經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件-多因素方案的分析與選擇

多因素方案的分析與選擇

名言笛卡爾當(dāng)我懷疑一切事物的存在時(shí)，我卻不用懷疑我本身的思想，因?yàn)榇藭r(shí)我惟一可以確定的事就是我自己思想的存在。

故事?lián)f(shuō)有一天，笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀(guān)的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形和代數(shù)方程結(jié)合起來(lái)，也就是說(shuō)能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿(mǎn)足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨。這時(shí)，他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來(lái)，一會(huì)功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲．蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開(kāi)朗．他想，可以把蜘蛛看作一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上，下，左，右運(yùn)動(dòng)，能不能把蜘蛛的每一個(gè)位置用一組數(shù)確定下來(lái)呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線(xiàn)，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來(lái)的三條線(xiàn)作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置就可以在這三根數(shù)軸上找到有順序的三個(gè)數(shù)．反過(guò)來(lái)，任意給一組三個(gè)有順序的數(shù)也可以在空間中找到一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).這就是笛卡爾坐標(biāo)系的雛形．

目錄最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案

1.使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值

2.多元極值問(wèn)題典型案例

3.進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)

4.第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案一、問(wèn)題引入問(wèn)題分析兩種商品的需求量和成本不再只跟其中一種商品單價(jià)有關(guān)，而是受兩種商品的單價(jià)共同作用，所以，總利潤(rùn)函數(shù)也由兩種商品的單價(jià)共同決定。

引例

設(shè)分別為商品的需求量，需求函數(shù)為

，總成本函數(shù)為最大？為商品的價(jià)格，試問(wèn)價(jià)格

取何值時(shí)可使利潤(rùn)那么，總利潤(rùn)關(guān)于商品單價(jià)的導(dǎo)數(shù)與第三章的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？如何求這樣的導(dǎo)數(shù)？又如何確定利潤(rùn)最大值點(diǎn)？這些正是我們所需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在該引例中，需要確定兩種商品的單價(jià)，使總利潤(rùn)達(dá)到最大，屬于多元函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題。根據(jù)第四章的討論，可以從利潤(rùn)關(guān)于商品單價(jià)的導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)(即駐點(diǎn))中去尋找利潤(rùn)最大值點(diǎn)。第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案它的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)其中一個(gè)經(jīng)濟(jì)量變化一個(gè)單位時(shí)(其他經(jīng)濟(jì)量保持不變)總經(jīng)濟(jì)量的變化量。與一元函數(shù)類(lèi)似，多元函數(shù)關(guān)于其中每個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上表示邊際經(jīng)濟(jì)量。在經(jīng)濟(jì)分析中，不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，邊際函數(shù)被賦予不同的名稱(chēng)。第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案例如，某工廠(chǎng)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，當(dāng)A、B產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y單位時(shí)，總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=f(x,y)。導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為關(guān)于A(yíng)產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)，它是當(dāng)B產(chǎn)品的產(chǎn)量固定時(shí)，總利潤(rùn)L關(guān)于x的邊際利潤(rùn).

其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)B產(chǎn)品的產(chǎn)量固定在y處，A產(chǎn)品的產(chǎn)量在x的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一個(gè)單位時(shí)利潤(rùn)大約增加。關(guān)于B產(chǎn)品邊際利潤(rùn)的討論類(lèi)似。第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案問(wèn)題1：解決總利潤(rùn)L=f(x,y)的最大值問(wèn)題方案方案：利潤(rùn)最大，則產(chǎn)量x,y滿(mǎn)足條件上式表明產(chǎn)出的邊際收益等于邊際成本，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)為“最大利潤(rùn)原則”。第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案解：總收益函數(shù)總利潤(rùn)函數(shù)

第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案案例1

設(shè)分別為商品的需求量，需求函數(shù)為

，總成本函數(shù)為最大？為商品的價(jià)格，試問(wèn)價(jià)格

取何值時(shí)可使利潤(rùn)為了使得總利潤(rùn)最大，解方程組得駐點(diǎn)

，由于只是惟一的駐點(diǎn)，且實(shí)際問(wèn)題是

存在最大利潤(rùn)的，故大利潤(rùn)為164.25。

時(shí)可獲最大利潤(rùn)，最第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案案例2：某工廠(chǎng)生產(chǎn)兩種型號(hào)的機(jī)密機(jī)床，其產(chǎn)量分別為x,y臺(tái)，總成本函數(shù)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè)，共需要這兩種機(jī)床8臺(tái)，如何合理安排生產(chǎn)，才能使得總成本最??？這是一個(gè)含有約束條件(共需要這兩種機(jī)床8臺(tái))的最小值問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)辦法就是作拉格朗日乘數(shù)法.解決方案:第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值。解方程組解得

