現(xiàn)代控制系統(tǒng)課件第2章

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間

表達(dá)式的解Chapter2本章知識(shí)點(diǎn)2025/1/1212.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解(自由解)2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化2025/1/1222.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解(自由解)

所謂系統(tǒng)的自由解，是指系統(tǒng)輸入為零時(shí)，由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，狀態(tài)方程為齊次微分方程：若初始時(shí)刻t0時(shí)的狀態(tài)給定為x(t0)=x0,則上式有唯一確定解：若初始時(shí)刻從t=0開始，即x(0)=x0，則其解為：2025/1/123證明：和標(biāo)量微分方程求解類似，先假設(shè)式齊次狀態(tài)方程的解x(t)為t的矢量?jī)缂?jí)數(shù)形式，即:代入齊次狀態(tài)方程中,得式(5)對(duì)任意時(shí)刻t都成立，故t的同次冪項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，有：2025/1/124在式**中，令t=0，可得：將以上結(jié)果代入式**，故得：2025/1/125等式右邊括號(hào)內(nèi)的展開式是n×n矩陣，它是一個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)，記為，即于是系統(tǒng)的解可表示為：再用t-t0代替t-0，即在代替t的情況下，可得：2025/1/1262.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣齊次微分方程的自由解為：或從這個(gè)解的表達(dá)式可知，初始時(shí)刻的狀態(tài)矢量x0，到任意t>0或t>t0時(shí)刻的狀態(tài)矢量x(t)的一種矢量變換關(guān)系，變換矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)。元素一般是時(shí)間的函數(shù)，從時(shí)間角度而言，這意味著它使?fàn)顟B(tài)矢量隨著時(shí)間的推移，不斷地在空間中作轉(zhuǎn)移，也成為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2025/1/127這樣，齊次狀態(tài)方程的解又可以表示為：或2025/1/1282.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(矩陣指數(shù)函數(shù))的基本性質(zhì)1．性質(zhì)一也稱組合性質(zhì)，意味著從τ轉(zhuǎn)移到0，再?gòu)?轉(zhuǎn)移到τ的組合。2．性質(zhì)二意味著狀態(tài)從時(shí)刻t又轉(zhuǎn)移到時(shí)刻t，顯然狀態(tài)矢量是不變的。2025/1/1293．性質(zhì)三這個(gè)性質(zhì)意味著時(shí)間的逆轉(zhuǎn)。4．性質(zhì)四狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或矩陣指數(shù)函數(shù)與A矩陣式可以交換的。2025/1/12105．性質(zhì)五若n階方陣滿足乘法交換律,即AB=BA,則否則,上式不成立.這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，除非距陣A與B是可交換的，它們各目的矩陣指數(shù)函數(shù)之積與其和的矩陣指數(shù)函數(shù)不等價(jià)。這與標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是不同的。2025/1/12112.2.3幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)1．若A為對(duì)角線矩陣，即2025/1/12122.若A能夠通過(guò)非奇異變換予以對(duì)角線化，即2025/1/12133.若A為約旦矩陣2025/1/1214以上皆可根據(jù)矩陣指數(shù)的定義證明.4.若2025/1/12152.2.4

的計(jì)算1.根據(jù)定義直接計(jì)算2025/1/1216例:已知系統(tǒng)矩陣,,計(jì)算2025/1/12172.變換A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（1）A特征根互異例：解：2025/1/12182025/1/1219（2）A特征值有重根3.利用拉氏反變換法求例:已知，求eAt解：2025/1/12202025/1/12214.應(yīng)用凱萊—哈密頓定理求（1）由凱萊—哈密頓定理，方陣A滿足其自身的特征方程，有它是An-1，…,A,I的線性組合。同理，An+1

，An+2，…都可以用An-1，…,A,I的線性表示。（2）用上面的方法可以消去A的n及n以上的冥次項(xiàng)，即2025/1/1222（3）的計(jì)算公式A的特征值互異時(shí)，則根據(jù)A滿足其自身特征方程的定理，可知特征值和A是可以互換的，從而有：求解系數(shù)得2025/1/12232025/1/1224A的特征值均相同，為時(shí)，則有如下*系數(shù)公式證明同上，有：2025/1/1225上式對(duì)求導(dǎo)數(shù)，有：再對(duì)求導(dǎo)數(shù)，有：重復(fù)以上步驟，最后有：由上面的n個(gè)方程，可以解得系數(shù)公式*2025/1/12262.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解

現(xiàn)在討論線性定常系統(tǒng)在控制作用u(t)作用下的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。此時(shí)狀態(tài)方程為非齊次矩陣微分方程：當(dāng)初始時(shí)刻t0=0，初始狀態(tài)x(t0)時(shí)，其解為：當(dāng)初始時(shí)刻為t0,初始狀態(tài)為x(t0)時(shí)，其解為：2025/1/1227式中，很明顯，線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解x(t)由兩部分組成：初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)+控制激勵(lì)作用引起的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)2025/1/1228例求u(t)為單位階躍函數(shù)時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(設(shè)初始狀態(tài)為零).

