2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)分類匯編：三角函數(shù)與解三角形

考點(diǎn)3三角函數(shù)與解三角形

五年（2020—2024）高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)分類匯編

一、選擇題

1.[2023年新課標(biāo)I卷]已知sin(a-,cosasmJ3=—,則cos(2a+2/?)=()

36

A.1B.lC.--D.--

9999

為銳角，cosa」+下,

2.[2023年新課標(biāo)H卷]已知a貝!jsin?=()

4

3-逐一1+百C3-布

A.15.

88,44

3.[2021年新高考I卷]下列區(qū)間中，函數(shù)/（尤）=7sin]-總單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

D.("

4.[2024年新課標(biāo)I卷]已知cos(a+/7)=m,tantztan'=2,貝|cos(a-尸)=()

A.-3mB.--C.—D.3m

33

5.[2021年新高考I卷偌tan6=-2,則理駕K!粵=（）

B-D

Aic.|-|

,5

6.[2022年新高考11卷]若$皿°+分）+（305（2+夕）=20（30$[0+：'11，，貝!J（）

A.tan(6z-/J)=1B.tan(6z+/?)=1

C.tan(a-/?)=—1D.tan(a+/?)=-1

7.[2024年新課標(biāo)I卷]當(dāng)天￡[0,2兀]時(shí)，曲線尸sinx與y=2sin（3%-工）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

6

A.3B.4C.6D.8

8.[2022年新高考I卷]記函數(shù)/（x）=sin"+；+仇0〉0）的最小正周期為T.若g<T<兀,

且y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)住,21中心對(duì)稱，則/固=()

35

A.lB.-C.-D.3

22

二、多項(xiàng)選擇題

9.［2024年新課標(biāo)H卷］對(duì)于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin|2x-巴］,下列說(shuō)法中正確的有()

A./(%)與g(x)有相同的零點(diǎn)

B.f(x)與g(x)有相同的最大值

C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期

D./(%)與g(x)的圖象有相同的對(duì)稱軸

10.［2022年新高考n卷］已知函數(shù)/a)=sin(2x+0)(0<9<m的圖象關(guān)于點(diǎn)寸,0中心對(duì)稱,

則()

A"(x)在區(qū)間［0,總單調(diào)遞減

B"(x)在區(qū)間/，詈］有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=4是曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

6

D.直線'=孝-》是曲線y=/(x)的切線

11.［2020年新高考I卷］下圖是函數(shù)y=sin(ox+e)的部分圖像，則sin(s+p)=()

_,_71、—/5兀.、

C.cos(2x+—)D.cos(------2x)

66

三、填空題

12.［2023年新課標(biāo)I卷］已知函數(shù)/(x)=cosox-13>0)在區(qū)間［0,2旭有且僅有3個(gè)零點(diǎn),

則。的取值范圍是.

13.［2024年新課標(biāo)H卷］已知c為第一象限角，，為第三象限角，tana+tan/7=4,

tanatan/3=^2+1,則sin(tz+/7)=.

14.［2023年新課標(biāo)H卷］已知函數(shù)/(x)=sin(Ox+°),如圖，A,3是直線y與曲線y=/(x)

的兩個(gè)交點(diǎn)，若|AB|=巴，則/(兀)=.

15.［2020年新高考H卷］某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.0

為圓孔及輪廓圓弧A3所在圓的圓心，A是圓弧A3與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧A3與直線BC

的切點(diǎn)，四邊形DERG為矩形，6CLDG,垂足為C,tanZODC=-,BH//DG,EF=12cm,

5

DE=2cm,A到直線DE和"的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積

四、解答題

16.［2024年新課標(biāo)I卷］記△ABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知sinC=0cosB,

cr+b2-c~=yflab.

(1)求&

(2)若△ABC的面積為3+石，求c.

17.[2023年新課標(biāo)I卷]已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求A3邊上的高.

18.[2024年新課標(biāo)H卷]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinA+GcosA-2.

(1)求A；

(2)若a=2,?sinC=csin2B,求△ABC的周長(zhǎng).

19.[2020年新高考I卷]在①h=百，②csinA=3,③°=耳這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求。的值;若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為a/,c,且sinA=V5sinB,CJ，_____?

6

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.[2021年新高考I卷]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知尸=這，點(diǎn)。

在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AZ)=2￡>C,求cosNABC.

21.[2022年新高考I卷]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

cosA_sinIB

1+sinA1+cosIB

(1)若C=0,求3；

3

(2)求的最小值.

★參考答案★

1.答案：B

1

sinacosft-cosasin(3

Q1

解析：依題意，得,所以sinacos/?=5,所以

costzsin^=-

6

112

sin(6r+/?)=sinacos/?+cosasin[3=一十一二一,所以

263

cos(2a+20=l-2sin2(a+0=1-2X故選B.

