2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（蘇科版）第十章 分式（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十章分式（知識歸納+題型突破）掌握分式的概念、分式有意義，無意義，值為0的條件。理解并掌握分式的基本性質(zhì)，能運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變換，進(jìn)行化簡、變形和約分。掌握分式方程的解法，能運(yùn)用分式方程解決實際問題。一、分式的概念1、分式概念：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數(shù)式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母．2、分式有意義：分母；分式無意義：分母；分式值為0：分子且分母．二、分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變．，，其中C是不等于0的整式．三、約分1、分式的約分：與分?jǐn)?shù)的約分相類似，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母都除以它們的公因式，叫做分式的約分．注意：當(dāng)分式的分子、分母為多項式時，先將分式的分子、分母分解因式，然后找出它們的公因式，再約分．2、最簡分式：如果一個分式的分子與分母只有公因式1，那么這樣的分式叫做最簡分式．四、通分1、通分：與分?jǐn)?shù)的通分類似，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式變形成同分母的分式，叫做分式的通分．2、最簡公分母：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．注意：當(dāng)分式的分母是多項式時，先將它們分解因式，再確定最簡公分母．五、分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③檢驗(求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根).題型一分式的定義【例1】在中，分式的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】題目主要考查分式的判斷，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根據(jù)分式的定義即可判斷．【詳解】解：在中，是分式，共5個，故選：C．【例2】下列各式：，，，，其中分式有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】本題主要考查分式的定義，注意不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式；判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式；【詳解】解：是分式的只有：故選：B．【例3】在，，，中分式的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是分式的定義，形如：，且中含有字母，這樣的代數(shù)式是分式，掌握“分式的定義”是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：，，，中分式有：，，共2個．故選：B．鞏固訓(xùn)練1．下列代數(shù)式，，，，，，其中屬于分式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查分式的識別，涉及分式定義，根據(jù)分式定義逐個判別即可得到答案，熟記分式的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由分式定義可知，，，，這三個代數(shù)式是分式，故選：C．2．式子，，，，，中，屬于分式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可．【詳解】解∶分母中含有字母的是，，，∴分式有3個，故選：C．3．下列式子：，，，，，其中是分式的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】本題考查了分式的定義，“已知整式和，如果中分母含有字母，那么叫分式”，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)分式的定義得：，是分式，故選：A．題型二分式有意義、無意義、值為0【例4】下列分式中一定有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義的條件和一個數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)等知識，根據(jù)分式有意義的條件逐一進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A．因為，所以，分式一定有意義，故本選項正確；

B．，當(dāng)時，分式無意義，故該選項不正確，不符合題意；

C．，當(dāng)時，分式無意義，故該選項不正確，不符合題意；

D．，當(dāng)時，分式無意義，故該選項不正確，不符合題意；

故選：A．【例5】當(dāng)時，下列分式?jīng)]有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式無意義的條件，根據(jù)分式無意義的條件進(jìn)行判斷即可，解題的關(guān)鍵是理解分母為零即為分式無意義的條件．【詳解】解：當(dāng)時，，∴當(dāng)時，分式?jīng)]有意義，故選：．【例6】若分式的值為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了分式值為0的條件，根據(jù)分子為0，分母不為0是分式值為0進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵分式的值為，∴且，解得，故選：A鞏固訓(xùn)練4．若分式的值為0，則x的值為（

