經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

的分布

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習(xí)小結(jié)

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:

當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?

例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布解依題意

例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.

例3設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.

化成累次積分,得由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.

特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),于是

例5若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有相同的分布

N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨(dú)立,

結(jié)論又如何呢?

此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.

若X和Y獨(dú)立,具有相同的分布

N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)

設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)

用與二維時(shí)完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:

特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有

例6設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)開始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY

需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有