2023-2024學年北師大版高中下學期高一數(shù)學期末卷（全解全析）

2023-2024學年高一數(shù)學下學期期末試卷

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：(必修第二冊)人教B版2019

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.復數(shù)z=R的實部和虛部分別是()

2+1

c1515.

A.1,1B.1,iC.---9D.——,—i

3333

【答案】A

l+3i(l+3i)(2-i)i3i

【解析】z=k='<=l+i,所以數(shù)的+實部和虛部分別是1,1,故選A.

2+1(2+i)(2-i)2+1

2.已知向量a=(2,2),b=(2,-4),2GR,若d-L(a+6),則2=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】由a~L(a+6)得a.(a+6)=a+G-=2-+2-+2A—8=0,解得a=。，故選B

3.如圖所示，梯形AB'C'D是平面圖形ABC。用斜二測畫法得到的直觀圖，ArD'=2B'C'=2,A?=l,

則平面圖形A3CD的面積為()

A.2B.2A/2C.3D.3^2

【答案】c

【解析】如圖，作平面直角坐標系xOx,

使A與。重合，AD在x軸上，且|A&=2,A3在＞軸上，且|AB|=2,

過8作3C〃AD,且怛。=1,連接8,則直角梯形A3CD為原平面圖形,

其面積為S=；x(l+2)x2=3,故選C.

4.已知向量。=(U)涉=(-2,1),貝!Ja在。方向上的投影數(shù)量為()

D.一叵

5

【答案】D

【解析】因為。=(Ll),b=(-2,1),

a-b1x(—2)+1x1>/10

所以cos(d/

,卜網(wǎng)Vl2+12X^(-2)2+1210

叵

因此。在6方向上的投影為

-5'

故選：D.

5.《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:

弧田面積=；x(弦x矢+矢D.弧田如圖，由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等

于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓弧為號，半徑為4米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面

積約為()(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：石。1.73)

A.4平方米B.5平方米

C.8平方米D.9平方米

【答案】D

8兀

【解析】依題意，圓弧所對圓心角為瓦=女，

4-3

所以，“矢”等于4—4xcos]=4—2=2,“弦”等于2x（4xsin[]=4^,

所以弧田面積約為gx（4出X2+2,=4G+2B4X1.73+2=8.92W9平方米.

故選：D

則tana=()

1

C.3

3

所以cosa+雪卜33"：)

即sin[a+2)=3cos]；所以tan(a+：J=3,

71

（\tancr+tan—1

則tana+f=----------生=3,解得tan[==,故選：B

I4）Ltanatan712

4

7.已知，（尤）=2sin[s+j（o>0）,若方程lf（x）|=1在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個實根，則。的取值范圍是（）

15544

A.—<a><—B.—<a）<\C.l<a）<—D.\<a）<—

26633

【答案】B

【解析】由方程1/■（尤）1=2sinf?x+m]=1,可得sin[0尤+?]=士:，所以口尤+=加土￡（左eZ）,

<6）<6J266

兀（7171]

當無￡（0,2冗）時，+—e—,2啰兀+—,

6（66）

所以8+2的可能取值為暫，?，當，粵，?，粵，…，

o6666o6

因為原方程在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個實根，所以坐<20兀+丁4孚，

666

解得即。的取值范圍是住,1.

故選:B.

8.《九章算術》是我國古代的數(shù)學專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部.在

《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知“塹堵”ABC-A4C的所有頂點都在球

。的球面上，且AB=AC=1.若球。的表面積為4兀，則這個三棱柱的表面積是（）

A.2+20B.2A/2C.3+2&D.3+2A/3

【答案】C

【解析】設BC,與G的中點分別為"，M],連接取的中點。.

直三棱柱ABC-AB?中，BM//BM,BM=耳陷=gBC,

四邊形BMMN是平行四邊形，有MMJ/AA.,

因為三棱柱ABC-A瓦G的底面是直角三角形，AB=AC=1,所以AB/AC,\B}14G,

M,分別是Rt^ABC,RtA414G的外接圓圓心.

因為"_L平面ABC,所以M陷，平面ABC,

所以。為ABC-A4G的外接球的球心.

