2023-2024學年湖南省長沙市開福區(qū)某中學八年級（下）第三次月考數(shù)學試卷+答案解析

2023-2024學年湖南省長沙市開福區(qū)立信中學八年級（下）第三次月考

數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分,共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

2

A.x2+2x=0B.x[x—3)=nC.-弓―37—1D.y—x=4：

Xz

2.以下計算正確的是（)

A.2023°=0B.\/7+\/6=A/^13C.(—3a2)3=-27a3D.a74-ft3=a4

3.如圖，在△ABC中,AB=AC，。為5C邊的中點，下列結(jié)論不一定正確的是（)

A.AD1BC

B.ZB=ZC

（2./。平分/64。

D.AB=BC

4.已知線段CD是由線段平移得到的，點4（—1,4）的對應(yīng)點為。（4,7）,則點3（—4,—1）的對應(yīng)點。的

坐標為（）

A.(1,2)B.(2,9)D.(-9,-4)

5.關(guān)于一次函數(shù)？/=—22+3,下列結(jié)論正確的是（）

A.圖象經(jīng)過一、二、三象限B.y隨x的增大而增大

3

c.當/<]時，y>0D.圖象過點

6.方程/—化+2=0的根的情況是（）

A.只有一個實數(shù)根B,有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

7.平行四邊形、矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.對角線互相垂直平分

8.對于拋物線沙=—（2+1）2+3,下列結(jié)論正確的是（）

A.開口向上B.對稱軸為直線萬=1

C.頂點坐標為（—1,3）D.當工〉1時，y隨x的增大而增大

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9.某校初二年級開展了一班一特色活動，2001班以“地”為特色在學校的試驗園地進

行種植蔬菜活動.試驗園的形狀是長15米、寬8米的矩形，為便于管理，要在中間開

辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為110平方米，則小道的寬為多少米？若

設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）

A.(15+2為(8+2)=110B.(15—27)(8—c)=H0

C.(15+工)(8+22)=110D.(15—乃(8—2口=110

10.在同一直角坐標系中，函數(shù)沙=加立十m和函數(shù)沙=m/+2,+2（m是常數(shù)，且?7i#0）的圖象可能是（

\0\x\O^x

x

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.分解因式：?_4峭=.

12.已知關(guān)于x的一元二次方程/—67+2=0的一個根為—2,則加=.

13.拋物線沙=向下平移3個單位，就得到拋物線.

14.一次函數(shù)沙=-2x+1上有兩個點/,B,且4（一2,m），B（l,n）,則加，n的大小關(guān)系為mn（

填或者

15.如圖，在△48。中，NBA。=90°，是3C邊上的高，E、尸分別是A

48、/C邊的中點，若48=8，47=6，則△OEF的周長為.?\

16.已知二次函數(shù)）=/—2―2,則當—2W1時，y的最大值與最小值的差為.

三、解答題：本題共7小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題6分）

解方程：

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⑴/—2,-7=0；

（2）3C（2—1）=1—a;.

18.（本小題6分）

已知關(guān)于x的一元二次方程/-4a;-2m+5=0有兩個實數(shù)根.

(1)求實數(shù)加的取值范圍；

(2)若21,電是該方程的兩個根，且滿足立"2++加2=加？+6,求機的值.

19.(本小題6分)

一次函數(shù)沙=反+6的圖象經(jīng)過4(1,6),6(—3,—2)兩點.

(1)求此一次函數(shù)的解析式；

(2)若一次函數(shù)與x軸交于。點，求△40B的面積.

20.(本小題8分)

某村2021年的年人均收入為20000元，2023年的年人均收入為24200元.

(1)求2021年到2023年該村年人均收入的年平均增長率；

(2)假設(shè)2024年該村年人均收入的增長率與前兩年的年平均增長率相同，請你預測2024年該村的年人均收

入是多少元？

21.(本小題8分)

如圖，正方形中，G為邊上一點，3石，人8于￡,于尸，連接DE.

(1)求證：AABE沿ADAF；

(2)若/F=l,△DFE的面積為3,求跖的長.

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22.(本小題9分)

如圖，已知拋物線g=—/+fcc+c與x軸交于點力(-1,0)和點8(3,0),與了軸交于點C,連接2C交拋物

線的對稱軸于點￡,D是拋物線的頂點.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)直接寫出點C和點。的坐標;

(3)若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S&WP=4S^COE,求P點坐標.