因?yàn)橹挥形┮坏鸟v點(diǎn)，且實(shí)際問(wèn)題的最小值是存在的，因此駐點(diǎn)(5,3)是函數(shù)的最小值點(diǎn),因此當(dāng)兩種型號(hào)的機(jī)器各生產(chǎn)5臺(tái)和3臺(tái)時(shí)，其總成本最小，最小值為。即構(gòu)造拉格朗日函數(shù)第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案綜上所述，對(duì)于經(jīng)濟(jì)上最小成本最大收益的實(shí)際問(wèn)題，其解決步驟可歸納如下：第三步將所求駐點(diǎn)代人目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中，求出最值。第一步根據(jù)題意寫(xiě)出所求最值的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。第二步求出目標(biāo)函數(shù)對(duì)于每一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)(一般稱(chēng)之為偏導(dǎo)數(shù))，并且令偏導(dǎo)數(shù)等于0，然后解方程組求出駐點(diǎn)(對(duì)于實(shí)際問(wèn)題通常只有一個(gè)駐點(diǎn))。注意：如果求給定條件G(x,y)=0下目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)

的最值，則需要引進(jìn)拉格朗日函數(shù)第一節(jié)最小成本最大收益問(wèn)題及解決方案第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值一、典型案例讓我們繼續(xù)來(lái)研究第一節(jié)的案例，求出兩種型號(hào)機(jī)器的產(chǎn)量x,y的值，使取到最小值，即求

的最小值。

二、解決方案要求出

的最小值，需要完成三個(gè)任務(wù):

第一，分別求出

對(duì)于

的導(dǎo)數(shù)；

第二，令三個(gè)導(dǎo)數(shù)等于0，解關(guān)于的方程組，求出駐點(diǎn)；第三，求成本函數(shù)在駐點(diǎn)處的函數(shù)值。

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值三、微軟數(shù)學(xué)演算步驟第一步：在主界面左側(cè)的計(jì)算器鍵盤(pán)中依次點(diǎn)擊】。【微積分】→【第二步：在右側(cè)工作表輸入窗口的括號(hào)“()”中輸入函數(shù)如圖6-1所示。

圖6-1輸入拉格朗日函數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第三步：?jiǎn)螕艄ぷ鞅碛蚁陆堑摹据斎搿?，將?jì)算出，如圖6-2所示。

圖6-2計(jì)算拉格朗日函數(shù)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值得到如圖6-3和6-4所示的結(jié)果第四步：分別把改為和

，重復(fù)上述操作，圖6-3計(jì)算拉格朗日函數(shù)關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)圖6-4計(jì)算拉格朗日函數(shù)關(guān)于λ的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第五步：?jiǎn)螕舨藛螜诘摹痉匠糖蠼馄鳌?，在“?個(gè)方程”下拉菜單中選中“解含3個(gè)方程的方程組”，依次輸入圖6-2至圖6-4對(duì)應(yīng)的三個(gè)方程，如圖6-5所示。圖6-5輸入方程組第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第六步，單擊“方程求解器”右下方的“求解”，求解結(jié)果如圖6-6所示。圖6-6求出駐點(diǎn)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第七步：在工作表中輸入如下內(nèi)容，如圖6-7所示，得最小成本為

。

圖6-7計(jì)算最小成本第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例案例1確定原料搭配以使利潤(rùn)最大某工廠(chǎng)在生產(chǎn)中使用甲、乙兩種原料，已知使用x單位甲種

原料，y單位乙種原料可生產(chǎn)P單位的產(chǎn)品,且已知甲、乙兩種原料每單位的價(jià)格分別為10元和30元,產(chǎn)品的單位售價(jià)為100元,產(chǎn)品的固定成本為1000元,求該工廠(chǎng)的最大利潤(rùn).二、解決方案設(shè)L為該工廠(chǎng)的利潤(rùn),則有由方程組求得惟一駐點(diǎn)(5,8)。根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，得L(x,y)在(5,8)處取得極大值L(5,8)=16000,即該工廠(chǎng)的最大利潤(rùn)為16000元.第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例案例2廣告策略問(wèn)題某企業(yè)通過(guò)電視和報(bào)紙兩種媒體做廣告,已知銷(xiāo)售收入R(萬(wàn)元)與電視廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)、報(bào)紙廣告費(fèi)y

