玉

%!-x2ay+%4%+為

所以2/（乂+%）一/&+/）=（）,則"+/=2。-（1十%）

2萬（%十%）

同理得，2a2(y+y)-b2(x+x)=0,則/+.

3434b2

2/(y+為)21(%+為)

所以+2=），|+必+〃必+乂），

b2b2

?2

因?yàn)榱x>0且/IH1，所以條=1，即2〃=從

所以離心率

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)犍點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，解題的關(guān)鍵

______UUU

是設(shè)Aa，y）,B（X2，y2），C（X3，）'3），D（&，M），由初=4碇，BMCMD，可得

小=%=2,+x2+A（x3+x4）=y]+y2+A（y3+y4）,再利用點(diǎn)差法可得

X+達(dá)=2/（y+%）,2/”%）,從而可得2/=從，進(jìn)而可求出離心率，

12b234b2

考查計(jì)算能力，屬于中檔題

13.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人

稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如

圖所示若E為4R的中點(diǎn)，EG=AAB+pAD,則幾+〃=（）

【答案】D

【分析】

構(gòu)建以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF所在直線為％軸，EO所在直線為》軸，建立如圖直角坐標(biāo)系,

設(shè)但q=1,標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的，而，而坐標(biāo)，結(jié)合麗=/1而+〃而，

應(yīng)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列方程求出幾〃，即可求義+4.

【詳解】

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所所在直線為x軸，ED所在直線為,軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)

\EF\=\,由E為A尸的中點(diǎn),

???石（0,0）,6（1,1）,4_1,0）,8（1,_1）,0（0,2）,則函=（1/）,而=（2,_1）,而=（1,2）,

由EG=2A8+4A￡），得：（1,1）=義（2,—1）+〃（1,2）,

1

22+//=154

,二,，解得《3，則4+〃=丁

—4+2〃=1

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:構(gòu)建平面直角坐標(biāo)并標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，

進(jìn)而求目標(biāo)式的值.

14.已知以尸為焦點(diǎn)的拋物線）3=4x上的兩點(diǎn)A,B滿足衣=3而，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

為（）

4,

A.1B.-C.2D.3

3

【答案】D

【分析】

設(shè)A8為y=%（工一1）,A（x，yJ,，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得X“2=1，

根據(jù)向量的關(guān)系有1一%=3（/—1）,即可求A的橫坐標(biāo).

【詳解】

由題意，A、F、B共線且直線AB的斜率存在，可設(shè)直線43為丫=4（工-1），

聯(lián)立方程；U/T，消元得：爐/一（2攵2+4卜+公=0,且A=1622+16>0,

設(shè)W%力），則再占=1.

VAF=3FB?又廠(1,0),

二1一%=3(/-1),

X.x=11

綜上‘有If7=3（”1）'可得寸3,“記

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線方程及交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理求王々，結(jié)合向量的數(shù)

量關(guān)系，列方程組求交點(diǎn)橫坐標(biāo).

15.已知向量AC=（Z,3），AB=（2,-1）?若AB_L8C,則？=（

c73

A.3B.-C.4D.-

22

【答案】C

【分析】

先求出晶=（「2,4），解方程2（—2）-4=0即得解.

【詳解】

由BC=AC-AB=（"2,4）,

—?—?

有ABBC=2（/-2）-4=2/-8=0>

得，=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：向量a=（%,y）,b=（x2,y2\a_L;=x{x2+y%=。?

16.已知￡,加是不共面向量，設(shè)次=23+。OB=a+2b^OC=3a-^b^麗=2+3/

若△048的面積為3,則△OCD的面積為（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示與向量加減法的運(yùn)算可得到△。鉆與△OCD的兩個(gè)邊之

間的關(guān)系，進(jìn)而可得面積之間的關(guān)系，根據(jù)面積關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】

,?*OA=2〃+B,OB=a+2九OC=3〃+B，OD=a+3石，

--AB=0B-0A=b-a^DC=OC-OD=2（a-b）,

???DC=2BA，

DC=2BA\\.DC//BA^

取AB中點(diǎn)E，CO中點(diǎn)尸，如圖所示，

過。作?！盻LAB，垂足為G，交CO于”，則OHLCD,

則歷（礪+西=|伍+引，赤=g（反+西=2（￡+B）,

3

工礪〃礪，工。，E，尸三點(diǎn)共線，且°七=:0p，

4

3

:?AOEG?QFH,OG=-OH,

4

c-ABOGq

A_2_J

?.?‘OAB一"Z——,

S.OCD-CDOH8

2

力的面積為8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量

的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

17.若向量￡=（1,2）石=（0,1）,且2￡-坂與2+2B共線，則實(shí)數(shù)上的值為（）

1

A.-1B.——C.1D.2

2

【答案】B

【分析】

由向量坐標(biāo)運(yùn)算得43—5=（k,2%—1）,1+"=（1,4）,進(jìn)而得4攵一（2攵-1）=0解方程即

可得答案.

