2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)突破：正方形綜合(含答案)

2021中考數(shù)學(xué)一輪專題突破：正方形綜合

一、選擇題

1.下列條件不能判斷是正方形的是（）

A.NA3C=90。且AB=AD

B.AB=BC且AC±BD

C.ACLBD且AC=BD

D.AC=BD且AB=BC

2.下列說法，正確的個(gè)數(shù)有（）

①正方形既是菱形又是矩形;②有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形;③菱形的對角線

相等;④對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的

點(diǎn)E處，折痕為GH,若BE：EC=2：1,則線段CH的長是（）

A.3B.4C.5D.6

4.如圖，在正方形ABCD中，AB=1,點(diǎn)E,F分別在邊BC和CD上，AE=AF,

ZEAF=60°,則CT的長是（）

2

D.3

5.如圖正方形A3CD中，E為A3中點(diǎn)，F(xiàn)ELAB,AF=2AE,FC交BD于點(diǎn)、0,

則NDOC的度數(shù)為（）

A.6O0B.67.50C.750D.540

6.（2020.湖北孝感）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上，將4ADE繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,至I2ABF的位置，連接EF,過點(diǎn)A作EF的垂線，垂足為點(diǎn)H,

與BC交于點(diǎn)G,若BG=3,CG=2,則CE的長為（）

[5

A.4B-0C.4D1

7.（2020?溫州）如圖，在R/ZXABC中，ZACB=9Q°,以其三邊為邊向外作正方

形，過點(diǎn)C作CRLRG于點(diǎn)H,再過點(diǎn)C作PQLCR分別交邊DE,BH于點(diǎn)P,Q.若

QH=2PE,PQ=15,則CR的長為

畫由

A.14B.15C.D.

8.（2020.東營）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B

重合），對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交

AC、BD于點(diǎn)E、F,交AD、BC于點(diǎn)M、N,下列結(jié)論：①4APE咨AAME；

②PM+PN=AC；③|尸石2+酎尸2④△POFS^BNF；⑤點(diǎn)O在M、N兩點(diǎn)

的連線上.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

二'填空題

9.將邊長為1的正方形A3CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置

（如圖），使得點(diǎn)D落在對角線CF上,EF與AD相交于點(diǎn)H,則HD=.（結(jié)

果保留根號(hào)）

10.如圖，在正方形A3CD中，AC為對角線，點(diǎn)E在A3邊上，EfUAC于點(diǎn)F

連接EC,AF=3,若^EFC的周長為12,則EC的長為.

11.如圖，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x軸，y軸上，BC是菱形BDCE

的對角線，若ND=60。，BC=2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是^.

12.口ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且ACXBD,請?zhí)砑右粋€(gè)條件:

,使得口ABCD為正方形.

13.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游戲，被譽(yù)為“東方魔板''.由邊長為4煙的

正方形ABCD可以制作一副如圖①所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形

內(nèi)拼成如圖②所示的“拼搏兔”造型（其中點(diǎn)Q,R分別與圖②中的點(diǎn)E,G

重合，點(diǎn)P在邊上），則“拼搏兔”所在正方形的邊長是.

14.如圖，正方形ABCD的面積為3cm2,E為BC邊上一點(diǎn)，ZBAE=30°,F

為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線分別與AB,DC相交于點(diǎn)M,N.若MN=AE,則

AM的長等于cm.

三'解答題

15.如圖，正方形A3CD的對角線AC,3。相交于點(diǎn)。，E是0C上一點(diǎn)，連接

E8過點(diǎn)4作4〃，3￡,垂足為M,AM與3。相交于點(diǎn)E

求證:OE=OE

B

16.如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)石是3c的中點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)A作AGLED

交DE于點(diǎn)E交CD于點(diǎn)G

⑴求證:△ADG/ADCE;

(2)連接求證:A3=EB.

17.如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，且DE=CF,AF與BE

相交于點(diǎn)G.

⑴求證：BE=AF；

(2)若AB=4,DE=1,求AG的長.

18.如圖，已知正方形ABCD與正方形CERG,般是AR的中點(diǎn)，連接DM,EM.

(1)如圖①，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在的延長線上，判斷DM,EM的數(shù)量關(guān)系

與位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論.