(萬(wàn)元)的關(guān)系為系為如果計(jì)劃提供1.5萬(wàn)元廣告費(fèi)，求最佳的廣告策略.第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例二、解決方案廣告費(fèi)為1.5萬(wàn)元時(shí)的最佳廣告策略，就是在x+y=1.5

的條件下求R(x,y)的最大值問(wèn)題.作拉格朗日函數(shù)解方程組第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例得惟一可能極值點(diǎn)(0,1.5)。由問(wèn)題本身可知最大值一定存在，所以當(dāng)報(bào)紙廣告費(fèi)y=1.5

萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售收入達(dá)到最高為R(0,1.5)=40.5

萬(wàn)元，即只做報(bào)紙廣告為最佳的策略.第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例案例3生產(chǎn)批量計(jì)劃問(wèn)題某公司有兩種產(chǎn)品，市場(chǎng)每年的需求量分別為1200件和2000件，如果分批生產(chǎn)，其每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)分別為40元和70元，每年每件產(chǎn)品庫(kù)存費(fèi)均為0.15.設(shè)兩種產(chǎn)品每批總生產(chǎn)能力為1000件，試確定兩種產(chǎn)品每批生產(chǎn)的批量，使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)之和最少.第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例二、解決方案設(shè)兩種產(chǎn)品每批生產(chǎn)的批量分別為x和y，在均勻售出情況下平均庫(kù)存量為批量的一半，一年的庫(kù)存費(fèi)為一年的批次分別為和

,所以一年的總生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例于是,總的費(fèi)用為約束條件是作拉格朗日函數(shù)第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例解得,這是惟一可能的極值點(diǎn),由問(wèn)題

的實(shí)際意義知存在總費(fèi)用的最小值,故當(dāng)兩種產(chǎn)品的批量分別為369和631時(shí)總費(fèi)用最小。解方程組第三節(jié)多元極值問(wèn)題典型案例第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)一、二元函數(shù)的概念在許多自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題中，往往是多因素相互制約，若用函數(shù)反映它們之間的聯(lián)系便表現(xiàn)為存在多個(gè)自變量．例１圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系這里

當(dāng)r,h在集合

內(nèi)取定一對(duì)值

(r,h)時(shí)

V的值就隨之確定

即V依賴(lài)于r和h的變化而變化．

1．二元函數(shù)的定義定義1設(shè)有三個(gè)變量x,y和z,如果當(dāng)變量x,y在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)數(shù)值時(shí),變量z按照一定的規(guī)律f總有唯一確定的值與它們對(duì)應(yīng),則稱(chēng)z是x,y的二元函數(shù)．記為Z=f(x,y),其中x,y稱(chēng)為自變量,z稱(chēng)為因變量．自變量x,y的取值范圍稱(chēng)為函數(shù)的定義域．二元函數(shù)在點(diǎn)所取得的函數(shù)值記為第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例2

設(shè),求

．

解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)2．二元函數(shù)的定義域

同一元函數(shù)一樣,定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)律是二元函數(shù)定義的兩要素．對(duì)于以算式表示的二元函數(shù),其定義域就

是使算式有意義的自變量的取值范圍．二元函數(shù)的定義域比較復(fù)雜,可以是全部坐標(biāo)平面,也可以是由曲線(xiàn)所圍成的部分平面．全部坐標(biāo)平面或由曲線(xiàn)所圍成的部分平面稱(chēng)為區(qū)域．常用字母

D表示．圍成區(qū)域的曲線(xiàn)稱(chēng)為區(qū)域的邊界．不包括邊界的區(qū)域稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域,連同邊界在內(nèi)的區(qū)域稱(chēng)為閉區(qū)域；開(kāi)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn),而邊界上的點(diǎn)稱(chēng)為邊界點(diǎn)．如果一個(gè)區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過(guò)某一正常數(shù)M,則D稱(chēng)為有界區(qū)域,否則稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域．

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)以點(diǎn)

為中心,為半徑的圓所圍的開(kāi)區(qū)域,稱(chēng)為點(diǎn)的鄰域．記為

．

即

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例3求二元函數(shù)

的定義域D,并畫(huà)出D的圖形．

解由函數(shù)的要求可知,函數(shù)的定義域應(yīng)滿(mǎn)足，如圖6-8.圖6-8例4

求二元函數(shù)

的定義域D,并畫(huà)出D的圖形．

解由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知x,y必須滿(mǎn)足.