）A． B．0 C． D．3【答案】D【分析】本題考查了分式的值為零的條件：分式的分子等于，且分母不等于．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選D．5．若分式無意義，則滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式無意義的條件．根據(jù)分式無意義的條件是分母等于零即可解答．【詳解】解：若分式無意義，則，∴，∴當(dāng)時，分式無意義．故選：C．6．若分式有意義，則x滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為零求解即可．【詳解】解：要使分式有意義，只須，即，故選：B題型三將分式的最高次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)【例7】不改變分式的值，使分式的分子、分母中的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)，則分式可化為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)添括號法則，對所求式子添括號，根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：．故選B．【點(diǎn)睛】考查了分式的基本性質(zhì)以及添括號法則，注意當(dāng)括號前面加“-”時，括號里的各項都改變正負(fù)號．【例8】不改變分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)，應(yīng)該是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意可知將分式的分子分母同時乘得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，分式的基本性質(zhì)是分手的分子分母同時乘或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．鞏固訓(xùn)練7．不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)，正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】讓分子，分母同時改變符號即可讓分子和分母中x的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)．【詳解】分子的最高次項為﹣3x2，分母的最高次項為﹣5x3，系數(shù)均為負(fù)數(shù)，所以應(yīng)同時改變分子，分母的符號可得原式==．故選D．【點(diǎn)睛】用到的知識點(diǎn)為：分子，分母，分式本身的符號，改變其中的2個，分式的大小不變；分子，分母的最高次項的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，應(yīng)同時改變分子，分母的符號．8．若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項的符號為正，則＝．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答．【詳解】原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查分式的應(yīng)用，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．不改變分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次項的系數(shù)為正：(1)=,(2)=.【答案】,【分析】根據(jù)添括號法則，對所求式子添括號，根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.【詳解】故答案為,.【點(diǎn)睛】考查了分式的基本性質(zhì)以及添括號法則，注意當(dāng)括號前面加“-”時，括號里的各項都改變正負(fù)號.題型六分式的基本變形【例9】下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)以及分式中的符號法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式的基本性質(zhì)和約分，正確的把分子分母進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【例10】下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，做題的根據(jù)是看是否符合分式的基本性質(zhì)，特別要注意同乘或同除的數(shù)或整式是否為0．根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數(shù)或整式，分式的值不變，即可得出答案．【詳解】A、D是分子、分母同加或同減，不符合分式的基本性質(zhì)，故選項A、D錯誤；B是分式的分子分母同乘以b，但b有可能為0，故選項B錯誤；C符合分式的基本性質(zhì)，故選項C正確．故選：C．【例11】下列等式中，不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了約分，正確掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用公式法以及提取公因式法將分子與分母分解因式，再利用分式的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：A.，等式不成立；B.，等式成立；C.，等式成立；D.，等式成立；故選A．鞏固訓(xùn)練10．下列分式變形從左到右一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、當(dāng)時，，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意；故選：D．11．下列分式與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，正確利用分式的基本性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的性質(zhì)，可化簡變形．【詳解】解：A.，故此選項符合題意；B.，故此選項不符合題意；

C.，故此選項不符合題意；

D.，故此選項不符合題意；故選：A．12．下列運(yùn)算中，錯誤的是

（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是分式的基本性質(zhì)．利用分式的基本性質(zhì)，逐一分析各選項，即可得到答案．【詳解】解：A、，故本選項正確，不符合題意；B、，故本選項正確，不符合題意；C、，故本選項正確，不符合題意；D、，故本選項錯誤，符合題意；故選：D題型六利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例12】一個分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大為原來的4倍，分母縮小為原來的，這個分?jǐn)?shù)的值（

）A．?dāng)U大為原來的8倍 B．縮小為原來的C．不變 D．?dāng)U大為原來的2倍【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可通過計算得到答案．【詳解】設(shè)這個分?jǐn)?shù)為，其中x，y均為正整數(shù)，當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大為原來的4倍，分母縮小為原來的時，這個分?jǐn)?shù)為，即這個分?jǐn)?shù)的值擴(kuò)大為原來的8倍．故選A．【例13】如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來的2倍C．?dāng)U大為原來的4倍 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查分式的性質(zhì)．將x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，再進(jìn)行化簡約分，即可得出結(jié)果．掌握分式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，則：，∴分式的值擴(kuò)大為原來的2倍；故選B．【例14】把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，分式的值（