(2)如圖②，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)G在上，(1)中結(jié)論是否仍然成立?請

證明你的結(jié)論.

2021中考數(shù)學(xué)一輪專題突破：正方形綜合.答案

一、選擇題

1.【答案】B［解析］中，若NABC=90。，則口A3CD是矩形，再由A3=AD

可得是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.%3CD中，若A3=3C,則%BCD是菱形，再由AC,3。仍可得是菱形，不

能判定為正方形，故此選項(xiàng)正確；

CPABCD中，若ACLBD,則%BCD是菱形，再由AC=3?？傻檬钦叫?，故

此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

DPABCD中，AC=BD,則口A3CD是矩形，再由43=3?？傻檬钦叫危蚀?/p>

選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.

2.【答案】B

3.【答案】B【解析】設(shè)CH=x,:BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3,由折

疊可知，EH=DH=9-x,在Rt^ECH中，由勾股定理得：（9—x）2=32+f,解

得：x=4.

4.【答案】C［解析］連接ZEAF=6Q°,二△AER為等邊三角形，

.?.AE=EE：四邊形A3CD為正方形，N3=ND=NC=90。,A3=AD,...Rt2\A3E

部RtAADF(HL),BE=DF,：.EC=CF.設(shè)CF=x,則EC=x,

AE=EF=|JEC2+FC2|=0x,BE=l-x.在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,：.

1+（1-X）2=（陶X）2,解得％=咽-1（舍負(fù)）.故選C.

5.【答案】A［解析］連接3R為A3中點(diǎn)，F(xiàn)E±AB,.'.ER垂直平分A3,

：.AF=BF.'：AF=2AE,

：.AF=AB,：.AF=BF=AB,，△A3R為等邊三角形，：.ZFBA=60°,BF=BC,

：.ZFCB=ZBFC=15°,'：四邊形ABCD為正方形，

I.ZDBC=45°,根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得/

DOC=15°+45°=60°.

6.【答案】B

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZXABF/AADE,.\BF=DE,AF=AE,XVAH±EF,

.?.FH=EH,

,四邊形ABCD是正方形，/.ZC=90°,NEFC=NEFC,AAFHG^AFCE,

FGFH

FE—FC

VBG=3,CG=2,，BC=5,設(shè)EC=x,則BF=DE=5-x,FG=BG+BF=3+5-x=8-x,

CF=BC+BF=5+5-x=10-x,EF=JEC2+M=|匠+Q。%亢

x=—.故選B.

+(10-x)

7.【答案】A

【解析】本題主要考查了相似三角形和正方形的性質(zhì)，由題意知△CDPs^CBQ,

所以黑=黑，即辱票覆]，解得：BC=2CD,所以CQ=2CP,則CP=5,

CHBQ|CBCB-2PE

CQ=10,由于PQ〃AB,所以NCBA=NBCQ=NDCP,貝U/0?NBCQ=/a〃N

DCP=32/CBA=p,不妨設(shè)DP=x,則DC=2x,在R/ADCP中，叵至三d,

解得x=^].，DC=2國，BC=4詞,所以AB=10,Z\ABC的斜邊上的高=

任匹=也逑=4,所以CR=14,所以因此本題選A.

8.【答案】B

【解析】本題考查了垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、

等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是常見問題的綜合，

靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.綜合應(yīng)用垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，逐個(gè)判斷5個(gè)結(jié)論的正確性，得出結(jié)論.

①：正方形ABCD,ZAPE=ZAME=45°,'JPMLAE,：.ZAEP=ZAEM=9Q°,

"：AE=AE,：.AAPE^AAME(ASA)；

②過點(diǎn)N作NQLAC于點(diǎn)。則四邊形PNQE是矩形，.?.PN=E。，正方形A3CD,

AZFAE=ZMAE=45°,'：PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZFAE=ZAPE,PE=NQ,

.'.△APE等腰直角三角形，...AEnPE,同理得：△NQC等腰直角三角形，

NQ=CQ,'：AAPE^AAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立；

③,.■正方形A3CD,??.AC，JB。，.?.NE。R是直角，?.?過點(diǎn)尸分別作AC、JB。的

垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、E.，./「石。和NPR9是直角，...四邊形PR9E