如圖6-9.第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)圖6-9

二、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法在一元函數(shù)微分學(xué)中,通過(guò)研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的的概念,同樣多元函數(shù)也要研究類(lèi)似問(wèn)題.但多元函數(shù)的自變量不止一個(gè),函數(shù)關(guān)系更為復(fù)雜,為此,我們僅考慮函數(shù)對(duì)于某一個(gè)自變量的變化率,也就是在其中一個(gè)自變量發(fā)生變化,而其余自變量都保持不變的情形下，考慮函數(shù)對(duì)于該自變量的變化率.第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)定義2設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，

當(dāng)y固定在

，而x在

處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量為

(稱(chēng)為偏增量).

如果極限

存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

處對(duì)x的偏

導(dǎo)數(shù)，記作第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)類(lèi)似地，如果極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

處對(duì)y的偏

導(dǎo)數(shù)，記作

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)如果函數(shù)z=f(x,y)在某區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)均存在，那么f(x,y)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)仍然是x,y的二元函數(shù)，我們稱(chēng)它們?yōu)閒(x,y)的偏導(dǎo)函數(shù)，記作或

從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，求多元函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),實(shí)際上只需將其它自變量看成常數(shù),按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行即可.為了簡(jiǎn)便，偏導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)為偏導(dǎo)數(shù).對(duì)于二元以上的函數(shù)，用同樣的方法可以定義偏導(dǎo)數(shù).第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例4求函數(shù)在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解將y看作常數(shù),對(duì)x求導(dǎo)得

將x看作常數(shù),對(duì)y求導(dǎo)得

所以

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例5求函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù).

解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)

和,如果這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍存在,則稱(chēng)它們的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),按照對(duì)變量求導(dǎo)次序

的不同有下列四種二階偏導(dǎo)數(shù)其中偏導(dǎo)數(shù)

、

稱(chēng)為二階混合偏導(dǎo)數(shù).第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例6

求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)及

定理1

如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在D內(nèi)必有

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)上例中的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即.但

這個(gè)關(guān)系式并不是對(duì)所有的二元函數(shù)都成立,這里不加證明的給出二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的充分條件.四、復(fù)合函數(shù)微分法在一元函數(shù)微分學(xué)中,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則起著重要的作用,現(xiàn)在我們把它推廣到多元復(fù)合函數(shù)上去。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)定理2

設(shè)

,

在點(diǎn)(x,y)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

z=f(u,v)在相應(yīng)的點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，且

為了更清楚地表示復(fù)合函數(shù)中變量之間的關(guān)系,常用圖6-10表示,稱(chēng)這種圖為函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖.

在進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)時(shí),一般是先寫(xiě)出函數(shù)與中間變量、自變量的結(jié)構(gòu)圖．求函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，看函數(shù)到該自變量有幾條路線(xiàn)，則求導(dǎo)公式中就有幾項(xiàng)，每條路線(xiàn)有幾根連線(xiàn)，每項(xiàng)就有幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)相乘.如果只有唯一的自變量，偏導(dǎo)數(shù)就成為了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù)）．圖6-10第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例7設(shè)

,其中

求

解因?yàn)樗缘谒墓?jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例8設(shè)

，求

和

解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)五、多元函數(shù)的極值問(wèn)題二元函數(shù)極值的定義與一元函數(shù)極值的定義是類(lèi)似的．定義3

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

的某個(gè)

鄰域內(nèi)有

定義，如果對(duì)該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)

都滿(mǎn)足不

等式

，則稱(chēng)

為函數(shù)

的極大值；如果都滿(mǎn)足不等式

，則稱(chēng)

為函數(shù)

的極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為

極值，使函數(shù)為極值的點(diǎn)

稱(chēng)為極值點(diǎn)．

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)例如函數(shù)

在點(diǎn)(0,0)處取得極小值z(mì)(0,0)=0(見(jiàn)圖6-11).圖6-11

而函數(shù)

在點(diǎn)(0,0)

處既不取

得極大值也不取得極小值,因?yàn)樵?0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)對(duì)于可導(dǎo)的一元函數(shù)y=f(x),我們知道在點(diǎn)

處有極值的必要條件是

,對(duì)于多元函數(shù)我們也有類(lèi)似的結(jié)論.定理3(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)

處具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)

處取得極值,則有使和

同時(shí)成立的點(diǎn)

稱(chēng)為

函數(shù)

的駐點(diǎn).

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：多元微分學(xué)從定理3可知,對(duì)可偏導(dǎo)的函數(shù)f(x,y),極值點(diǎn)必為駐點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定