2.答案：D

解析：法一：由題意,c°sa=r?2s]咤,得、皿2f=4=中/個(gè)

又夕為銳角,所以嗚〉。，所以嗚=亨，故選D.

法二：由題意，cos?=^^=l-2sin2-,得sii?4=土避，將選項(xiàng)逐個(gè)代入驗(yàn)證可知D

4228

選項(xiàng)滿足，故選D.

3.答案：A

解析：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，熟記三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.因?yàn)?/p>

f(x)=7sin|x--|,所以工—工￡-—+2Z：7r,—+2fareZ),解得XE--+2^K,—+2faieZ),只有

6J6|_22J|_33J

A項(xiàng)符合.

4.答案：A

sinasino

解析：由cos(or+/?)=相得cosacos/?-sinasin[3=根①.由tanatan/?=2得---------=2②，

cosacos0

nfcosacos￡=一m

由①②得《，所以cos(a—尸)=cosacos/+sinasin/?=-3根，故選A.

sinasm/3--2m

5.答案：C

解析：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算.因?yàn)閠ane=-2,所以

sin0(1+sin20)_sin6?(sin26+cos20+2sin6?cos_sin6(sin6+cos6＞了一二門。.二0Icos。)

sin0+cos0sin8+cos0sin夕+cos0

sin20+sincos0_tan2夕+tan8_4-2_2

sin20+cos26tan20+\4+15'

6.答案：C

解析：當(dāng)a=0時(shí)，由題設(shè)可得sin/?=cos〃，故可取夕=(.于是，tan(tz—/7)=-1,tan(a+/7)=1,

一3IT

因此可以排除選項(xiàng)A,D.同理，當(dāng)分=0時(shí)，可?。?與，于是有tan(a+/7)=-l,因此可以

排除選項(xiàng)B.故正確選項(xiàng)為C.

7.答案：C

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin的最小正周期T=g,所以函數(shù)y=2sin3x-6在［0,2初上

的圖象恰好是三個(gè)周期的圖象，所以作出函數(shù)y=251“3》-6）與y=sinx在［0,2兀］上的圖象如

圖所示,

由圖可知，這兩個(gè)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，故選C.

8.答案：A

解析：因?yàn)樯级。钾?，所以@＜&＜兀，解得2＜。＜3.因?yàn)閥=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（羽,2］中

33co＜2）

心對(duì)稱，所以6=2,且sin（史（《+四］+6=2,即sin12（》+二］=0,所以或O+工=E（左eZ）,

（24）（24J24

又2＜。＜3,所以西〈紅。+三＜3,所以九0+巴=4兀，解得°=3,所以

4244242

/(x)=sin[gx+：]+2,所以=sin[gx5+；]+2=sin，+2=l.故選A.

9.答案：BC

解析：對(duì)于A,令/(x)=0,則x=g,keZ,XgfyLo,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x)與g(x)的最大值都為1,故B正確；

對(duì)于C,/(X)與g(x)的最小正周期都為71,故C正確；

對(duì)于D,/(X)圖象的對(duì)稱軸方程為2x='+E,keZ,即x=：+g,keZ,g(x)圖象的對(duì)

稱軸方程為2x-e=]+E,keZ,即工=里+多，kwZ,故/(x)與g(x)的圖象的對(duì)稱軸不

相同，故D錯(cuò)誤.故選BC.

10.答案：AD

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(幻的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以sin12x1+°]=0,可得

^-+(P=kn(kZ),結(jié)合0<0<兀，得夕=g，所以/(x)=sinlzx+g].

對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)/⑴在區(qū)間[。,||]單調(diào)遞減，故A

正確；

對(duì)于B,當(dāng)X/T，*]時(shí)，+所以函數(shù)/(x)在區(qū)間,己肯]只有一個(gè)

\JL乙JL乙JJ\乙乙1\I乙X乙J

極值點(diǎn)，故B不正確；

對(duì)于C,因?yàn)?[V]=sin[2xV+g]=sin3兀=0,所以x=?不是曲線y=/(x)的對(duì)稱軸，

故C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)槭?X)=2COS[2X+B]，若直線為曲線y=/(x)的切線，則由

2cos12%+空]=-1,得2%+女=2左兀+”或2%+即=2左兀+如(左wZ),所以x=左?；?/p>

I3J3333

X=左兀+］（左€2）.當(dāng)％=左兀（左eZ）時(shí)，/（》）=￥，則由曰=乎—左兀（左eZ）,解得左=0；當(dāng)

%=航+々左"）時(shí)，以x）=—B,方程-3=走-加」（左eZ）無(wú)解.綜上所述，直線

32223

丁二岑一刀為曲線丫二八處的切線，故D正確.綜上所述，選AD.

