安徽省蚌埠市2024屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題練習(xí)卷

安徽省蚌埠市2023屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題練習(xí)卷（4）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若非零實(shí)數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．2．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題3．年某省將實(shí)行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．4．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．5．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．6．為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差7．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．28．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．9．已知集合,則（）A． B． C． D．10．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里11．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．12．已知三棱錐中，是等邊三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中含的系數(shù)為__________．（用數(shù)字填寫答案）14．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則______________.15．已知平面向量，，且，則向量與的夾角的大小為________．16．已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則的最小值等于__________，此時(shí)a=____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對(duì)任意的和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知橢圓（）經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，、、為橢圓上不同的三點(diǎn)，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線、的斜率都存在，求證：為定值；（2）求的取值范圍．20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項(xiàng)為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設(shè)，，請(qǐng)計(jì)算，，；（2）設(shè)，，試求，的表達(dá)式（用i，j表示），并證明：對(duì)于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設(shè)，，對(duì)于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.21．（12分）已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后，然后取絕對(duì)值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．2．D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．3．B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．4．B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當(dāng),或時(shí)，則不成立.則，，均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號(hào)特征，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).7．B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率，是基礎(chǔ)題.8．D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.9．B【解析】

計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10．C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．11．B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．D【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形，取中點(diǎn)，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關(guān)系，設(shè)球心為，即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑，進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，是等邊三角形，所以，又因?yàn)?，且，所以平面，則，由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)底面等邊的重心為，可得，，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設(shè)為，如下圖所示：由球的性質(zhì)可知，平面，且在同一直線上，設(shè)球的半徑為，在中，，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】由題意得，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以得系數(shù)為．14．9【解析】

用換中的n，得，作差可得，從而數(shù)列是等比數(shù)列，再由即可得到答案.【詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為-3、公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查已知與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的問題，要注意n的范圍，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.15．【解析】

由，解得，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為．都答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．3【解析】

根據(jù)題意，分析可得，由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正數(shù)a、b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3，此時(shí).故答案為：3；.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可；(Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，，恒成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得：；由得：．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ)對(duì)任意的和，恒成立等價(jià)于：，，恒成立．即，，恒成立．令：，，，則得，由此可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即又∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題．18．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值，進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、、，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、中點(diǎn)，且，則四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，，，，因此，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程，設(shè)、、點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)利用坐標(biāo)表示出即可得證；（2）設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示出，即可求出范圍.【詳解】（1）依題有，所以橢圓方程為．設(shè)，，，由為的重心，；又因?yàn)?，，，，?）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)：，，，代入橢圓得，，，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)：設(shè)直線為，這里，由，，根據(jù)韋達(dá)定理有，，，故，代入橢圓方程有，又因?yàn)椋C上，的范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的求解，三角形重心的坐標(biāo)關(guān)系，直線與橢圓所交弦長(zhǎng)，屬于一般題.20．（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結(jié)果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對(duì)于正整數(shù)，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù)．反證法：假設(shè)集合中任何一個(gè)元素，都不是7的倍數(shù)，則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1，2，3，4，5，6，又因?yàn)榧现泄灿?個(gè)元素，所以集合中至少存在兩個(gè)元素關(guān)于7的余數(shù)相同，不妨設(shè)為，，其中，，．則這兩個(gè)元素的差為7的倍數(shù)，即，所以，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立．即集合中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為，，，則存在，使，，，即，，，由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負(fù)整數(shù)，設(shè)，則，且，，，，所以，當(dāng)，時(shí)，對(duì)于整數(shù)，若，則成立．（3）下面用反證法證明：若對(duì)于整數(shù)，，則，假設(shè)命題不成立，即，且．則對(duì)于整數(shù)，存在，，，，，使成立，整理，得，又因?yàn)椋?，所以且?的倍數(shù)，因?yàn)?，，所以，所以矛盾，即假設(shè)不成立．所以對(duì)于整數(shù)，若，則，又由第二問，對(duì)于整數(shù)，則，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因?yàn)?，，，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及反證法，求最值，屬于難題．21．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)可得，代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得，代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn)，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可