經(jīng)濟數(shù)學(xué)課件：函數(shù)的極限與連續(xù)

1《高等數(shù)學(xué)》

2函數(shù)的極限與連續(xù)§1.1函數(shù)§1.2數(shù)列的極限§1.3函數(shù)的極限§1.4無窮小量與無窮大量§1.5極限的運算法則§1.6兩個重要極限§1.7無窮小的比較§1.8函數(shù)的連續(xù)性§1.9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3學(xué)習(xí)目標理解函數(shù)的概念、函數(shù)的特性；了解反函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)、分段函數(shù)的概念；了解數(shù)列與函數(shù)極限的描述性定義；左、右極限的概念；無窮小、無窮大的概念及相互的關(guān)系與性質(zhì)；對無窮小進行比較；掌握極限四則運算法則；應(yīng)用兩個重要極限求極限；無窮小的性質(zhì)；函數(shù)在一點連續(xù)的概念；初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；間斷點的類型；求連續(xù)函數(shù)和分段函數(shù)的極限.41.1函數(shù)1.常量與變量在自然現(xiàn)象或科學(xué)試驗等過程中，經(jīng)常會遇到兩種不同的量：一種量在過程中不發(fā)生變化而保持一定的數(shù)值，這種量稱為常量(或常數(shù))；另一種量在過程中可以取不同的數(shù)值，這種量稱為變量.如冰化成水的過程中，所吸收的熱量、與溫度、時間等是變量。通常用字母α，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示變量．52.區(qū)間與鄰域?qū)τ谀硞€實際問題來說，一個變量只能在一定的范圍內(nèi)取值．變量的取值范圍通常用區(qū)間表示．區(qū)間分為閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間等。67在區(qū)間定義的基礎(chǔ)上，如圖，我們把開區(qū)間(α-δ,α+δ)(δ>0)叫作點α的δ鄰域，α叫作鄰域的中心，δ叫作鄰域的半徑．83．函數(shù)的概念定義1

設(shè)x,y是兩個變量，D是一個實數(shù)集．如果對于D內(nèi)的每一個數(shù)x，按照某個對應(yīng)法則，變量y都有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作.x叫作自變量，y叫作因變量，或者函數(shù)值，實數(shù)集D叫作這個函數(shù)的定義域.函數(shù)所有函數(shù)值的集合叫作函數(shù)的值域．9求

例3求下列函數(shù)的定義域.（1）(2)y=（1）

所以定義域為

解例2設(shè)函數(shù)10解（2）要使函數(shù)有意義，必須同時滿足：分母不為零且偶次根式的被開方式非負，反正弦函數(shù)符號內(nèi)的式子絕對值小于或等于1。

解出

故不等式組的解為.因此，該函數(shù)的定義域為11例4已知函數(shù)

的定義域是

求的定義域

例5判斷下列各對函數(shù)是否相同.(1)

(2)

12求函數(shù)的定義域時應(yīng)遵守以下原則：(1)代數(shù)式中分母不能為零；(2)偶次根式內(nèi)表達式非負；(3)對數(shù)中真數(shù)表達式大于零；(4)反三角函數(shù)要根據(jù)各自的定義域；(5)兩函數(shù)代數(shù)和的定義域，應(yīng)是兩函數(shù)定義域的公共部分；(6)對于表示實際問題的解析式，還應(yīng)該保證符合實際意義.134.函數(shù)的圖像14二、函數(shù)的特性1.函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)增加函數(shù)、單調(diào)減少函數(shù)、單調(diào)區(qū)間15例1yxox162．函數(shù)的奇偶性定義1yxox-x17定義2182.函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.偶函數(shù)：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．例判斷下列函數(shù)的奇偶性

(2)

