2024屆重慶市綦江區(qū)南州中學高三（5月）第二次質量測試數(shù)學試題試卷

2023屆重慶市綦江區(qū)南州中學高三（5月）第二次質量測試數(shù)學試題試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．2．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過3．“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內切球體積為()A． B． C． D．5．已知l，m是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“”是“l(fā)⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．設P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q8．一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內的概率為()A． B． C． D．9．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}10．在等差數(shù)列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．1011．在復平面內，復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．關于函數(shù)，有下述三個結論：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)在上單調遞增；③函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角的對邊分別是，若，，則____.14．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的_______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．15．記等差數(shù)列和的前項和分別為和，若，則______.16．已知三棱錐，，是邊長為4的正三角形，，分別是、的中點，為棱上一動點（點除外），，若異面直線與所成的角為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且，．（1）求．（2）設，求數(shù)列的前項和．18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.19．（12分）在中，角的對邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求的面積．20．（12分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點，并證明你的結論；（3）設函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.22．（10分）在平面直角坐標系中,有一個微型智能機器人（大小不計）只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進,且每一步只能行進1個單位長度,例如：該機器人在點處時,下一步可行進到、、、這四個點中的任一位置．記該機器人從坐標原點出發(fā)、行進步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達式．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．2．D【解析】

先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結合數(shù)據(jù)研究單調性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3．D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應用能力.4．D【解析】

設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內切球體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.5．A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.【詳解】當m⊥平面α時，若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題6．A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題目.7．C【解析】

解：因為P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C8．A【解析】

求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選：A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題．9．D【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【詳解】因為集合，故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題.10．C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構建和的方程組求通項公式.11．D【解析】

將復數(shù)化簡得,,即可得到對應的點為,即可得出結果.【詳解】，對應的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查共軛復數(shù)和復數(shù)與平面內點的對應,難度容易.12．C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時，，，再利用單調性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，而，當時，再求值域.【詳解】因為，故①錯誤；當時，，所以，所以在上單調遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，易知，故當時，，故③正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由，根據(jù)正弦定理“邊化角”，可得，根據(jù)余弦定理，結合已知聯(lián)立方程組，即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理：可得根據(jù)余弦定理：由已知可得：故可聯(lián)立方程：解得：.由故答案為：.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內角，解題關鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.14．必要不充分【解析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價條件，然后進行判斷.【詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【點睛】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進行等價轉化是求解這類問題的關鍵，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15．【解析】

結合等差數(shù)列的前項和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式及等差中項的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于基礎題.16．【解析】

取的中點，連接，，取的中點，連接，，，直線與所成的角為，計算，，根據(jù)余弦定理計算得到答案。【詳解】取的中點，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因為，分別、的中點，所以，因為，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點，連接，，，因為，所以直線與所成的角為，設，則，，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)(2)【解析】

(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項公式；(2)由（1）得，利用乘公比錯位相減，即可求解數(shù)列的前n項和．【詳解】(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為．(2)由（1）得，，，兩式相減得，，即．【點睛】本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.18．（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得，在中結合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結合可得，故的最小值為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實際應用，還涉及二倍角正弦公式和誘導公式，考查計算能力.19．（1）3（2）78【解析】試題分析：（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關系得到，進而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個角的關系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，所以.（2）在三角形中,由，所以，由，由正弦定理,得，所以的面積.20．（1）單調增區(qū)間,單調減區(qū)間為,;（2）有2個零點，證明見解析;（3）【解析】

對函數(shù)求導,利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導后利用單調性求得,由零點存在性定理及單調性知存在唯一的,使，求得為分段函數(shù),求導后分情況討論：①當時，利用函數(shù)的單調性將問題轉化為的問題;②當時，當時,在上恒成立，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知,，列表如下：020極小值極大值所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為,.（2）函數(shù)有2個零點.證明如下：因為時，所以，因為,所以在恒成立,在上單調遞增，由，，且在上單調遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點，由（1）可得時,，即，故時，，所以，由得，平方得，所以，因為，所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調遞減,因為,所以,由，，且在上單調遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點，綜上可知：函數(shù)有2個零點.（3）記函數(shù)，下面考察的符號．求導得．當時恒成立．當時，因為，所以．∴在上恒成立，故在上單調遞減．∵，∴，又因為在上連續(xù)，所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的，使，∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調遞增,,所以在，上恒成立．①當時，在上恒成立，即在上恒成立．記，則，當變化時，，變化情況如下表：極小值∴，故，即．②當時，，當時，在上恒成立．綜