）A．?dāng)U大10倍 B．?dāng)U大100倍 C．不變 D．縮小10倍【答案】A【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：，∴把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，分式的值擴(kuò)大10倍．故選：A鞏固訓(xùn)練13．分式中x，y的值都擴(kuò)大到原來的3倍，則分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．?dāng)U大到原來的3倍 D．縮小到原來的【答案】C【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)解決此題．根據(jù)分式的基本性質(zhì)解決此題．【詳解】解：分式中的和都擴(kuò)大到原來的3倍，得到．∴分式的值擴(kuò)大到原來的3倍．故選：C．14．如果把分式中的m，n都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍C．變?yōu)樵瓉淼?D．不變【答案】C【分析】本題考查分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：，即分式的值變?yōu)樵瓉淼?，故選：C．15．若在中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍．那么分式的值（）A．縮小為原來的一半 B．不變C．?dāng)U大為原來的4倍 D．?dāng)U大為原來的2倍【答案】A【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，利用分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的性質(zhì)：分子分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，可得答案．【詳解】解：把分中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍，得出：，分式的值縮小為原來的，故選：A．題型六最簡分式【例15】下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡分式的定義，能熟記最簡分式的定義是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡分式的定義（分式的分子和分母除1以外，沒有其它的公因式，這樣的分式叫最簡分式）逐個判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；B、，是最簡分式，故本選項符合題意；C、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；D、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；故選：B．【例16】下列分式中，最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式的性質(zhì)、分式的約分等知識點(diǎn)，掌握最簡分式的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“分子與分母沒有非零次的公因式的分式叫最簡分式”逐項判斷即可．【詳解】解：A.的分子分母有非零公因式，不是最簡分式，不符合題意；B.的分子分母有非零公因式，不是最簡分式，不符合題意；C.的分子分母沒有有非零公因式，是最簡分式，符合題意；D.的分子分母有非零公因式，不是最簡分式，不符合題意；故選：C．【例17】下列說法正確的是（

）A．分式是最簡分式 B．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以變形為C．分式中的，都擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值不變 D．分式的值為零，則的值為【答案】A【分析】本題考查了分式的有意義的概念，最簡分式的概念，分式的基本性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的有意義的概念，最簡分式的概念及分式的基本性質(zhì)，即可判斷答案．【詳解】選項A，正確，符合題意；選項B，當(dāng)時，x不能出現(xiàn)在分母上，B選項錯誤，不符合題意；選項C，當(dāng)，都擴(kuò)大為原來的3倍時，分式的值也擴(kuò)大為原來的3倍，所以C選項錯誤，不符合題意；選項D，當(dāng)分式的值為零時，，所以D選項錯誤，不符合題意；故選：A．鞏固訓(xùn)練16．以下式子是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡分式的定義和分式約分化簡，即一個分式的分子與分母沒有非零次的公因式時，叫最簡分式．根據(jù)分式約分的方法及最簡分式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.，不是最簡分式，故不符合題意；B.，不能再化簡，是最簡分式，符合題意；C.，不是最簡分式，故不符合題意；D.，不是最簡分式，故不符合題意；故選B．17．下列分式中最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了最簡分式的概念，根據(jù)最簡分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有沒有公因式.【詳解】解：A.，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；