【詳解】

???)=(1,2)石=(0,1),

歷一扭女(1,2)-(0,1)=(2,2"1),￡+2=(1,2)+2(0,1)=(1,4),

???z￡—B與Z+2B共線,

「?4%一(2攵-1)=0,解得％=-；.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：已知￡=(%,凹)出=(彳2，丫2)，若￡//,，則不%一wy=0?

18.在△ABC中，4/=4，AC=6，AC=3AMrCN=NB>麗?西=—3，則

ABAC=()

3

A.-B.3C.6D.15

2

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得而=而—通=!前—麗，麗二L/+而).代入數(shù)量枳公式，結(jié)

32

合條件，即可求得答案.

【詳解】

如圖所示，

因?yàn)槎?3麗7，所以豆必二A/一A月二§/一耳從

又因?yàn)辂?而，所以麗=/(前+通)，

所以麗.兩/+L通］/一通］二—3,

(22八3)

1?21—?21..

即一4C——AB——ABAC=-3,

623

—21^—.12—^2|^—.|21-UUUUUU

又AC=|AC|=36,AB=\AB\=16,所以4氏4。=3.

故選：B.

19.已知向量a=(cose,sine),5=(3,4),若卜詞=卜圍,則tan。的值是()

4n43八3

A.--B.-C.---D.一

3344

【答案】B

【分析】

分析出》/力，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得lan。的值.

【詳解】

設(shè)￡、b的夾角為。,則￡%=同膽際。,由|咽=剛可可得18sd=1,則COS0=±1,

,:兀，：.q>=b或(p=兀，即，

因?yàn)橄蛄俊?(cos9,sin。)，石=(3,4),則3sin〃=4cos。,所以，tan6=，皿：=g

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用平面向量共線求參數(shù)，解題關(guān)鍵就是由%/=問?忖分析出?！?

進(jìn)而利用共線向量的坐標(biāo)表示求解.

20.寬與長(zhǎng)的比為近二1才0.618的矩形叫做黃金矩形.它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和

2

—milUUIU

自然界中，令人賞心悅目.在黃金矩形48co中，BC=,-1,AB>BC，那么A8-AC的

值為()

A.75-1B.75+1C.4D.25/5+2

【答案】C

【分析】

由題求出AB=2,建立直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求得結(jié)果.

【詳解】

由已知8C=6一1,A8>8C,空=苴二1

,解得：AB=2

AB2

如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則8(0,0),，4。⑵,

UIIHUUUUUU

則麗=(0,-2),AC=,/.ABAC=4

方法點(diǎn)睛：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路：

向量的坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算可用坐標(biāo)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量坐標(biāo)運(yùn)算

完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，建立直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量運(yùn)算,

考查學(xué)生的邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于較難題.

21.在直角梯形A8CQ中，AB//CD,AB±ADtAB=2，AD=6，NCA8=(,

點(diǎn)尸是線段A8上的一點(diǎn)，M為直線5c上的動(dòng)點(diǎn)，若阮=2弟AF=A,AB^且

荏?麗=一二，則赤?麗的最大值為()

4

16323

A.-B.——C?—1D.——

46464

【答案】D

【分析】

以A為原點(diǎn)，AaAO所在直線為乂y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由向量的共線定理和向

量的坐標(biāo)表示，即可求出結(jié)果.

【詳解】

以A為原點(diǎn)，A氏所在直線為弘)軸，建立平面直角坐標(biāo)系

如圖???48//8,48,4￡）,43=2,4。=6,/018=工,易求得。。二1

3

由已知可得A（0,0）,0（0,石），尸（2Z0）,8（2,0）,C（l,g）

設(shè)E（/n,〃），則BC=（-l,G）,CE=（/n-l,〃一6）

由配=2區(qū)可得（-l,G）=（2m-2,2〃-2G）

解得m=，/=迪

22

UUDUUUI17I2ALi71（1A

^\AEDF=一一得—些xJ5=—U,解得4=—,此時(shí)召-,0

42244<2）

設(shè)B而二x就，則DM=BM-BD=xBC-BD=（-X+2,6X-\/^）

MF=BF-BM=W-xBC=fX-^-43X^

/Q\1Q

所以赤.麗=（—x+2）x--百）（一岳）=_4爐+上x—3

\2/2

13____23

當(dāng)行正時(shí)，礪.而取得最大值-前

故選：D

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：用坐標(biāo)法來解決平面幾何和向量的綜合題是常用的方法.本題考查了運(yùn)算求解能

力和邏輯推理能力，屬于一般題目.

