經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件：定積分

1《高等數(shù)學(xué)》

定積分及其應(yīng)用3本章主要內(nèi)容§5.1定積分的概念§5.2微積分基本公式§5.3定積分的計算方法§5.4廣義積分§5.6定積分的微元法§5.7定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用4學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解定積分的概念、性質(zhì)及其幾何意義；理解微積分基本定理，了解積分上限函數(shù)及其性質(zhì)，掌握牛頓—萊布尼茨公式；熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法；了解反常積分及其收斂發(fā)散的概念；掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量的方法，會用定積分求解平面圖形的面積問題，了解元素法，并能用其求解有關(guān)幾何、物理等問題。5

前一章討論了已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求原來的函數(shù)，這樣一個積分學(xué)的基本問題——不定積分．這一章將討論積分學(xué)的另一個基本問題——定積分.本章的主要問題有:4.如何計算定積分?1.什么是定積分?2.定積分有哪些性質(zhì)?3.定積分與不定積分有何關(guān)系?一、引例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)§5．1定積分的概念這些圖形的面積該怎樣計算？說教學(xué)設(shè)想一.引例曲邊梯形面積1.曲邊梯形:由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形y=f(x)ab0xy怎樣求面積呢？2.思想方法（想象圓的面積的求法）（1）分割：將區(qū)間[a,b]任意分為n個子區(qū)間，分點如下

（2）近似代替：將這些細(xì)長條近似地看作一個個小矩形（3）求和（4）取極限

二、定積分的定義定義：設(shè)y=f(x)在[a,b]上有定義且有界。在[a,b]中任取分點將[a,b]分成n個小區(qū)間

，其長度為

存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作即被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和1、定積分表達(dá)式122、注意（2）積分值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量用什么字母表示無關(guān).（3）在定積分的定義中,我們假定a<b,即積分下限小于積分上限.如果a>b

,規(guī)定當(dāng)a=b時,規(guī)定定理1定理23、存在定理曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值4、定積分的幾何意義幾何意義：例1利用定義計算定積分解18三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1注.性質(zhì)219性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5推論20性質(zhì)6(估值定理)證：21例2解：注

學(xué)會應(yīng)用微分法來求函數(shù)的最大、最小值,從而可利用估值定理估計定積分的值.22性質(zhì)7(積分中值定理)證：23此性質(zhì)的幾何解釋:區(qū)間[a,b]上方以曲線y=?(x)為曲邊的曲邊梯形的面積,等于以區(qū)間[a,b]為底、以?(ξ)為高的這個矩形的面積.注四、課堂小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3．定積分的幾何意義4．定積分的性質(zhì)

二、微積分基本公式一、

變上限的定積分第二節(jié)微積分基本公式

26§5.2微積分基本公式一．積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)考察定積分記作積分上限函數(shù)27幾何意義:表示陰影部分的面積．28定理5.3若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且證積分中值定理即2930原函數(shù)存在定理推論如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)是f(x)在[a,b]上的原函數(shù).定理的重要意義1、回答了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的2、揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)（不定積分）之間的聯(lián)系。31例2求解變下限32例3求分析：本問題是變上限的定積分，但它是復(fù)合函數(shù)復(fù)合而成解例4求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.34二．微積分基本公式定理5.4證牛頓—萊布尼茲公式微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.36例5

計算解例6

，求解例7求

解解面積3.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、課堂小結(jié)微分學(xué)牛頓－萊布尼茨公式微分學(xué)積分學(xué)39一．定積的換元積分法設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，令定積分的換元公式

定理15.3定積分的計算注意：換元必?fù)Q限，上限對上限，下限對下限，且換元后無需回代。4041例3證44幾何解釋：偶函數(shù)奇函數(shù)證（1）（2）47二、分部積分法定理2設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則分部積分公式證

定積分的分部積分公式的用法與不定積分的分部積分公式的用法類似。例6

計算解消反三角函數(shù)，可用分部積分法。49例7求50例8求例9

求解三、課堂小結(jié)1、使用定積分的換元法時要注意積分限的對應(yīng)。3、定積分分部積分公式的用法與不定積分分部積分公式的用法類似。2、不引入新的變量記號，積分限不變；引入新的變量記號，積分限跟著變。作業(yè)P1941、（5）（6）（15）（16）（19）（20）牛頓-萊布尼茲公式定積分的性質(zhì)定積分的換元法原函數(shù)存在定理變上限的定積分定積分定積分的分部積分法、定積分2012-2013期末復(fù)習(xí)重點第一章函數(shù)與極限1函數(shù)的定義域與值域2判斷函數(shù)是否為初等函數(shù)，兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)3無窮小量的比較4兩個重要極限的求解5函數(shù)極限的計算6函數(shù)的連續(xù)性第二章導(dǎo)數(shù)與微分1導(dǎo)數(shù)的概念2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、對數(shù)求導(dǎo)法則）3高階導(dǎo)數(shù)（二階）4微分的定義及其求法5兩個微分的除法6函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系552012-2013期末復(fù)習(xí)重點第三章微分中值定理1羅爾定理和拉格朗日定理使用條件2洛必達(dá)法則求極限3函數(shù)單調(diào)性及利用單調(diào)性證明不等式4函數(shù)極值的求解定積分1變上限定積分（包含求導(dǎo)，以及含有變上限定積分極限的計算等）2牛頓-萊布尼