B.，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；

C.是最簡分式，故該選項正確，符合題意；

D.，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．18．分式，，，中，最簡分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了最簡分式的判斷，分子和分母沒有公因式的分式叫做最簡分式，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：是最簡分式，符合題意；，不是最簡分式，不符合題意；是最簡分式，符合題意；不是最簡分式，不符合題意；故選：B．題型六最簡公分母【例18】分式與的最簡公分母是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了最簡公分母的知識，求解所有分母的最大公因式是解題的關(guān)鍵．找系數(shù)的最大公因式，所有字母的最高次冪即可得最簡公分母，進(jìn)而可求解．【詳解】解：分式與的最簡公分母是．故選：D．【例19】分式與的最簡公分母是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把第二個分式的分母分解因式，然后根據(jù)最簡公分母的確定方法解答．本題考查了最簡公分母的確定，解題的關(guān)鍵在于對分母正確分解因式．【詳解】解：∵，∴與的最簡公分母為，故D正確．故選：D．鞏固訓(xùn)練19．分式與的最簡公分母是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查最簡公分母，解題的關(guān)鍵是：需要掌握最簡公分母的定義．【詳解】解：在分式與中，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積即最簡公分母為：，故選：C．20．分式與的最簡公分母是．【答案】/【分析】本題考查了最簡公分母．根據(jù)找最簡公分母的方法（系數(shù)找最小公倍數(shù)，相同次冪找最高次冪，對于只在一個分母中有的，連同它的指數(shù)也作為一個因式）找出最簡公分母即可．【詳解】解：分式與的最簡公分母是．故答案為：．21．分式與的最簡公分母為．【答案】【分析】本題主要考查了最簡公分母的定義：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．按照公分母的定義進(jìn)行解答．【詳解】解：與的最簡公分母為．故答案為：．題型六通分【例20】分式與通分后的結(jié)果是．【答案】，【分析】根據(jù)分式通分的方法求解即可．【詳解】解：∵，，∴分式，分式．故答案為，．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的通分，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式通分的方法．【例21】通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查通分，找到各分母的最簡公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，的最簡公倍數(shù)為進(jìn)行通分即可；（2）根據(jù)，，的最簡公倍數(shù)為進(jìn)行通分即可．【詳解】（1）解：，，的最簡公倍數(shù)為，；；；（2）解：，，的最簡公倍數(shù)為，；；．【例22】通分：，．【答案】，【分析】本題考查了通分；把兩個分母分別分解因式，找出最簡公分母，再通分即可．【詳解】解：最簡公分母是，，．鞏固訓(xùn)練22．通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，【分析】本題考查了通分．解答此題的關(guān)鍵是熟知找公分母的方法：系數(shù)取各系數(shù)的最小公倍數(shù)；凡出現(xiàn)的因式都要??；相同因式的次數(shù)取最高次冪．（1）中最簡公分母是，利用分式的性質(zhì)變形即可；（2）中三個分式的分母分別為，，，把視為一個整體，確定最簡公分母是．注意中的“”可放在分?jǐn)?shù)線的前面．【詳解】（1）解：∵最簡公分母是，∴，，．（2）解：∵最簡公分母是，∴，，．23．通分：(1)與；(2)與．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）最簡公分母是，通分即可；（2）先把每個分母因式分解，最簡公分母是，通分即可．【詳解】（1）解：最簡公分母是，，；（2）解：最簡公分母是，，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的通分，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)最簡公分母．24．通分：(1)與；(2)，，；(3)，，；(4)，．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；（3）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；（4）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；【詳解】（1）解：，．（2）解：，，．（3）解：，，．（4）解：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的通分，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型六分式的加減運(yùn)算【例23】計算：【答案】【分析】本題考查了分式的加減法，掌握分式的加減法法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同分母分式的減法法則計算即可．【詳解】解：原式【例24】計算：．【答案】【分析】本題主要考查了同分母分式減法計算，先把原式變形為，再利用平方差公式把分子分解因式，再分子與分母約分即可得到答案，【詳解】解；【例25】計算的結(jié)果是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算法則．根據(jù)分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．故選：C．【例26】已知，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】本題考查分式的加法運(yùn)算，掌握通分的技巧和完全平方公式是解題關(guān)鍵．先已知等式通分去分母化簡為，代入變形后的第二個分式中即可．【詳解】解：∵，∴，得，∴．故選：B．鞏固訓(xùn)練25．計算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：原式，故選：A．26．化簡式子的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查分式的化簡，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先把分式同分，再加減即可．【詳解】解：原式故選：B．27．計算：=．【答案】1【分析】此題主要考查分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式運(yùn)算法則是關(guān)鍵，根據(jù)同分母分式加減法法則計算，并把結(jié)果化成最簡形式即可．【詳解】解：，，故答案為：1．28．計算：．【答案】2【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算，掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．