(4)(1)(3)193.函數(shù)的有界性定義3204.函數(shù)的周期性定義321四、初等函數(shù)1、常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，這些都是實際生活中常用的函數(shù)，我們把這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．22（1）冪函數(shù)23（2）指數(shù)函數(shù)24（3）對數(shù)函數(shù)25（4）三角函數(shù)正弦函數(shù)26余弦函數(shù)27正切函數(shù)余切函數(shù)28（5）反三角函數(shù)定義1單調(diào)增加、有界、奇函數(shù)29例1求下列各式的值：解30定義2單調(diào)減少、有界函數(shù)31例3求下列各式的值：解一般地，由反余弦函數(shù)的定義，可以得到32定義3單調(diào)增加、有界、奇函數(shù)33定義4單調(diào)減少、有界函數(shù)34兩個常用的函數(shù)(1)符號函數(shù)1-1xyo（5）

分段函數(shù)35(2)取整函數(shù)y=[x],[x]表示不超過x的最大整數(shù).12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo36定義2、反函數(shù)37反函數(shù)存在定理定理383.復(fù)合函數(shù)的定義39例1寫出下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)：注意并非任意兩個函數(shù)都可復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù).例2指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：404、初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復(fù)合而成的函數(shù),叫作初等函數(shù).注意分段函數(shù)不一定是初等函數(shù).411.2數(shù)列的極限定義1按照一定順序排成的一列數(shù)，叫作數(shù)列.組成數(shù)列的每個數(shù)都叫作這個數(shù)列的項.42例如43定義2例1觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：解4445一般地，有下述結(jié)論：例2觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：解46定理1例如有界無界47定理2注意例如數(shù)列481.3函數(shù)的極限1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限49定義1定義250定理1

的充分必要條件是＝A＝A51例1解522、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限53定義4定義554定理1例3解55例4解56例5解57例5解581.4無窮小量與無窮大量1、無窮小定義1極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小。例如注意（2）絕對值很小的常數(shù)不是無窮小。（1）函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨向。（3）常數(shù)中只有數(shù)0是無窮小.。59無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；性質(zhì)2有限個無窮小量的乘積是無窮小量；性質(zhì)3無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量；性質(zhì)4常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量．60定理1具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小之和；反之，如果函數(shù)可表示為常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是這個函數(shù)的極限。即612、無窮大62定義2例如特殊情形：正無窮大，負無窮大．63注意（1）函數(shù)是無窮大,必須指明自變量的變化趨向.（2）任意一個絕對值很大的常數(shù)都不是無窮大量。.例如643、無窮小與無窮大的關(guān)系定理2651.5極限的運算法則一、極限的四則運算法則定理166推論1推論2注意（1）使用上述法則時，要求每個參與運算的函數(shù)的極限都必須存在。（2）在使用商的法則時，還要求分母的極限不能為零。67數(shù)列極限的四則運算法則如果

an=a，bn=b那么（anbn）=ab

（anbn）=ab

=特別地：

（c

an

(c為常數(shù))注意：如果是商的運算,則要求bn=b2、參與運算的數(shù)列的個數(shù)必須是有限的法則的前提：1、參與運算的數(shù)列必須有極限68例1解例2解69例3例4解解70例5例6解解71例7解72例8解73歸納例6、例7及例8，可得以下的一般結(jié)論74例9解

75例10解76二、復(fù)合函數(shù)的極限法則定理277例11解78例12求解練791.6兩個重要極限準則1一、極限存在的兩個準則準則2單調(diào)有界數(shù)列必有極限．遞增有上界，遞減有下界80扇形AOB的面積證:當即亦即時，在單位圓中顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積注二、兩個重要極限

81當時注82解:例2.

求解:

令則因此原式例1.

求83例3例4解解84例5.

求解:

原式=

852.證:當時,設(shè)則

86當則從而有故說明:

此極限也可寫為時,令

87例6.