11.答案：BC

（2冗兀、271

解析：由題圖可知，函數(shù)的最小正周期T=2（9飛卜兀，二詼=兀，當(dāng)。=2時(shí)，

y=sin（2x+<p）,將點(diǎn)（/。］代入得，sin^2x-^+^?J=0,2><卜+0=2祈+兀,左eZ,即9=2E+g,keZ,

故〉=$皿〔2》+］］.由于y=sin（2x+gj=sin兀一（2x+g'=sin］-2x］,故選項(xiàng)B正確；

y=sin-2x^|=cos|-^|-2xJ=cos|^2x+^,選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)x時(shí)，

sin倍+4=1肛錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x_W+,5兀時(shí)，cos俘-2x哥=1釬1,錯(cuò)誤.當(dāng)&=-2

時(shí)，y=sin（-2x+°）,將［，o1代入，得sin1-2乂看+9］=0,結(jié)合函數(shù)圖象，知-2琮+°=兀+2析,々eZ,

得"=g+2E,AeZ,?,.y=sin（-2x+當(dāng)］，但當(dāng)x=0時(shí)，y=sin12x+1］=-乎<0,與圖象不符

合，舍去.綜上，選BC.

12.答案：［2,3）

解析：函數(shù)/（x）=cosa）x-1在區(qū)間［0,2旭有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即cosox=l在區(qū)間［0,2兀］有且僅

有3個(gè)根，因?yàn)棰?gt;0,%w［0,2兀］，所以［0,2師］,則由余弦函數(shù)的圖象可知，4TI<2am<6TI,

解得2?口<3,即①的取值范圍是［2,3）.

13.答案：-迪

3

tan。+tan[34

解析：由題知tan(a+/?)==-2\/2,即sin(a+尸)=-242cos(a+/?),

1-tandz.tan/?I-A/2-1

又sin?(a+/?)+cos2(6r+/?)=1,可得sin(a+0=~~~~?由24兀<a<2E+],keZ,

2〃wr+兀</?v2加兀+《-,meZ,得2(k+HZ)兀+兀va+尸v2(左+HZ)兀+2兀,k~\~mGZ.又

tan(c)f+/?)<0,所以a+/是第四象限角，故sin(a+/?)=-卷1.

14.答案：-巫

2

解析：對(duì)比正弦函數(shù)y=sinx的圖象易知，點(diǎn)為“五點(diǎn)(畫圖)法”中的第五點(diǎn)，所以

兀

cox+(p=-

2兀JTA

—G+夕=2兀①.由題知|AB|=x—4=一，;兀，兩式相減，得力(4-乙)=羨，即

3B6

a)xB-\-cp--

會(huì)=得，解得口=4.代入①，得展T，所以/(兀)=sin(4?！贰猻ing"?.

15.答案：—+4

2

解析：如圖，連接。4,作AQLDE,交ED的延長(zhǎng)線于。，4〃，即于〃，交DG于￡,

交BH于F,記過(guò)。且垂直于DG的直線與DG的交點(diǎn)為P,

設(shè)0P=3加，則0P=5加，不難得出AQ=7,40=7,于是AE'=5,E'G=5,

ZAGE'=ZAHF'=-,為等腰直角三角形，又AF'=5—3m,OF'=J-5m,AF'=0F',

4

.■.5-3m=l-5m,得“2=1,AF'=5-3m=2,OF'=7-5m=2,:.OA=242,則陰影部分

的面積S=L至x(2后)2+，x2夜x20-四=12+4](cm2

24,22y2)

16.答案：(1)B=-

3

(2)C=2A/2

272_2B

解析：(1)由余弦定理得cosC="'一'=*,

JT

XO<C<71,..c=-

4

/.0cosJB=sinC=——,z.cosB=—

22

又0<5<兀,

(2)由(1)得A=TI—3—C=——

由正弦定理—=」，得「〃「』,."=士"c.

sinAsinCJ2+J62

~1~T

「.△ABC的面積S=—acsinB=1十=3+y/3,得c=2A/2.

242

攵安、?人_

I1、7."a:r(1i)sinA=------

(2)AB邊上的高為6

解析：(1)在△ABC中，A+B=TI-C,

因?yàn)锳+B=3C,所以3c=兀—C,所以C=二.