解:初始狀態(tài)為零,第一項(xiàng)為零29解得系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為2025/1/1230

在特定控制作用下，如脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)的激勵(lì)下，則系統(tǒng)的解式可以簡(jiǎn)化為以下公式：1.脈沖響應(yīng)2.階躍響應(yīng)3.斜坡響應(yīng)2025/1/12312.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解為了討論時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法，現(xiàn)在先討論一個(gè)標(biāo)量時(shí)變系統(tǒng)：采用分離變量法，將上式寫成：對(duì)上式兩邊積分得：2025/1/1232因此或者寫成仿照定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的求解公式，上式中的積分項(xiàng)也可以表示為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，不過(guò)這時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅是時(shí)間t的函數(shù)，而且也是初始時(shí)刻t。的函數(shù)。故采用符號(hào)來(lái)表示這個(gè)二元函數(shù)：2025/1/1233于是線性時(shí)變系統(tǒng)的解可以寫成：能否將上式這個(gè)關(guān)系式也推廣到矢量方程：使之有

遺憾的是，只有當(dāng)和滿足乘法可交換條件，上述關(guān)系才能成立。證明略。2025/1/12342.4.2線性時(shí)變齊次矩陣微分方程的解

盡管線性時(shí)變系統(tǒng)的自由解不能像定常系統(tǒng)那樣寫成一個(gè)封閉的解析形式，但仍然能表示為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的形式。對(duì)于齊次矩陣微方程：其解為：式中，類似于前述線性定常系統(tǒng)中的，它也是n×n非奇異方陣，并滿足如下的矩陣微分方程和初始條件：2025/1/1235（***）證明略2.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣基本性質(zhì)因?yàn)榍夜噬鲜匠闪?。與線性定常系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣類似，同樣有：1）2025/1/12362）3）4）在這里，和一般是不能交換的。2025/1/12372.4.4線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程式的解線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程為：且A(t)和B(t)的元素在時(shí)間區(qū)間t0≤t≤t2內(nèi)分段連續(xù)，則其解為：2025/1/12382.4.5狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算在定常系統(tǒng)中，齊次狀態(tài)方程的解是：因?yàn)锳是常數(shù)矩陣，所以上式直接表示為：式中，，只與（t-t0）有關(guān)。2025/1/1239在時(shí)變系統(tǒng)中，齊次狀態(tài)方程的解，一般的表示為：前已證明，只有當(dāng)和是可交換時(shí)，即：才有一般情況下2025/1/1240因此，時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，一般采用級(jí)數(shù)近似法，即這個(gè)關(guān)系式的證明是十分簡(jiǎn)單的，只需驗(yàn)證它滿足式(***)的矩陣微分方程和初始條件即可。2025/1/12412.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.5.1遞推法線性定常離散時(shí)問(wèn)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：這個(gè)一陣差分方程的解為：或2025/1/1242即顯然，離散狀態(tài)方程的求解公式和連續(xù)狀態(tài)方程求解公式在形式上是類似的，它也是由兩部分組成，即由初始狀態(tài)引發(fā)的響應(yīng)和輸入信號(hào)所引起的響應(yīng)。所不同的是離散狀態(tài)方程的解，是狀態(tài)空間的一條離散軌跡。同時(shí)，在由輸入引起的響應(yīng)中，第k個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，只與此采樣時(shí)刻之前的輸入采樣值有關(guān)，而與該時(shí)刻的輸入采樣值無(wú)關(guān)。2025/1/12432.5.2Z變換法對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，也可以來(lái)用Z變換法來(lái)求解。

設(shè)定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程是：對(duì)上式兩端進(jìn)行Z變換，有：或2025/1/1244對(duì)上式兩端取Z的反變換，得：與2.5.1節(jié)遞推法公式比較，得：如果要獲得采樣瞬時(shí)之問(wèn)的狀態(tài)和輸出，只需在此采樣周期內(nèi)，即在kT≤t≤(k+1)T內(nèi)，利用連續(xù)狀態(tài)方程解的表達(dá)式：2025/1/1245為了突出地表示t的有效期在kT≤t≤(k+1)T，可以令t=(k+△)T

(這里0≤△≤1)于是上式變成：

顯然，這個(gè)公式的形式和離散狀態(tài)方程是完全一致的，如果使△的值在0和1之間變動(dòng)，那么便可獲得采樣瞬時(shí)之間全部的狀態(tài)和輸出信息。2025/1/1246比較，有二者形式上雖有不同，但實(shí)際上是完全一樣的。2025/1/12472.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化2.6.1離散化方法對(duì)于連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)空間表達(dá)式：將其離散化之后．則得離散時(shí)間狀態(tài)空問(wèn)表達(dá)式為：2025/1/1248式中C和D則仍與連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式式的一樣。2025/1/12492.6.2近似離散化

在采樣周期T較小時(shí)，一般當(dāng)其為系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)的l/10左右時(shí)，離散化的狀態(tài)方程可近似表示為：也就是說(shuō)：2025/1/12502.6.3線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化1．線性時(shí)變系統(tǒng)離散化設(shè)原系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：初始條件為離散化之后的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2025/1/1251仿照時(shí)不變系統(tǒng)的證明方法，可以求出上式中的，這里直接寫出其結(jié)果如下：2025/1/1252

式中，為在(k+1)T≥t≥kT區(qū)段內(nèi)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以在t0=kT附近用泰勒級(jí)數(shù)展開作如下近似計(jì)算（#）：考慮到的下列性質(zhì)：2025/1/1253將以上諸式代人式(#)，并在T很小時(shí)忽略T

的二次冪以上的高階項(xiàng)，可得的近似計(jì)算式：2025/1/1254據(jù)此，不難求得H(kT)。也可仿本節(jié)中介紹的近似離散化的方法，得近似的計(jì)算公式如下：2025/1/12552．離散化時(shí)變狀態(tài)方程的解仿離散化定常狀態(tài)方程解式上式時(shí)變狀態(tài)方程式的解為：2025/1/1256式中，應(yīng)滿足以下條件：小結(jié)2025/1/1257掌握線性齊次狀態(tài)方程解的表達(dá)式,矩陣指數(shù)的求解方法有多種，可根據(jù)