求解:

令則說明

：若利用

則原式88例7解89例8例9解解90內(nèi)容小結(jié)1、數(shù)列極限存在的夾逼準則函數(shù)極限存在的夾逼準則2.兩個重要極限或注:

代表相同的表達式單調(diào)有界數(shù)列必有極限91思考與練習(xí)填空題

(1～4)

作業(yè)

P381

(1)，(3)，(5)，（7），（9）;

2(1)，(3)，(5)，（7），（9）;

921、7無窮小的比較一、定1.10反映了無窮小趨于0的速度的快慢，階數(shù)越高，趨于0的速度越快。93例1比較下列無窮小的階數(shù)的高低：解94例2證明：當時常用的等價無窮小95二、定理1.13

定理1.14若存在則定理說明：在求兩個無窮小之比的極限時，分子、分母可用等價無窮小來代換，它可簡化極限運算。理解會用96例3例4例5例697內(nèi)容小結(jié)1、無窮小階的比較2、等價無窮小求極限時可代換（記?。┏Ｓ玫牡葍r無窮小981.3函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的增量與連續(xù)定義1.1699注意100例1解1012、函數(shù)連續(xù)的定義定義1.17y102例2證103定義1.18（1）

在點

處有定義，即

有意義；（2）

極限存在，即

=（3）

極限值等于函數(shù)值，即

=連續(xù)包括3層意思104105例3證106二、函數(shù)的間斷點定義5107間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.108為可去間斷點.(2)為其跳躍間斷點

.間斷點舉例109為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點

.110定理1.15三、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性例如，函數(shù)y=sinx和y=cosx在

處是連續(xù)的

顯然它們的和﹑差﹑積﹑商在

處連續(xù)．111四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理1.16如果y=f(x)在區(qū)間單調(diào)且連續(xù)，則（1）反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上連續(xù)且與y=f(x)具有相同的單調(diào)性。（2）反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上連續(xù)且與y=f(x)具有相同的單調(diào)性。112定理1.17設(shè)y=f[g(x)]由y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成，若，y=f(u)在連續(xù)則注1把定理中的x

x0換成x

，可得類似的定理注2：在定理中，因為有所以有

在連續(xù)的條件下，求復(fù)合函數(shù)的極限時，函數(shù)符號與極限符號可交換次序。113定理1.18設(shè)y=f[g(x)]由y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成，若u=g(x)在，y=f(u)在連續(xù)，則y=f[g(x)]在連續(xù)連續(xù)。114三角函數(shù)：sinx

，cosx

，tanx

，cotx五、初等函數(shù)的連續(xù)性冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：

(a>0，a

1)；對數(shù)函數(shù)：

(a>0，a

1)；反三角函數(shù)：arcsinx

，arccosx

，

arctanx

，arccotx

；結(jié)論1：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．結(jié)論2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．115初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用：如果f(x)是初等函數(shù),且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點，則116

解

解117

解

令則x=log

a

(1+t)，當x

0時t

0，于是=lna118例8解

注意

因為分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，所以定理3對分段函數(shù)一般不成立.在討論分段函數(shù)的連續(xù)性時，要根據(jù)連續(xù)的定義討論分段點的連續(xù)性.119

內(nèi)容小結(jié)在點連續(xù)的等價形式左連續(xù)右連續(xù)在點間斷的類型第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在120一、有界性與最值定理例如1.9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、最大值與最小值：對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)，如果有

I，使得對于任一x

I都有則稱

是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）1212、定理1.19(有界性與最值定理)若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界且必有最大值和最小值。注1

：定理1說明，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么至少有一點x1

[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，又至少有一點x2

[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值．注2：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值．122例1在開區(qū)間(a，b)考察函數(shù)y=x．xyOy=xab

函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a，b)內(nèi)既無最大值又無最小值．例2

在閉區(qū)間[0，2]考察函數(shù)yx2112Oy=f(x)在閉區(qū)間[0，2]內(nèi)既無最大值又無最小值．123二、零點定理與介值定理1、零點：如果

，則

稱為f(x)的零點．a(chǎn)bOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)定理1.20（零點定理）設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)f(b)<0））那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點x

(a<x<b)使f(x)=0．124幾何意義：abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)位于x軸兩側(cè)的連續(xù)曲線，至少有一次穿過x軸。例1

證明在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個根．證：

在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，又f(0)=1>0，f(1)=-2<0．根據(jù)零點定理，在(0，1)內(nèi)至少有一點