因?yàn)?sin(A—C)=sin3,

所以2sin]A-；J=sin]，一A],

L

展開并整理得v2(sinA-cosA)=——(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

2

又sin?A+cosA=l9且sinA>0,

二匚I、I.A3A/10

所以smA二----

10

(2)由正弦定理得匹=3-,

sinAsinC

加-AB._53A/10￡

BC-------xsinAA——x--------3,5,

sinC010

由余弦定理得Afi2=AC2+BC2-2AC-BCcosC,

則5?=AC?+（3q）2—2AC3V?COSP,

4

整理得AC2-3MAC+20=0,

解得AC=如或AC=2師,

由（1）得，tanA=3>73,所以二<A<三,

32

又A+3=里，所以3>四，

44

即C<5,所以所以AC=2&U,

設(shè)A3邊上的高為力，貝l]LxABx/i=—xACxBCsinC,

22

即5/z=2&Ux36xj解得〃=6,

2

所以A3邊上的高為6.

18.答案：（1）A=-

6

（2）2+V6+3V2

解析：（1）法一：由sinA+6cosA=2,M—sinA+—cosA1,

22

所以sinlA+51=1.

因?yàn)?<4<兀，所以工<A+C（生，

333

所以A+巴二巴，故人=烏.

326

法二：由sinA+百cosA=2,得石cosA=2-sinA,

兩邊同時(shí)平方，得3cos之A=4-4sinA+sin2A,

則3^1-sin2A)=4-4sinA+sin2A,

整理，得l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—2sinA)2=0,則sinA=^.

2

因?yàn)?＜4＜兀，所以A=/或A=2.

66

當(dāng)人=色時(shí)，sinA+6cosA=2成立，符合條件；

6

當(dāng)A=2時(shí)，sinA+石cosA=2不成立，不符合條件.

6

故A

6

法三：由sinA+百cosA=2,得sinA=2-百cosA,

兩邊同時(shí)平方，得sin2A=4-cosA+3cos2A,

則l-cos?A=4-4石cosA+3cos之A,

整理，得3-4后cosA+4cos之A=0,

所以(6—2COSA)?=0,貝!JcosA=

2

因?yàn)?cA＜兀，所以A=巴.

6

(2)由yjlbsinC=csin23,得absinC=2csinBcosB,

由正弦定理，得gbc=2cbcosB,所以cosB=正，

2

因?yàn)?＜5＜兀，所以3=烏.

4

7兀

C=7i-(A+B)=—,

匚匚［、］._.77C.［7C7C?.7t7t7C.7C

所以smC=sin——=sm—+—=sm—cos—+cos—sm—

12I34J3434

A/3V21V2V6+V2

=X-------1——X=----------------------

22224

2sm71

法一：由正弦定理^=上=」一，得匕=竺2=:1=2行，

sinAsinBsinCsinA?二

Sm6

c.7兀

.萬(wàn)2sin——

c=^￡==

.兀

sinAsin

6

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+6+c=2+n+30.

法二：由正弦定理一匕=—竺=^,

sinAsinBsinC

4曰aa+b+c2.

pj=——4,

兀

sinAsinA+sinB+sinCsin——

6

+

所以a+Z?+c=4(sinA+sinB+sinC)=4x—+^-+=2+A/6+3A/2,

(224J

所以△ABC的周長(zhǎng)為2+的+3后.

19.答案：方案一：選條件①.

由C=二和余弦定理得“+"-=且.

6lab2

由sinA二四sin5及正弦定理得〃二Qb.

于是WY'由此可得人

由①ac=有，解得a=石/=c=1.

因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c=L

方案二：選條件②.

由C=?和余弦定理得”+“-=且.

6lab2

由sinA=J^sin5及正弦定理得〃=

于是過(guò)耳二=無(wú)，由止匕可得6=°,3=。=工4=生.

2屏2263

由②csinA=3,所以c=b=2百,。=6.

因此選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c=26.

方案三：選條件③.

由C=工和余弦定理得力+萬(wàn)-.

6lab2

由51!124=^^115及正弦定理得〃=瘋?.

于是空半二=且，由此可得。=c.

2屜22

由③C=?7,與6=c矛盾.

因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在.

解析:

20.答案：（1）證明見解析

⑵—

12

解析：（1）證明：在△ABC中，BDsinZABC^asinC.

由正弦定理得5￡>0=ac.又匕2=公，所以5。=/?.

(2)因?yàn)锳Z)=2DC,AC=b,

c2+4b2-b2

在中'由余弦定理得=*黑泮99c"-5b2

2c.2b12bc

3

c2+/722

在△叱中'由余弦定理得cosAJ”藍(lán);-a

2cb

所以9-5"=<+"―J整理得6a2+3°2—1仍2=0.

12bc2cb

又b?=ac,所以64+3/—1=0,解得a=主或a=9.