直接按同分母分式加減運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：．故答案為2．題型六分式的化簡求值【例27】先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算，先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【例28】化簡：【答案】【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：原式．【例29】先化簡，再求值：，其中：【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再將代入原式即可求解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，把代入原式得：．鞏固訓(xùn)練29．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，先把分式化簡后，再把的值代入求出分式的值即可．【詳解】解：原式．當(dāng)時，原式．30．先化簡，再求值，其中滿足．【答案】，【分析】本題考查了分式化簡求值；先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：原式．滿足當(dāng)時，則原式31．先化簡，后求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計算法則是解題關(guān)鍵．先算小括號里面的，再算括號外面的，最后代入求值．【詳解】解：原式．當(dāng)時，原式．題型六分式方程的定義【例30】下列方程中是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用分式方程的定義分析得出答案．【詳解】解：A、是一元一次方程，故此選項錯誤；B、，是一元一次方程，故此選項錯誤；C、是一元二次方程，故此選項錯誤；D、，是分式方程，正確．故選：D．【例31】下列是關(guān)于x的分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【詳解】解：A、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；B、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；D、分母中含未知數(shù)，是分式方程，符合題意；故選：D．鞏固訓(xùn)練32．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是關(guān)于x的分式方程有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；綜上所述：分式方程有②④，共2個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．33．下列方程不是分式方程的是（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】本題考查分式的定義，解答的關(guān)鍵是熟知分式的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【詳解】解：A、方程分母中含未知數(shù)x，故A是分式方程，不符合題意；B、方程分母中含未知數(shù)x，故B是分式方程，不符合題意；C、方程分母中不含未知數(shù)，故C不是分式方程，符合題意；D、方程分母中含未知數(shù)x，故D是分式方程，不符合題意；故選：C．題型六解分式方程【例32】解方程：．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母然后解關(guān)于的一次方程，最后檢驗，即可求解．【詳解】解：原方程去分母得：，解得：，檢驗：將代入，得，故原方程的解為．【例33】解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．先通過去分母化成整式方程，然后檢驗即可解答即可．【詳解】解：，去分母得:，去括號得:，移項得:，合并同類項，得．【例34】解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解分式方程，關(guān)鍵是利用了轉(zhuǎn)化的思想，把分式方程化為整式方程，解分式方程注意要檢驗．（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）整理得：去分母，得：去括號，得移項，合并同類項得將系數(shù)化為1，得檢驗：把代入，所以是原分式方程的解．（2）去分母，得：去括號，得移項，合并同類項得將系數(shù)化為1，得檢驗：把代入，所以是原分式方程的解．鞏固訓(xùn)練34．解方程：．【答案】無解【分析】本題考查解分式方程，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母，得．解得．檢驗：當(dāng)時，．不是原分式方程的解，原分式方程無解．35．解分式方程：．【答案】無解【分析】本題考查的是解分式方程，解答此類方程時一定要進(jìn)行驗根．先去分母，把分式方程化為整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母進(jìn)行檢驗即可．【詳解】解：原方程可化為：，解得，把代入得，，故是原分式方程的增根，原方程無解．36．解分式方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．（1）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，檢驗即可；（2）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得．解得．檢驗：當(dāng)時，．所以，原分式方程的解為；（2）方程兩邊同乘，得．解得．檢驗：當(dāng)時，．所以，原分式方程無解．題型六分式方程增根問題【例35】已知關(guān)于x的分式方程有增根，則方程的增根為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根．熟練掌握分式方程的增根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式方程的增根的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式方程有增根，∴，解得，故答案為：．【例36】若分式方程有增根，則．【答案】1【分析】本題考查根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)．先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)增根是使整式方程成立，使分式方程無意義的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵方程有增根，∴，∴，∴；故答案為：1．鞏固訓(xùn)練37．如果關(guān)于x的方程有增根，則．【答案】/0.5【分析】此題考查了分式方程的增根，先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)增根的定義得出x的值，最后將x的值代入整式方程求解即可．【詳解】方程兩邊同時乘以得：即，∵原方程有增根，∴，解得：，將代入得：，故答案為：．38．