，使得f(

)=0，即

(0<

<1)．即證。xxx125定理1.21（介值定理）幾何意義：

連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少交于一點.abOxyy=f(x)f(a)f(b)y=Cx1x126推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值．幾何意義：abOxyy=f(x)mMy=CCx1127

本章小結(jié)數(shù)極限自然數(shù)有理數(shù)實數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)數(shù)列極限函數(shù)極限函數(shù)的連續(xù)性間斷點函數(shù)連續(xù)函數(shù)與連續(xù)重點128一、課程概況建院初期：數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課理工，管理類專業(yè)公共基礎(chǔ)課師范類數(shù)學(xué)專業(yè)理工、管理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)129近期：

高等數(shù)學(xué)理工、管理類專業(yè)為理工、管理類專業(yè)的公共基礎(chǔ)必修課130八年來,課程建設(shè)

課程建設(shè)取得了一定成效

院級精品課程院級優(yōu)秀教學(xué)團隊

不動慢動大動照搬本專科教學(xué)因課時變化進行的小改小變圍繞高職培養(yǎng)目標進行的全面建設(shè)131開設(shè)時間第一學(xué)年總課時90（課時）學(xué)分6學(xué)分前導(dǎo)課程——初等數(shù)學(xué)后續(xù)課程——相關(guān)專業(yè)課132二、課程設(shè)計2.1、課程定位

公共基礎(chǔ)課程

基礎(chǔ)性應(yīng)用性1332.2、課程理念

以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度提高素養(yǎng)服務(wù)專業(yè)夯實基礎(chǔ)突出應(yīng)用1342.3、課程目標

素質(zhì)目標知識目標掌握一元微積分、微分方程、概率統(tǒng)計、無窮級數(shù)、多元函數(shù)微積分、線性代數(shù)等三位一體相互支撐能力目標培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、一定的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力、邏輯思維能力、抽象思維能力、辯證思維能力、計算能力、分析解決問題能力、空間想象能力。1353.1、課程結(jié)構(gòu)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。體現(xiàn)與專業(yè)接口，為專業(yè)服務(wù)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

公共選修課程

應(yīng)用數(shù)學(xué)課程

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程

循序漸進三、課程實施1363.2、課程內(nèi)容基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程公共選修課程一元微積分，課時為60學(xué)時，開設(shè)時間：第一學(xué)年第一學(xué)期

微分方程、概率統(tǒng)計、無窮級數(shù)、多元函數(shù)微積分、線性代數(shù)等，課時為30學(xué)時，在第二學(xué)期開設(shè)。

數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)建模、線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容137zzzzzzzzz課程實施班級授課教學(xué)模式講授法講練結(jié)合法小組討論法案例教學(xué)法教學(xué)方法黑板+粉筆+教具多媒體網(wǎng)絡(luò)教學(xué)手段

3.3、課程實施138重

知識的傳授理論的推導(dǎo)技能的強化教師的講授學(xué)生能力的培養(yǎng)

實際應(yīng)用訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的養(yǎng)成三個“轉(zhuǎn)變”重139

年齡結(jié)構(gòu)30歲以下30-4040-5050歲以上1144

學(xué)歷結(jié)構(gòu)本科生研究生博士生82

職稱結(jié)構(gòu)助教講師副教授1453.4、課程團隊——院優(yōu)秀教學(xué)團隊市教學(xué)名師1人學(xué)科帶頭人1人骨干教師3人140近三年科研情況主研省廳級課題：四項主研市院級課題：近十項獲省級優(yōu)秀教育科研成果獎：二項獲市級科技進步管理獎：二項公開發(fā)表論文：近三十篇1413.5、課程資源自編《高等數(shù)學(xué)》教材上、下冊（川大出版社），2009年9月第一次出版。制訂了課程標準，統(tǒng)一了教案，制作與教材相應(yīng)PPT。并將這些及相關(guān)參考資料打包上網(wǎng)，構(gòu)建了網(wǎng)上課程教學(xué)資源庫。網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)系統(tǒng)：《高等數(shù)學(xué)》院級精品課程1423.5、考核方式及評價標準平時考核（30）期末考試（