23.(本小題9分)

如圖，直線01=3/+6分別交x軸、y軸于/,B兩點,直線沙2=卜重+3(卜43)分別交x軸、y軸于C,D,

交朋于點E.

(1)直接寫出坐標/：,B-.,D：

(2)如圖1,若C點的坐標為(一6,0),求證：NBED=45°;

(3)如圖2,在(2)的條件下，過點C關(guān)于y軸的對稱點尸作x軸的垂線交直線統(tǒng)于點G,連接ERBG、

OE,求巨之空的值.

OE

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：/、/+27=0是一元二次方程，符合題意；

B、原方程可化為22—32=9是二元二次方程，不符合題意；

C、二一，=i是分式方程，不符合題意；

D、沙―?=4是二元二次方程，不符合題意.

故選：A.

根據(jù)一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可.

本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一

元二次方程是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：2023°=1，選項/錯誤，不符合題意；

一與遍，不是同類二次根式，不能合并，選項2錯誤，不符合題意；

(-3a2)3=-27a6,選項C錯誤，不符合題意；

a7-a3=a4,選項。計算正確，符合題意；

故選：D.

逐項計算判斷出正確選項即可.

本題考查了與零指數(shù)幕、同類二次根式、幕的乘方、同底數(shù)幕相除相關(guān)的計算，掌握相關(guān)計算方法是解題

關(guān)鍵.

3.【答案】D

【解析】解：在△48。中，AB^AC,

.?.△ABC是等腰三角形，

：./B=NC,

為3c邊的中點，

：.AD1BC，ADABAC,

故選項/、B、C正確，48=3。不一定成立，

故選：D.

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由AB=4。知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行判斷即可.

此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】解：?.?點4(—1,4)的對應(yīng)點為。(4,7),

.?.平移規(guī)律為向右5個單位，向上3個單位，

,點B(—4,—1),

.?.點。的坐標為(L2).

故選：A.

根據(jù)點/、C的坐標確定出平移規(guī)律，再求出點。的坐標即可.

本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移

減.

5.【答案】C

【解析】解:/、由于一次函數(shù)4=—22+3中的k=—2<0,b=3>0,所以圖象過一、二、四象限，

不符合題意；

B、由于一次函數(shù)"=一22+3中的卜=—2<0,所以y隨x的增大而減小，不符合題意；

C、令y>。,則一22+3〉0,止匕時2<|,符合題意；

D、當立=1時，1.所以圖象不過(1,一1),不符合題意；

故選：C.

解不等式求得不等式的解集即可判斷C;根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷/、B；把點(1,-1)代入解析式即可

判斷O.

本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)與不等式的關(guān)系.熟練掌握

一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】解：a=1,6=-1>c=2，

△=62-4ac=(-1)2-4x1x2=-7<0,

所以方程沒有實數(shù)根.

故選D

把a=Lb=-l,?=2代入4=廬—4區(qū)進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況.

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本題考查了一元二次方程a/+bx+c=0（a^0,a,"c為常數(shù)）的根的判別式△=y—4加.當△＞0時，方

程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜（）時，方程沒有實數(shù)根.

7.【答案】A

【解析】解：/、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對角線都互相平分，故本選項正確；

8、只有矩形，正方形的對角線相等，故本選項錯誤；

C、只有菱形，正方形的對角線互相垂直，故本選項錯誤；

。、只有菱形，正方形的對角線互相垂直平分，故本選項錯誤.

故選：A.

根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的對角線的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記各圖形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：-：y=-（x+1）2+3,

故開口向下，選項N錯誤；

對稱軸為直線2=—1,選項2錯誤；

頂點坐標為（-1,3）,選項C正確；

當立＞一1時，y隨x的增大而減小，選項。錯誤.

故選C.

根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)依次進行判斷即可.

本題主要考查拋物線的圖象和性質(zhì)，熟練掌握拋物線的圖象是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】B

【解析】解：?.?小道的寬為x米，

二.種植部分可合成長為（15-2乃米，寬為（8-/）米的矩形.

依題意得：（15—2,）（8—乃=110.

故選：B.