是矩形，：.PF=OE,在中，有P序+OE2=PO2,：.P^+PF-=PO2,即

P^+PF2=PO-成立；

④是等腰直角三角形，點(diǎn)P不在A3的中點(diǎn)時(shí)，△POR不是等腰直角三

角形，所以△POP與△3NR不一定相似，即△尸。Rs△3NR不一定成立；

⑤?.?△AMP是等腰直角三角形，△PMNs/XAMP,.?.△「阿是等腰直角三角形,

ZMPN=90°,：.PM=PN,：.AP=BP,I.點(diǎn)尸是

A3的中點(diǎn)，又為正方形的對稱中點(diǎn)，，點(diǎn)。在M、N兩點(diǎn)的連線上.綜上,

①②③⑤成立，即正確的結(jié)論有4個(gè)，答案選B.

二'填空題

9.【答案】困-1［解析?四邊形A3CD為正方形，

：.CD=1,NCD4=90。，

..?邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置，

使得點(diǎn)D落在對角線B上，

CF=@,NCRE=45°,為等腰直角三角形，.??。〃=。歹=。廣0)=a-1.

故答案為煙-1.

10.【答案】5［解析］..?四邊形A3CD是正方形，AC為對角線，

：.ZFAE=45°,XVEFXAC,

/.ZAFE=9Q°,ZAEF=45°,

：.EF=AF=3,

,.?△ERC的周長為12,

：.FC=U-3-EC=9-EC,

在Rt^ERC中，EC2=EF2+FC2,

.?.EC2=9+(9-EC)2,

解得EC=5.

11.【答案】(5+2,I)【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DGLBC于G,DF，x軸

于F,,在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,，ABCD是等邊三角形,

.*.DF=CG=|BC=1,CF=DG=小，.*.OF=V3+2,.，.D(小+2,1).

12.【答案】NBAO=90。（答案不唯一）【解析】V°ABCD的對角線AC與BD

相交于點(diǎn)0,且AC±BD,.\°ABCD是菱形，當(dāng)NBAD=90。時(shí)，菱形ABCD

為正方形.故可添加條件：ZBAD=90°.

13.【答案】4咽［解析］如圖，連接EG,作GMLEN交EN的延長線于

在RtAEMG中，VGM=4,EM=2+2+4+4=12,

EG=kfe；M2+GM2|=|J122與=4函,

14.【答案】苧或乎【解析】如解圖，過N作NGLAB,交AB于點(diǎn)G,?..四

邊形ABCD為正方形，.?.AB=AD=NG=/cm,在&Z\ABE中，ZBAE=30°,

AB=#cm,.*.BE=1cm,AE=2cm,'..F為AE的中點(diǎn)，AF=^AE=1cm,

AB=NG

在放AABE和放ANGM中，［AE_NM，?'■‘△ABE咨及△NGM(HL),ABE=

GM,ZBAE=ZMNG=30°,ZAEB=ZNMG=60°,.,.ZAFM=90o,即

AF12^3

MN±AE,在H/^AMF中，ZFAM=30°,AF=1cm,.*.AM=

cos30°2s/l3

2

cm,由對稱性得到AM，=BM=AB—AM=小一半=坐cm,綜上，AM的長

等于羋或坐cm.

三'解答題

15.【答案】

證明:在正方形ABCD中，ACLBD,

：.ZA0F=ZB0E=9Q°.

'：AM±BE,：.ZAME=90°,

：.ZFAO+ZAEB=ZEBO+ZAEB=9Q°,

：.ZFAO=ZEBO.

在正方形A3CD中，

AC=BD,OA=|AC,

：.OA=OB,

?.△AOF^△30E(ASA),OE=OF.

16.【答案】

證明:(1)：四邊形ABCD是正方形,

AZADG=ZC=90°,AD=DC,

X'：AG±DE,：.ZDAG+ZADF=9Q°=ZCDE+ZADF,：.ZDAG=ZCDE,

ADG之△DCE(ASA).

(2)如圖，延長DE交AB的延長線于H,

,.'E是3c的中點(diǎn)，：