解關(guān)于的方程有增根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，然后把x的值代入整式方程中進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：，，，∵分式方程有增根，∴，∴，∴，故答案為：．題型六列分式方程【例37】某服裝店用4.5萬元購進(jìn)某種品牌的服裝，由于銷售狀況良好，服裝店又調(diào)撥11萬元資金購進(jìn)該種服裝，但這次的單價比第一次的單價貴20元，購進(jìn)服裝的數(shù)量比第一次的2倍還多50件，求該服裝第一次的單價．為解決此問題，設(shè)該服裝第一次的單價為元，根據(jù)題意列出方程，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)該服裝第一次的單價為元，表示第二次的單價，再分別表示兩次購買的數(shù)量，根據(jù)購進(jìn)服裝的數(shù)量比第一次的2倍還多50件列方程即可．【詳解】解：該服裝第一次的單價為元，則第二次的進(jìn)價為元，由題意，得故選：B【例38】為緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某校八年級師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時達(dá)到．已知汽車的速度是騎車速度的3倍，設(shè)騎車的速度為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，理解題意、找到等量關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．由汽車及騎車師生速度間的關(guān)系可得出汽車的速度為，再利用“時間、路程、速度”的關(guān)系以及等量關(guān)系“他們同時達(dá)到”列出關(guān)于x的分式方程即可．【詳解】解：∵汽車的速度是騎車師生速度的3倍，且騎車師生的速度為，∴汽車的速度為，根據(jù)題意得：．故選：B．【例39】九章算術(shù)是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天：如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為天，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：規(guī)定時間為天，慢馬所需的時間為天，快馬所需的時間為天，又快馬的速度是慢馬的倍，可列出方程．故選：A．鞏固訓(xùn)練39．甲、乙兩地相距240千米，高鐵開通運(yùn)營后，在兩地間行駛的平均車速提高了，時間比原來縮短了70分鐘．設(shè)原來的平均車速為千米/小時，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)告訴公路開通前后長途客車平均車速間的關(guān)系，可得出新修的高速公路開通后的平均速度為千米/小時，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合新修的高速公路開通后時間比原來縮短了70分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵高鐵開通運(yùn)營后，在兩地間行駛的長途客車平均車速提高了，且原來的平均車速為x千米/小時，∴高鐵開通運(yùn)營后的平均速度為千米/小時．根據(jù)題意得：，即．故選：A．40．某校組織全體同學(xué)進(jìn)行了兩次地震應(yīng)急演練，在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每分鐘撤離的人數(shù)比第一次的多60，結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時間比第一次節(jié)省了20分鐘，若設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了列分式方程，設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則第二次平均每分鐘撤離人，根據(jù)“結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時間比第一次節(jié)省了20分鐘”列出分式方程即可，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則第二次平均每分鐘撤離人，由題意得：，故選：B．41．勞動課上，八（1）班同學(xué)分成兩組練習(xí)包餃子，女生組包300個餃子與男生組包200個所用的時間相同，已知女生組每分鐘比男生組多包30個，若設(shè)女生組每分鐘包個，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)女生組每分鐘包個，則男生組每分鐘包個，根據(jù)等量關(guān)系即可列出方程.【詳解】解：設(shè)女生組每分鐘包個，則男生組每分鐘包個，由題意可得：故選：A．42．為了踐行“綠色生活”的理念，甲、乙兩人每天騎自行車出行，甲勻速騎行40千米的時間與乙勻速騎行35千米的時間相同，已知甲每小時比乙每小時多騎行2千米，設(shè)甲每小時騎行x千米，根據(jù)題意列出的方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程的建模能力．題目已經(jīng)設(shè)甲每小時騎行x千米，則乙每小時騎行千米，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲勻速騎行30千米的時間=乙勻速騎行25千米的時間，再根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系和題目中的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲每小時騎行x千米，則乙每小時騎行千米，根據(jù)題意得：，故選：A．題型六用分式方程解決實際問題【例40】端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)佳節(jié)，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某超市在節(jié)前準(zhǔn)備購進(jìn)、兩種品牌的粽子進(jìn)行銷售，據(jù)了解，用元購買品牌粽子的數(shù)量比用元購買品牌粽子的數(shù)量多袋，且每袋品牌粽子的價格是每袋品牌粽子價格的倍，求每袋品牌粽子的價格．【答案】每袋品牌粽子的價格為元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)每袋品牌粽子的價格為元，則每袋品牌粽子的價格為元，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合用元購買品牌粽子的數(shù)量比用元購買品牌粽子的數(shù)量多袋，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出每袋品牌粽子的價格．【詳解】解：設(shè)每袋品牌粽子的價格為元，則每袋品牌粽子的價格為元，依題意得：，解得：．經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：每袋品牌粽子的價格為元．【例41】我縣教育體育局向全縣中小學(xué)生推出“悅讀悅寫”的分享活動．甲、乙兩學(xué)校的同學(xué)分別乘車從距離活動地點(diǎn)40千米和20千米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動．甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度是乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度的1.2倍，乙學(xué)校同學(xué)比甲學(xué)校同學(xué)提前20分鐘到達(dá)活動地點(diǎn)，求兩個學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度分別是多少？【答案】甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為48千米/時，乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為40千米/時【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為千米/時，根據(jù)題意列分式方程求解，檢驗后即可得到答案．【詳解】解：設(shè)乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為千米/時，則甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為千米/時，根據(jù)題意，得：，解得：經(jīng)檢驗：是原方程的解，（千米/時）答：甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為48千米/時，乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為40千米/時．【例42】贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，肉質(zhì)脆嫩化渣，風(fēng)味濃甜芳香．2023年贛南臍橙需求量猛增，某水果批發(fā)商用40000元購進(jìn)一批贛南臍橙后，該水果批發(fā)商又用90000元購進(jìn)第二批這種贛南臍橙，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的2倍，但每箱貴了10元．(1)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱多少元？(2)為運(yùn)輸兩批水果從市到相距的市，批發(fā)商租用了甲、乙兩種貨車來運(yùn)輸兩批贛南臍橙，其中甲貨車運(yùn)輸?shù)谝慌邑涇囘\(yùn)輸?shù)诙?，已知甲、乙貨車的速度比為，兩車先后出發(fā)，當(dāng)甲車到達(dá)市后乙車立即出發(fā)，兩車共用4.5小時，求甲、乙兩貨車的速度．【答案】(1)80元(2)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為．【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的實際應(yīng)用：（1）設(shè)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱x元，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列分式方程，解方程即可；（2）設(shè)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列分式方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱x元，依題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．答：該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱80元．（2）設(shè)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為，根據(jù)題意得，解得經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．∴，∴甲貨車的速度為，乙貨車的速度為．【例43】某班級為了豐富學(xué)生的課外體育活動，購買了排球和跳繩．已知排球的單價是跳繩的單價的3倍，購買跳繩共花費(fèi)300元，購買排球共花費(fèi)450元，購買跳繩的數(shù)量比購買排球的數(shù)量多10個，求跳繩的單價．【答案】跳繩的單價是15元【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)跳繩的單價為x元，則排球的單價為元，根據(jù)題中“購買跳繩的數(shù)量比購買排球的數(shù)量多10個”列方程即可解答，正確找到數(shù)量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵?！驹斀狻拷猓涸O(shè)跳繩的單價為x元，則排球的單價為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗是原分式方程的解，且符合題意．答：跳繩的單價是15元．鞏固訓(xùn)練43．為賡續(xù)中華優(yōu)秀文脈，促進(jìn)文明交流互鑒，某社區(qū)準(zhǔn)備聘請甲、乙兩支施工隊參與布置一條長為1200米的宣傳長廊．已知甲隊單獨(dú)布置完成工程比乙隊單獨(dú)布置完成工程多用10天，乙隊每天布置的數(shù)量是甲隊每天布置的數(shù)量的1.5倍．(1)求甲、乙兩支施工隊每天分別布置完成多少米宣傳長廊？(2)現(xiàn)將宣傳長廊布置任務(wù)交給乙隊并要求25天內(nèi)完成．乙隊布置若干天后因接到其它布置任務(wù)，經(jīng)社區(qū)同意將余下布置任務(wù)全部交給甲隊完成．求在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊至少要布置多少天才能按時完成全部任務(wù)？【答案】(1)甲施工隊每天分別布置40米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置60米宣傳長廊；(2)在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊至少要布置10天，才能按照村委會要求按時完成【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)甲施工隊每天分別布置x米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置米宣傳長廊，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結(jié)合甲隊單獨(dú)布置完成工程比乙隊單獨(dú)布置完成工程多用10天，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出甲施工隊每天修路的長度，再將其代入中，即可求出乙施工隊每天修路的長度；（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊施工y天，根據(jù)要求25天內(nèi)完成修路任務(wù)，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊每天分別布置x米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置米宣傳長廊，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：甲施工隊每天分別布置40米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置60米宣傳長廊；（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊之前