由小道的寬為x米，可得出種植部分可合成長為（15-2口米，寬為（8-2）米的矩形，根據(jù)種植面積為110

平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】D

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【解析】解：4由函數(shù)4=機立+機的圖象可知m<0,即函數(shù)沙=m/+24+2開口方向朝下，對稱軸

21

為/=-『=-—>0,則對稱軸應(yīng)在y軸右側(cè)，與圖象不符，故/選項錯誤；

2mm

2.由函數(shù)沙=6z+機的圖象可知?n<0,即函數(shù)沙=+2/+2開口方向朝下，與圖象不符，故8選項

錯誤；

C由函數(shù)y=m^+機的圖象可知6〉0,即函數(shù)4=ma;2+22+2開口方向朝上，對稱軸為

21

/=-：=-土<0,則對稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象不符，故C選項錯誤；

2mm

D由函數(shù)?/=m2+機的圖象可知m<0，即函數(shù)g=ni/+2c+2開口方向朝下，對稱軸為

21

x=---=>0,則對稱軸應(yīng)在y軸右側(cè)，與圖象相符，故。選項正確.

2mm

故選：D.

根據(jù)各個選項先根據(jù)一次函數(shù)圖象得到m的范圍，再通過判斷二次函數(shù)的開口方向和對稱軸即可求解.

本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解

題.

11.【答案】［x+2y)^x-2y)

【解析】解:x2-4姬=(2+2/3-2y).

故答案為：(2+2妨(①—2妨.

直接利用平方差公式分解因式得出答案.

此題主要考查了公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.

12.【答案】-3

【解析】解：依題意，把2=—2代入方程工2—篇,+2=0

得4+2m+2=0,

解得m=-3.

故答案為：—3.

因為關(guān)于X的一元二次方程22—+2=0的一個根為—2,所以把2=—2代入方程川—加立+2=0得

4+2m+2=0,然后解關(guān)于加的方程即可.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

13.【答案】沙=；/—3

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【解析】解：拋物線/向下平移3個單位，得到的拋物線解析式為“=—3.

故答案為：y=|a?2-3.

拋物線平移不改變二次項系數(shù)的值，上下平移拋物線時，頂點的橫坐標不變，縱坐標發(fā)生改變，向上平移

時，縱坐標增加，向下平移時縱坐標減小.根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可求解.

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知拋物線的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

14.【答案】>

【解析】解：?.?一次函數(shù)。=—2中+1中，k=—2<0,

，沙隨工的增大而減小.

'.--2<1,

m>n.

故答案為：〉.

先根據(jù)題意判斷出函數(shù)的增減性，再由兩點橫坐標的大小即可得出結(jié)論.

本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

15.【答案】12

【解析】解：在中，由勾股定理得：BC=\/AB1+AC2=\/82+62=10>

■：AD1BC，

，/403=乙4。。=90°，

■「E、尸分別是A8、/C邊的中點，48=8，4C=6，BC=10,

：.DE=4,DF=^AC=3,EF=^BC=5,

ZSOEF的周長=EF+DE+DF=5+4：+3=12,

故答案為：12.

根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出DE和。R根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)求出

EF,再求出答案即可.

本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)等知識點，能熟記直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵.

16.【答案】當

4

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【解析］解：g=/_k_2=(①_

二對稱軸為直線1久頂點坐標I為力9，

.?.當—時，y的最小值為—|,最大值為(—2)2—(—2)—2=4,

.?.V的最大值與最小值的差為4—(—|)=?

先確定二次函數(shù)沙=x2-X-2的對稱軸和頂點坐標，再確定y的最大值和最小值.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標的求法.

17.【答案】解：(1)/—2/—7=0,

移項，得“2—2/=7，

配方，得72—2力+1=7+1，

即(2-1)2=8,

：.x-l=±2\/2，

解得力1=1+2\/2，數(shù)=1—2\/2.

(2)3%(力—1)=1—x,

移項，得3/(7一1)+—一1)=0,

因式分解，得(力―1)(33+1)=0,

,\x—1=0或3/+1=0,

解得3=1,力2=一了

o

【解析】(1)利用配方法解方程即可；

(2)移項后，提取公因式分解因式解方程即可.

本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點選用適當?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)/—44—2m+5=0有兩個實數(shù)根，

「.△=/—4ac》0>

(-4)2—4x1x(-2m+5)>0，

1

(2)?1-Xi,22是該方程的兩個根，

/,力1+力2=4,力逐2=-2m+5，

'：力避2+力1+/2=+6，

第10頁，共15頁

/.-2m+5+4=m2+6，

/.m=一3或1.

1

,/m>-,

【解析】(1)利用根的判別式△=廬-4QC〉0,即可求出答案；

(2)先將足力逐2+xi+X2=m2+6轉(zhuǎn)化成—2m+5+4=m2+6，再運用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系的公式是

解題關(guān)鍵.