22.在平行四邊形中，AB=2BC=2,M是CO中點(diǎn).若而?友=3,則

ZBAD=()

7i萬2乃3兀

A.-B.—C.—D.—

4334

【答案】B

【分析】

直接利用而，而為基底，把赤.覺=3轉(zhuǎn)化為方，亞的計(jì)算，利用夾角公式求出

ZBAD.

【詳解】

府?反=(而+g通)麗=亞?麗+J麗『=x2xcosZBAD+—x4=3.

2

???cos/BAD=g,???/BADG(o,GZBAD=y.

故選：B

【點(diǎn)睛】

在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算：

(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則;

(2)樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算.

23.在直角梯形A8CD中，AB//CD,AB1AD,AB=2,AD=6NC4B=?,

uunuuur17

點(diǎn)尸是線AB上的一點(diǎn)，若反=2。后，=且AE?DF=---，則2=()

【答案】A

【分析】

建立直角坐標(biāo)系，寫出每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，。。為x軸，/M為)，軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由圖知，0(0,0),A(0,x/3),8(2,JJ),c(l,0)

設(shè)E(m,n),

設(shè)尸(x,y),由AUL/?1=4ALILBU1n(x,y—6_)=/l(2,0)，解得：/(/2.4gL)\

，黑=卜￥，茄=(24詞

innuira(\3J3\c9171

,,^.DF=(2A,^)=2--=-7,解得，=[

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系,將已知條件具體化，

再利用坐標(biāo)的運(yùn)算即可求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，與運(yùn)算求解能力，屬于一般題.

24.在~48C中，AB=BCB=1,點(diǎn)、M，N分別為C4,C8的中點(diǎn)，AN與5M相

交于點(diǎn)G,且滿足3而?礪而2,則cosB=()

A.亞B.一柜C.—D.—立

5555

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得出而=§而-§麗，MB=--(BA+BC),CA=BA-BC,然后代入

3而,亞+而2中，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出：麗?而=-而\從而可求出

cos8的值.

【詳解】

解：如圖，

B

根據(jù)題意，AG=AB+BG=-BA——BM=-BA+-(BA+BC)=-BC——BA,

3333

MB=~(BA+BC),CA=BA-BC，且3而,砒=或十行=

(BC-2BA)[--(BA+BQ]=(BA-BC)2+CB2,

2

???BS2+BA--BAW=BA+BC2-2BA-BC+BC2,

2

：.-BABC=-BC,

2

/.-^lcosB=-l,解得cosB=—拽.

25

故選：B.

25.在△ABC中，AB=GCB=1,AC=2f點(diǎn)M，N分別為C4,C8的中點(diǎn),

則麗痂=<)

5八52~2

A.B.-C.D.一

2255

【答案】B

【分析】

由麗=1荏+4恁，MB=AB--AC,根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算定律結(jié)合余弦定理計(jì)算即可

222

求解.

【詳解】

由前二,柏+'沅，MB=AB--AC

222

所以麗.話二

。於次乂區(qū);正卜厚+海金占2

因?yàn)楸涣侄cosA=A8AC4)+巾-叱=5+4-1=4

2ABAC2

—?—?15

所以4N?MB=-x5+l—l=-

22

故選：B

26.在△ABC中，AC=9，ZA=60°,。點(diǎn)滿足麗=2麗，4）=歷，則8c的長(zhǎng)

為（）

A.3yliB.3瓜C.3石D.6

【答案】A

【分析】

把通用而，亞表示后，利用模的平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算可求得AB，然后再由余弦定理

得5c.

【詳解】

因?yàn)辂?2萬，

所以而=而+而=麗+_m=而+_（撫一通）=一而+―正，

3333

設(shè)=則而2=（2而+」/丫得37=2X2+?XXX9COS60O+?X92,

U3）999

即2f+9x—126=0，因?yàn)楣ぁ?，故解得x=6，即A8=6，

所以3C=VAB2+AC2-2AB-ACcos60°=^62+92-2x6x9x1=3>/7.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算表示出向量,

然后平方抒發(fā)向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，即利用數(shù)量積求線段長(zhǎng).

27.已知直線丁=%-1與拋物線。丁=2*（〃>0）交于M,N兩點(diǎn)，且拋物線C上存在

點(diǎn)P,使得麗+麗=§而（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則拋物線。的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）