經(jīng)濟數(shù)學(xué)課件：不定積分

1《高等數(shù)學(xué)》

不定積分3本章主要內(nèi)容§4.1不定積分的概念§4.2換元積分法§4.3分部積分法§4.4有理函數(shù)的積分§4.5積分表的使用4學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解原函數(shù)和不定積分的概念，了解不定積分的幾何意義，掌握不定積分的性質(zhì).2、掌握基本積分公式與直接積分法.3、掌握第一類換元積分法，熟悉常用的湊微分公式，理解第二類換元積分法.4、掌握分部積分法.一、原函數(shù)與不定積分二、基本積分表三、不定積分的基本性質(zhì)§4．1不定積分的概念四、不定積分的運算性質(zhì)61、實例引入（1）已知速度v(t),求路程s(t)（2）已知曲線上任一點處的切線的斜率，求曲線的方程一、原函數(shù)與不定積分共同點：已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原來那個函數(shù)7或2、定義1設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間上的函數(shù)，如果存在一個函數(shù)F(x),使得對于該區(qū)間上的任一點x都有那么函數(shù)F(x)稱為f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)

8問題1：函數(shù)應(yīng)具備什么條件，它的原函數(shù)才存在?原函數(shù)存在定理4.1簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題2：原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有什么關(guān)系9（c為任意常數(shù)）關(guān)于原函數(shù)的說明：（1)若則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號被積函數(shù)3、不定積分的定義：被積表達式積分變量則稱F(x)+c(c為任意常數(shù))為f(x)在區(qū)間

內(nèi)的不定積分例1求解解例2求例3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為顯然，求不定積分得到一積分曲線族.實例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表基本積分表

是常數(shù));說明：19結(jié)論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.三、不定積分的基本性質(zhì)有不定積分的定義知證（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）四、不定積分運算的性質(zhì)例4求積分解例5求積分解例6求積分解:在這里我們要用到下面倍角公式中的一個說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.例7求解：

基本積分表中沒有這種類型的積分，先利用三角恒等式變形，然后再求積分：25

例8求解原式=3、基本積分表(1)5、不定積分的性質(zhì)1、

原函數(shù)的概念：2、不定積分的概念：4、求微分與求積分的互逆關(guān)系五、課堂小結(jié)作業(yè)：5.（6）（8）（10）（12）（14）

二、第二類換元法一、

第一類換元法第二節(jié)換元積分法

第四章281、引入？一、第一類換元法問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理31

二、第一類換元積分定理4.3如果

則

其中是的任一個可微函數(shù)。思路32步驟第一類換元積分法例1求解（一）解（二）解（三）方法1、2、3的結(jié)果形式不同，這完全正常。這是由不定積分的表達式中含有一個任意常數(shù)所致，只要用微分法驗證是正確的即可。例2求解例3求解例4求解例5求解38例6求解：因為所以39例7求解40

解類似可得例8求41例9求解法1類似地可推出42解法2問題：解法1、2的結(jié)果不同，為什么？實際上，利用三角變換可化為相等，僅是形式的不同。這是由不定積分的表達式中含有一個任意常數(shù)所致，只要用微分法驗證是正確的即可。例10求解例11求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.例12求解46

第一類換元積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)臏愇⒎?，常用湊微分公式如下?7積分公式表48二、第二類換元積分法1、引入

求問題：（1）直接積分法能否求解？

（2）第一換元積分法能否求解？需學(xué)習(xí)解決這類問題的新方法――第二類換元積分法。49二2、第二類換元積分法的思路與步驟2、步驟：

思路：適當(dāng)?shù)剡x取相反的變量代換，

化為容易求出的，從而求出結(jié)果。

其中單調(diào)可微，且．步驟：例13求解令例14求解令例15求解令例16求解令說明以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令說明當(dāng)分母的階較高時,可采用倒代換例17求令解說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例18求解令基本積分表59一、問題引入求：分析：（1）前面的方法能否求解？

（2）怎么辦？學(xué)習(xí)求不定積分的另一方法——分部積分法．4.3分部積分法分部積分法

如果函數(shù)u

u(x)及v

v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

(uv)

u

v

uv

，或uv

(uv)

u

v。對上述等式兩邊求不定積分，得分部積分公式

分部積分的過程：

例1.求下列不定積分解：解：

例1.求下列不定積分解：解：解：常用解題技巧(Ⅰ)多次使用分部積分法則解：例2.(Ⅱ)方程法例3.解：Ⅲ

與換元法相結(jié)合解：

解：因為

例5．練習(xí):用什么積分法求下列積分？分部積分法(1)恰當(dāng)選取u和確定v.(2)運用分部積分公式：.(3)掌握