19.【答案】解：⑴把4(1,6),8(—3,—2)代入沙=版:+b得到(

1—6K十。=—2

解得｛b=e

所以直線AB的解析式為g=2z+4；

(2)把沙=0代入沙=+4得，2/+4=0,

解得x=-2,

,直線N5與x軸的交點C為(一2,0),

所以△力。的面積=2X2X6+]X2X2=8.

【解析】(1)利用待定系數(shù)法求直線N3的解析式；

(2)先求出直線AB與x軸的交點坐標，然后通過計算兩個三角形的面積和得到的面積.

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)

y=kx+b；將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方

程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式.

20.【答案】解：(1)設(shè)2021年到2023年該村年人均收入的年平均增長率為x,

由題意得：20000(1+/)2=24200,

解得：T1=0.1=10%,22=-2.1(不合題意，舍去)，

答：2021年到2023年該村年人均收入的年平均增長率為10%.

(2)24200x(1+10%)=26620(元),

答：2024年該村的年人均收入是26620元.

【解析】(1)設(shè)2021年到2023年該村年人均收入的年平均增長率為x,根據(jù)某村2021年的年人均收入為

20000元，2023年的年人均收入為24200元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

第H頁，共15頁

（2）由2024年該村的人均收入=2023年該村的人均收入x（1+年平均增長率），即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

21.【答案】（1）證明：?.?四邊形/BCD是正方形，

：.AB=AD,ABAD=NBAE+ADAF=90°,

■：DFLAG>BELAG

：,ADAF+^ADF=90°，/BEA=AAFD=90°，

：.ABAE^/LADF,

在△43E和△OAF中，

[NBAE=NADF

</AEB=NDFA,

[AB=AD

.-.^ABE^/XDAF^AAS）；

（2）解：由（1）得AABE之ADAF（AAS）,

:,DF=AE,AF=BE=1，

設(shè)=則AE=OF=/+1,

由題思、—X27X（5?+l）=3,

/+4—6=0，

解得a;=2或一3（舍棄），

：.EF=2.

【解析】（1）由NBAE+NIZ4P=90°,ADAF+AADF=90°，推出/BAE=NADF,即可根據(jù)NNS

證明AABE咨ADAF；

⑵設(shè)EF=c,則AE=DF=4+1,根據(jù)△■DFE的面積為3,列出方程即可解決問題；

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，

學會利用參數(shù)構(gòu)建方程，屬于中考?？碱}型.

22.【答案】解:⑴將4（—1,0）、5（3,0）代入沙=—/+版+c,

[=解得：（b=V

1―9+3b+c=01c=3

二拋物線的解析式為沙=—/+2/+3.

⑵當立=0時，y=-x2+2rr+3=3,

.?.點C的坐標為（0,3）；

第12頁，共15頁

?.■拋物線的解析式為沙=—/+2c+3,

.??頂點。的坐標為(1,4).

(3)設(shè)點P的坐標為(m,n)(m>0,n>0),

131

S/\COE=-xlx3=->S4ABP=-x4n=2n,

S^ABP=4s△COE,

3

2n=4x-,

n=3>

—m2+2m+3=3>

解得：ma=0(不合題意，舍去)，1m2=2,

點尸的坐標為(2,3).

【解析】(1)根據(jù)點/、8的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)代入工=0求出了值，由此可得出點。的坐標，根據(jù)拋物線的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出頂

點D的坐標；

(3)設(shè)點P的坐標為(科九)>0,n>0),根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S44BP=4SZXCOE,即可得出關(guān)于〃

的一元一次方程，解之即可得出〃值，再代入〃值求出加值，取其正值即可得出結(jié)論.

本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函

數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點的坐標，利用待定

系數(shù)法求出拋物線解析式；(2)利用二次函數(shù)性質(zhì)求出頂點。的坐標；(3)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合

SAABP=4s△COE求出點尸的縱坐標.

23.【答案】(-2,0)(0,6)(0,3)

【解析】(1)解：對于見=32+6,

令見=32+6=0,

解得立=—2,

令2=0,則?/=6,

對于？/2=強+3,

令c=0,則？/=3,

.-.A(-2,0),3(0,6),0(0,3)；

故答案為：(一2,0)；(0,6)；(0,3)；

(2)證明：如圖，過點3作直線交CD于點尸，使BH=AB,連接/〃，過點8作直線〃/7軸，

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過點/作直線4A/L交直線/于點M,過點〃作HNLI于點、N,

根據(jù)題意得為等腰直角三角形,

ZBAF=45°>

由點/、2的坐標知