連接08,因為球。的表面積為4兀，所以球。的半徑為1,即03=1,

AB=AC=\,則3C=應，BM=—,可得OM=變，MM、=^,

221

所以三棱柱ABC-ABIG的表面積S=gxlxlx2+（1+1+應）x&=3+20,

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設Z，Z?為復數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.|ziz2|=|ziz2|

B.上一z2KlzJ+同

1

C.若一為虛數(shù)，則4也為虛數(shù)

zi

D.若歸+i|=l,則㈤的最大值為亞

【答案】ABC

【解析】設Z]=〃+Z?i,Z2=c+M(a,b,c,d￡R),

則乎2=(a+歷＞(c+*)=(ac-Z?d)+(〃+bc)i,

z,z2=^a+b^-[c-di)=^ac+bd^+{bc-ad)i,

所以|zH=|zH，故A正確,

設ZE對應的向量分別為OZiOZ2,則由向量三角不等式得OZ「OZ2W+感2,

所以|z「Z2|，zJ+㈤恒成立，所以B正確,

因為工=二」為虛數(shù)，4?[為實數(shù)，所以I為虛數(shù)，則馬也為虛數(shù)，故C正確;

Z[Z]?Z]

設Z=x+yi,由|z1+i|=l,則在復平面內(nèi)點Ey）表示以（0,-1）為圓心，1為半徑的圓，則同皿=2,故D

錯誤.

故選：ABC

10.函數(shù)/"）=45由（。苫+夕“。＜。42,一方＜0＜^的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）

B./⑴的圖象關于直線x=71對稱

1271

C./(x)=4cos—X--------

23

%,10兀

D.若方程/⑺=2在（0,㈤上有且只有5個根，則MW

3

【答案】ACD

【解析】對于A,由〃0）=-2,得4sin°=-2,即sin0=-；,又三（p〈g

.?①=唉,故A正確;

O

對于C,又“X）的圖象過點go],貝!J,國=0,即Sin片一力=0,

------=kit9即得①=3左H—,keZ,又0＜刃＜2,/.co=—

36229

4cos故C正確;

1兀

對于B,因為/(x)=4sin—X——而/(兀)=4sin

26

故直線兄=兀不是函數(shù)/（另的對稱軸，故B錯誤;

對于D,由〃x）=2,得cos[!x-g]=：,

解得x=2兀+4E或可+4E,kwZ,

方程〃尤）=2在（0,m）上有5個根，從小到大依次為：寺,2私號,6無，等,

而第7個根為1。兀，所以等〈根W10兀，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A與6。中，尸在線段82上運動（包括端點），下列選項正確的有

A.APVB.C

B.PDLBC

C.直線PG與平面A8C2所成角的最大值是:

D.PC+PD的最小值為26

【答案】ACD

【解析】對于選項A,由正方體性質(zhì)，易得

因為ABBCt=B,AB,BQu平面ABClDl,

所以BQ,平面A8C0|.

因為APu平面ABGQ,所以APLBC，故A正確;

對于選項B,當P與B重合，則此時PD與BC夾角為：，故B錯誤;

4

對于選項c,如圖連接。C交2c于

因為CR_LDC,,BCcCDt=C,BC,CDlu平面A.BCD,,

所以r>G，平面4BCD,,即C/，平面4BCD,,

所以NC\PH為直線PC、與平面ABCA所成角，所以tan/C/H=0=走.

PHPH

所以當“尸最小時NGp"最大，即5,時，HP最小.

,D廠八八—BC,HD,2x\/2A/2

由BDDry]HP=BCCD],可rZ得HHP=------L=,=

BD,V22+22+22A/3

./rPj_r_CtH_V2_A

此時G西一五"，故4尸打的最大值為g.

忑

直線PC與平面ABC2所成角的最大值是T，故C正確；

對于選項D,如圖，將平面與平面RBC沿翻折到同一個平面內(nèi)

由題意，QB=2A/3,BD=2V2,DD、=2,BC=2,DXC=2后,

從而RC=DB,DD、=BC,故DDXCB為平行四邊形.

TT

XZD1CB=ZD1DB=~,故DQCB為矩形.

從而當尸為8與2,交點時，PC+尸口最小，此時尸。+尸￡>=8=3〃=2點，故D正確.

故選:ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知命題P：若d尸為第一象限角，且貝！|sina>sin^.能說明命題P為假命題的一組a1的值

可以是a=,P=.

