平面幾何輔助線添加技法總結(jié)與例題詳解

PAGE第一講注意添加平行線證題在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的,也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時,若能依據(jù)證題的需要,添加恰當?shù)钠叫芯€,則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題,一般有如下四種情況.1為了改變角的位置大家知道,兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補.利用這些性質(zhì),?？赏ㄟ^添加平行線,將某些角的位置改變,以滿足求解的需要.例1設(shè)P、Q為線段BC上兩點,且BP＝CQ,A為BC外一動點(如圖1).當點A運動到使∠BAP＝∠CAQ時,△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：當點A運動到使∠BAP＝∠CAQ時,△ABC為等腰三角形.證明：如圖1,分別過點P、B作AC、AQ的平行線得交點D.連結(jié)DA.在△DBP＝∠AQC中,顯然∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.則A、D、B、P四點共圓,且四邊形ADBP為等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.這里,通過作平行線,將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點共圓,使證明很順暢.例2如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAF＝∠BCE.求證：∠EBA＝∠ADE.證明：如圖2,分別過點A、B作ED、EC的平行線,得交點P,連PE.由ABCD,易知△PBA≌△ECD.有PA＝ED,PB＝EC.顯然,四邊形PBCE、PADE均為平行四邊形.有∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE,可知∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四點共圓.于是,∠EBA＝∠APE.所以,∠EBA＝∠ADE.這里,通過添加平行線,使已知與未知中的四個角通過P、B、A、E四點共圓,緊密聯(lián)系起來.∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介,證法很巧妙.2為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條,常可通過添加平行線,將某些線段“送”到恰當位置,以證題.例3在△ABC中,BD、CE為角平分線,P為ED上任意一點.過P分別作AC、AB、BC的垂線,M、N、Q為垂足.求證：PM＋PN＝PQ.證明：如圖3,過點P作AB的平行線交BD于F,過點F作BC的平行線分別交PQ、AC于K、G,連PG.由BD平行∠ABC,可知點F到AB、BC兩邊距離相等.有KQ＝PN.顯然,＝＝,可知PG∥EC.由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.這里,通過添加平行線,將PQ“掐開”成兩段,證得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.證法非常簡捷.3為了線段比的轉(zhuǎn)化由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊,所得對應(yīng)線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,實現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化.這在平面幾何證題中是會經(jīng)常遇到的.例4設(shè)M1、M2是△ABC的BC邊上的點,且BM1＝CM2.任作一直線分別交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.試證：＋＝＋.證明：如圖4,若PQ∥BC,易證結(jié)論成立.若PQ與BC不平行,設(shè)PQ交直線BC于D.過點A作PQ的平行線交直線BC于E.由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋M2E,易知＝,＝,＝,＝.則＋＝＝＝＋.所以,＋＝＋.這里,僅僅添加了一條平行線,將求證式中的四個線段比“通分”,使公分母為DE,于是問題迎刃而解.例5AD是△ABC的高線,K為AD上一點,BK交AC于E,CK交AB于F.求證：∠FDA＝∠EDA.證明：如圖5,過點A作BC的平行線,分別交直線DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M.顯然,＝＝.有BD·AM＝DC·AN.(1)2構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關(guān),但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息,此時可大膽聯(lián)想構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓,將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.2.1聯(lián)想圓的定義構(gòu)造輔助圓例4如圖4,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.