楊輝三角的研究課教學講義

楊輝三角的研究課復習1、什么是楊輝三角？二項式（a+b）n展開式的二項式系數(shù)，當n依次取1，2，3．．．時，列出的一張表，叫做二項式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角．2、楊輝三角蘊含的二項式性質(zhì)（1）表中每個數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個數(shù)是．（2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加，也就是（3）楊輝三角具有對稱性、等距性（對稱美），即（4）第n行的和，即（5）偶數(shù)項的二項式系數(shù)和=奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=（6）若n為偶數(shù)，則中間項的二項式系數(shù)最大;若n為奇數(shù)，則中間項兩項的二項式系數(shù)最大。3、介紹楊輝——古代數(shù)學家的杰出代表

楊輝，杭州錢塘人。中國南宋末年數(shù)學家，數(shù)學教育家．著作甚多，他編著的數(shù)學書共五種二十一卷，著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通變本末》三卷、《田畝比類乘除算法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷．其中后三種合稱《楊輝算法》，朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界。

“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中，此書還說明表內(nèi)除“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和．楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀．在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家物理學家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他們把這個表叫做帕斯卡三角．這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的．（2）斜看楊輝三角中各數(shù)的和，又有何規(guī)律？

第P列斜線上的前Q個數(shù)之和等于第(P+1)列斜線上的第Q個數(shù)。（3）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)這就是著名的斐波那契數(shù)列．介紹斐波那契“兔子繁殖問題”增強趣味性中世紀意大利數(shù)學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？

兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．讓我們慢慢地算一下一月初

兔子剛出生，但是還沒成熟，還不能生小兔子

一對小兔子二月初

但是還沒成熟，還不能生小兔子

一對小兔子三月初

成熟第一代兔子生了一對小兔子

二對小兔子四月初

成熟第一代兔子生了一對小兔子

三對小兔子五月初

成熟第一二代兔子各生了一對小兔子

五對小兔子六月初

成熟三對兔子各生了一對小兔子

八對小兔子七月初

成熟五對兔子各生了一對小兔子

13對小兔子八月初

成熟八對兔子各生了一對小兔子

21對小兔子九月初

成熟13對兔子各生了一對小兔子

34對小兔子十月初

成熟21對兔子各生了一對小兔子

55對小兔子11月初

成熟34對兔子各生了一對小兔子

89對小兔子12月初

成熟55對兔子各生了一對小兔子

144對小兔子2.已知：110=1，111=11，112=121，113=1331……

請借助賈憲三角求出114的值。答：114=146413.已知：1+2=3，1+2+3=4，1+2+3+4=10，

1+2+3+4+5=15……

請借助賈憲三角求出下列各式的值：①1+2+3+4+5+6+7②1+3+6+10+15+21③1+5+15+35+56=28=56=126161520156

1

172135352171

182856705628814.已知：1+1=2，1+2+1=4，1+3+3+1=8，1+4+6+4+1=16……

請求出下列各式的值：1+5+10+10+5+1；1+6+15+20+15+6+1。并總結出規(guī)律。這是一個由數(shù)字組成的三角形數(shù)表，它具有以下特點。1.除第一行外，每行兩端都是1，除1以外，每個數(shù)都等于它上面兩個數(shù)之和；2.每一橫行都表示(a+b)n展開式中的系數(shù)，其中n等于行數(shù)減1；3.可以求出n＝7、8、9…時二項展開式各項的系數(shù)；4.第(n+1)行各數(shù)之和，即(a+b)n展開式各項系數(shù)之和等于2n；5.如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項系數(shù)相同并且最大；6.若n是一個質(zhì)數(shù)，那么第(n+1)行除了兩端的1以外的各個數(shù)，都是n的倍數(shù)。如3

、5

、7是質(zhì)數(shù)，則第4

、6

、8行都有這一特性；

7.斜數(shù)第一列的數(shù)字全是1；斜數(shù)第二列的數(shù)