兀

【答案】丫13（答案不唯一）17T（答案不唯一）

00

【解析】因為以〃為第一象限角，且e>力，

取137r，/=7=T,則且在第一象限，

66

>rit..137T.C.兀1

此時sma=sm=smp=sm—=一,

662

故命題〃為假命題，滿足題意，

所以d夕的值可以是。=號，尸=占，

13.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，底面半徑為3km,高為3Vl?km,5是母線SA上一點，且

AB=7km.現(xiàn)要建設一條從A到3的環(huán)山觀光公路；當公路長度最短時，這條公路從A出發(fā)后先上坡，

后下坡，則公路上坡路段長為千米.

【解析】由題意，半徑為3km,山高為3厲km,則母線SA=,3?+（3岳『=12,

底面圓周長2b=6兀，所以展開圖的圓心角a=^67r|=]7T,

如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，結(jié)合題意，AB=yl（12-7）2+122=13,

由點S向AB引垂線，垂足為點H,此時SH為點S和線段上的點連線的最小值，

即點H為公路的最高點，的段即為下坡路段，

25

貝(ISM即25=13?8//,得利二行!?

25144

上坡路段長度為A"=A3-=13-云=-^km.

7km

SBA'

12tam

A

14.如圖，這個優(yōu)美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組成，若正方形ABCD的邊長為4,點P

在:四段圓"弧上運動，則AP.AB的取值范圍為_____.

【答案】[-8,24]

【解析】如圖，以點A為原點，分別以所在直線為羽y軸建立坐標系.

SAPAB=1AP\\AB\cos<AP,AB)=4\AP\-cos(AP,AB),

而IAPIcos〈AP,AB)表示AP在AB方向上的投影向量的數(shù)量，

由圖不難發(fā)現(xiàn)，設過正方形的中心作與x軸平行的直線與左右兩個半圓分別交于點,

則當點尸與點片重合時，投影向量的數(shù)量最大，當點P與點g重合時，投影向量的數(shù)量最小.

易得片(6,2),呂(-2,2),則|AP|.cos〈AP,A8〉的最大值為6,最小值為-2,

故一84APABW24.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步果。

15.(本小題滿分13分)設ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是“力,G且向量根=(a,b\n=(-bcosA,sinB)

滿足，〃//".

⑴求4

(2)若4=如乃=3,求BC邊上的高/z.

【解】(1)因為"2〃"，所以asinB+后6cosA=0,

由正弦定理得sinAsinB+A/3sinBcosA=0,

因為Bw(O,兀),所以sinBwO,所以tanA=-6，

又4?0,兀)，解得A專；

(2)因為。=屈,6=3,4=m，所以〃=62+°2—26CCOSA,

即(V13)2=32+C2-2X3CX^-1^

化簡得。2+3。一4=0,解得c=l或c=T(舍去)，

由"C的面積S=?csinA,又S『,

故J_x3xlx立=久加7,解得人捷打

22226

16.(本小題滿分15分)已知向量相=(gsins,cos8),n=(coscox,-coscox)(0＞0,xeR),

1TT

/(元)=m-n--,且y=f(x)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為|.

⑴求函數(shù)V=fM的解析式，并求/(x)在區(qū)間[0,會上的值域；

(2)若。＞0,且函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,2a)上單調(diào)，求”的取值范圍.

【解】(1)由向量機=(石$111G％,以光口力),〃=9050工,-＜：055：),

貝!)f(x)=y[3sincoxcoscox-cos2cox--=sin2cox--cos2cox-1=sin(26yx-^)-l,

2226

由函數(shù)/(%)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為冷，得人九)的周期丁=兀，則①=半=1，

于是/(x)=sin(2x—芻一1,當X￡[0，F(xiàn)時，2%[—]，￥]，

62666

當2元一9=一9,即x=0時，當"一三二三，即x=W時，"x)M=。，

662623

所以/(x)=sin(2x-^)-1,在區(qū)間［0,夕上的值域為［-|,0］.

(2)由(1)知/V)=sin(2x-1)-l,

O

*7T.-7L,7T,,一AF/口7TAjL7L&7T,一

-----Fku<2%<Fkll,左￡Z,-----1----<%K1-----，左￡Z,

2626232

即函數(shù)了⑺的單調(diào)區(qū)間為［-B+"，W+”］，％eZ,而函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,2口)上單調(diào)，

6232

、兀航

aN-----1----

因此(a,2a)uW+"A+W］?eZ,即62，建Z,

6232c/7iE

2a<--\---

I32

frjjZF4兀"兀//兀"兀7f_7口&4九"兀，Rkit口TCkjt?1)

6264626464

24717t5冗

^--<k<~,則％=0或%=1,當左=0時，ae(0,-］；當％=1時，—］,

336312

所以實數(shù)。的取值范圍(0,勺邑寺?