求對角線AC的長.分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在半徑為p的⊙D上.利用圓的性質(zhì)即可找到AC與p、q的關(guān)系.解：延長CD交半徑為p的⊙D于E點,連結(jié)AE.顯然A、B、C在⊙D上.∵AB∥CD,∴BC＝AE.從而,BC＝AE＝q.在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故AC＝＝.2.2聯(lián)想直徑的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓例5已知拋物線y＝－x2＋2x＋8與x軸交于B、C兩點，點D平分BC.若在x軸上側(cè)的A點為拋物線上的動點,且∠BAC為銳角,則AD的取值范圍是____.分析：由“∠BAC為銳角”可知點A在以定線段BC為直徑的圓外,又點A在x軸上側(cè),從而可確定動點A的范圍,進而確定AD的取值范圍.解：如圖5,所給拋物線的頂點為A0(1,9),對稱軸為x＝1,與x軸交于兩點B(－2,0)、C(4,0).分別以BC、DA為直徑作⊙D、⊙E,則兩圓與拋物線均交于兩點P(1－2,1)、Q(1＋2,1).可知,點A在不含端點的拋物線PA0Q內(nèi)時,∠BAC＜90°.且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9,即AD的取值范圍是3＜AD≤9.2.3聯(lián)想圓冪定理構(gòu)造輔助圓例6AD是Rt△ABC斜邊BC上的高,∠B的平行線交AD于M,交AC于N.求證：AB2－AN2＝BM·BN.分析：因AB2－AN2＝(AB＋AN)(AB－AN)＝BM·BN,而由題設(shè)易知AM＝AN,聯(lián)想割線定理,構(gòu)造輔助圓即可證得結(jié)論.證明：如圖6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.從而,AM＝AN.以AM長為半徑作⊙A,交AB于F,交BA的延長線于E.則AE＝AF＝AN.由割線定理有BM·BN＝BF·BE＝(AB＋AE)(AB－AF)＝(AB＋AN)(AB－AN)＝AB2－AN2,即AB2－AN2＝BM·BN.例7如圖7,ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,延長AB和DC相交于E,延長AB和DC相交于E,延長AD和BC相交于F,EP和FQ分別切⊙O于P、Q.求證：EP2＋FQ2＝EF2.分析：因EP和FQ是⊙O的切線,由結(jié)論聯(lián)想到切割線定理,構(gòu)造輔助圓使EP、FQ向EF轉(zhuǎn)化.證明：如圖7,作△BCE的外接圓交EF于G,連結(jié)CG.因∠FDC＝∠ABC＝∠CGE,故F、D、C、G四點共圓.由切割線定理,有EF2＝(EG＋GF)·EF＝EG·EF＋GF·EF＝EC·ED＋FC·FB＝EC·ED＋FC·FB＝EP2＋FQ2,即EP2＋FQ2＝EF2.2.4聯(lián)想托勒密定理構(gòu)造輔助圓例8如圖8,△ABC與△A＇B＇C＇的三邊分別為a、b、c與a＇、b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.試證：aa＇＝bb＇＋cc＇.分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°,由結(jié)論聯(lián)想到托勒密定理,構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形加以證明.證明：作△ABC的外接圓,過C作CD∥AB交圓于D,連結(jié)AD和BD,如圖9所示.∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D,∠BCD＝∠B＝∠B＇,∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD.∴△A＇B＇C＇∽△DCB.有＝＝,即＝＝.故DC＝,DB＝.又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a.從而,由托勒密定理,得AD·BC＝AB·DC＋AC·BD,即a2＝c·＋b·.故aa＇＝bb＇＋cc＇.練習(xí)題1.作一個輔助圓證明：△ABC中,若AD平分∠A,則＝.(提示：不妨設(shè)AB≥AC,作△ADC的外接圓交AB于E,證△ABC∽△DBE,從而＝＝.)2.已知凸五邊形ABCDE中,∠BAE＝3a,BC＝CD＝DE,∠BCD＝∠CDE＝180°－2a.求證：∠BAC＝∠CAD＝∠(提示：由已知證明∠BCE＝∠BDE＝180°－3a,從而A、B、C、D、E共圓,得∠BAC＝∠CAD＝∠DAE3.在△ABC中AB＝BC,∠ABC＝20°,在AB邊上取一點M,使BM＝AC.求∠AMC的度數(shù).(提示：以BC為邊在△ABC外作正△KBC,連結(jié)KM,證B、M、C共圓,從而∠BCM＝∠BKM＝10°,得∠AMC＝30°.)4．如圖10,AC是ABCD較長的對角線,過C作CF⊥AF,CE⊥AE.求證：AB·AE＋AD·AF＝AC2.(提示：分別以BC和CD為直徑作圓交AC于點G、H.則CG＝AH,由割線定理可證得結(jié)論.)5.如圖11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直線CD過A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC＝AD,EC、ED分別切兩圓于C、D.求證：AC2＝AB·AE.(提示：作△BCD的外接圓⊙O3,延長BA交