6312

17.(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CD是邊長為2的菱形，DCP是等邊三角

7T

形，NDCB=/PCB=1點M,N分別為和AB的中點.

P

(1)求證：MN〃平面PBC;

(2)求證：平面尸3cl平面ABCD;

【解】(1)取PC中點E,連接ME,BE,由M為。尸的中點，N為42的中點,

所以ME//DC=gDC,

又BNI/CD,BN=<CD,

則ME〃BN,ME=BN,因此四邊形3項W為平行四邊形,

于是MN//BE,

而AfVu平面P3C,BEu平面PBC,

所以MN〃平面P3C；

（2）過尸作PQLBC于點。，連接DQ,

TT一

由ZDCB=ZPCB=—,CD=PC,QC=QC,得.QCDg△QCP,

4

TT

貝（］NDQC=NPQC=5，BpDQ±BC,

因為底面ABC。是邊長為2的菱形，0cp是等邊三角形,

所以CD=PD=2,

從而PQ=OQ=&,PQ2+OQ2=4=22=C￡>2=尸。2,

所以尸。，。。，

又因為。Qc8C=。，OQu平面ABC。，3Cu平面ABC。，

則尸Q1平面A3CD,

又因為PQu平面P3C,

所以平面PBC1平面ABCD.

18.（本小題滿分17分）位于大連森林動物園的“大連浪漫之星”摩天輪享有“大連觀光新地標，浪漫打卡新

高度”的美稱.如圖，摩天輪的輪徑（直徑）為70米，座艙距離地面的最大高度可達80米，摩天輪的圓周上

均勻地安裝著30個座艙，并且運行時按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要18分鐘.如圖，想要觀光的乘客需先

從地面上樓梯至乘降點P,在乘降點尸處進入座艙后開始觀光，再次回到乘降點尸時觀光結(jié)束.本題中座艙

都被視為圓周上的點，每個座艙高度忽略不計.

（1）甲乙兩名游客分別坐在兩個不同的座艙內(nèi)，他們之間間隔4個座艙，求劣弧A8的弧長/（單位：米）;

⑵設游客從乘降點尸處進艙，開始轉(zhuǎn)動f分鐘后距離地面的高度為H米，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關于

時間f的函數(shù)解析式；

(3)若游客在距離地面至少62.5米的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪轉(zhuǎn)動一周能有多長時間使(1)

中的甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.

【解】(1)依題意，摩天輪的圓周上均勻地安裝著30個座艙，則兩個相鄰座艙所對的圓心角為2蕭7r=點7T，

由甲、乙之間間隔4個座艙，得劣弧A2所對的圓心角為臺'5=三，弧長/=弓*35=個，

所以劣弧A8的弧長為等35兀米.

(2)以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心。為坐標原點，分別以過。的水平線和豎直線為蒼了軸，建立平面直角坐標系，如

圖,

不妨設開始轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度H(。=Asin(詡+。)+6,(A＞0,。＞0力＞0),

依題意，H⑺max=80,H⑺*=80-70=10,

貝=〃⑺max⑺min=35b="⑺111ax+"⑺min_45

由轉(zhuǎn)一周需要18分鐘，得周期T=18=臼27r，解得。=i《r，

①9

則/⑺=35sin(*+0)+45,3>0),由“(0)=10,得35sin°+45=10,解得。=-、+2E,ZeZ,

jr

所以H⑺=-35cosgf+45,0W18.

(3)由在距離地面至少62.5米的高度能夠獲得最佳視覺效果，得"“)262.5je(O,18),

-TTjr19jrjr47r

即-35cos*+45Z62.5,貝!Jcos^fW-],即?4巳*望，解得6＜區(qū)12,

則12-6=6分鐘，于是有6分鐘的時間使游客甲有最佳視覺效果，

jr——7t

而劣弧所對的圓心角為:，則甲乙相隔的時間務，有3_，°，解得，。=3分鐘，

3—二—

2兀18

因此當甲剛開始有最佳視覺效果時，乙需3分鐘后才有視覺效果,

所以甲乙都有最佳視覺效果的時間為6-3=3分鐘.

19.(本小題滿分17分)對于數(shù)集*={-1,占,孫…,王},其中。<王<尤2<<%,心1.定義向量集

y={a|a=(s,/),seXjeX}.若對于任意q