2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.4-直線與圓的位置關(guān)系-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.4-直線與圓的位置關(guān)系-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定2．若圓C：x2＋y2－2x＋2y＝2與直線x－y＋a＝0有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．[－2eq\r(2)－2，2eq\r(2)－2] B．[－2eq\r(2)－2，2eq\r(2)－2)C．(－2eq\r(2)－2，2eq\r(2)－2) D．[－2eq\r(2)－2，2eq\r(2)]3．圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)4．已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝R2(R＞0)，點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，則“R2＞8”是“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件5．已知圓O：x2＋y2＝4，點(diǎn)P(1，1)，圓O內(nèi)過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦為AB，最短弦為CD，則(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為()A．2 B．4C．8 D．166．過(guò)點(diǎn)P(1，eq\r(3))作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦長(zhǎng)|AB|＝()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(2) D．47．若圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中點(diǎn)為A(2，－3)，則直線MN的方程是________________．8．若一條光線從點(diǎn)A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為_(kāi)_______________．9．已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值________．10．設(shè)P為直線l：x－y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB為圓C：(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求：(1)圓心到直線l的距離；(2)四邊形APBC的面積的最小值．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．過(guò)直線x－y－m＝0上一點(diǎn)P作圓M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.若使得四邊形PAMB的面積為eq\r(7)的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．－5＜m＜3 B．－3＜m＜5C．m＜－5或m＞3 D．m＜－3或m＞52．(多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓Ω：(x－cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，則下列結(jié)論正確的是()A．圓Ω恒過(guò)原點(diǎn)OB．圓Ω與圓x2＋y2＝4內(nèi)切C．直線x＋y＝eq\f(3\r(2),2)被圓Ω所截得弦長(zhǎng)的最大值為eq\r(3)D．直線xcosα＋ysinα＝0與圓Ω相離3．(多選)已知圓C：x2＋y2－4y＋3＝0，一條光線從點(diǎn)P(2，1)射出經(jīng)x軸反射，下列結(jié)論正確的是()A．圓C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圓的方程為x2＋y2＋4y＋3＝0B．若反射光線平分圓C的周長(zhǎng)，則入射光線所在直線方程為3x－2y－4＝0C．若反射光線與圓C相切于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B，則|PB|＋|BA|＝2D．若反射光線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則△CNM面積的最大值為eq\f(1,2)4．直線x－eq\r(3)y＝0截圓(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所對(duì)的圓心角是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)5．過(guò)點(diǎn)A(a，0)(a>0)，且傾斜角為30°的直線與圓O：x2＋y2＝r2(r>0)相切于點(diǎn)B，且|AB|＝eq\r(3)，則△OAB的面積是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．1 D．26．以點(diǎn)(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．7．已知圓E：x2＋y2－2x＝0，若A為直線l：x＋y＋m＝0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A可作兩條直線與圓E分別切于點(diǎn)B，C，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．8．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______________．9．過(guò)點(diǎn)A(3，5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為_(kāi)_______________．參考答案【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．解析：由題意，知圓心(0，1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq\r(5)，故直線l與圓相交．答案：A2．解析：由圓的方程可得圓心為C(1，－1)，半徑r＝2.因?yàn)橹本€與圓C有交點(diǎn)，所以圓心C到直線x－y＋a＝0的距離d小于等于半徑，即d＝eq\f(|1＋1＋a|,\r(2))≤2，解得－2eq\r(2)－2≤a≤2eq\r(2)－2.答案：A3．解析：圓的方程可化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心(－1，－2)到直線的距離d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，半徑是2eq\r(2)，結(jié)合圖形(圖略)可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn)．答案：C4．解析：因?yàn)锳(0，2)，B(2，0)，所以直線AB的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋y－2＝0.圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝R2的圓心為(3，3)，半徑為R，所以圓心到直線AB的距離d＝eq\f(|3＋3－2|,\r(2))＝2eq\r(2).當(dāng)R2＞8，即R＞2eq\r(2)時(shí)，d＜R，直線AB與圓C相交，故充分性成立；當(dāng)直線AB與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，d≤R，則R2≥8，故必要性不成立．綜上，“R2＞8”是“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．答案：A5．解析：由題知線段AB為圓O的直徑，不妨設(shè)A(－eq\r(2)，－eq\r(2))，B(eq\r(2)，eq\r(2))，過(guò)點(diǎn)P的最短弦CD是垂直于AB的弦，不妨設(shè)C(0，2)，D(2，0)，則(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2＋2eq\r(2)，2eq\r(2)－2)·(2，－2)＝4＋4eq\r(2)－4eq\r(2)＋4＝8.答案：C6．解析：如圖所示，∵PA，PB分別為圓O：x2＋y2＝1的切線，∴OA⊥AP.∵P(1，eq\r(3))，O(0，0)，∴|OP|＝eq\r(1＋3)＝2.又∵在Rt△APO中，|OA|＝1，cos∠AOP＝eq\f(1,2)，∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|OA|sin∠AOP＝eq\r(3).答案：A7．解析：由題意得圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4的圓心為C(1，－2)，則kAC＝eq\f(－2－(－3),1－2)＝－1，故kMN＝1，所以所求方程為y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.答案：x－y－5＝08．解析：點(diǎn)A(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(2，－3)，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，化為kx－y－2k－3＝0.∵反射光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圓心(－3，2)到直線的距離d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，化為24k2＋50k＋24＝0，∴k＝－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4).答案：－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)9．解析：∵圓心(1，0)到直線x－my＋1＝0的距離d＝eq\f(2,\r(1＋m2))，∴|AB|＝2eq\r(4－\f(4,1＋m2))＝eq\f(4|m|,\r(1＋m2))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(4|m|,1＋m2)＝eq\f(8,5)，∴2m2－5|m|＋2＝0，∴|m|＝2或|m|＝eq\f(1,2)，∴m＝±2或m＝±eq\f(1,2).答案：2或－2或eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)(寫(xiě)出一個(gè)即可)10．解：(1)圓心C(2，0)到直線l的距離為eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2).(2)S四邊形APBC＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)·|AC|·|PA|＝eq\r(|PC|2－1)，要使四邊形APBC的面積最小，只需|PC|最小，當(dāng)PC與直線l垂直時(shí)，|PC|取得最小值，為eq\r(2)，所以四邊形APBC的面積的最小值為eq\r((\r(2))2－1)＝1.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．解析：∵A，B兩點(diǎn)分別為圓M的切點(diǎn)，∴△PAM與△PBM是全等的直角三角形，由題知圓M的圓心為(2，3)，半徑為1，則四邊形PAMB的面積為2S△PAM＝2×eq\f(1,2)×1×|PA|＝eq\r(7)，即|PA|＝eq\r(7)，故|PM|＝2eq\r(2).∵使得四邊形PAMB的面積為eq\r(7)的點(diǎn)P有兩個(gè)，則M到x－y－m＝0的距離d＝eq\f(|2－3－m|,\r(2))＜2eq\r(2)，∴－5＜m＜3.答案：A2．解析：對(duì)于A，將O(0，0)代入圓Ω的方程，得cos2θ＋sin2θ＝1恒成立，所以圓Ω恒過(guò)原點(diǎn)O，A正確；對(duì)于B，圓Ω的圓心為A(cosθ，sinθ)，半徑為1，圓x2＋y2＝4的圓心為B(0，0)，半徑為2，所以|AB|＝1＝2－1，所以圓Ω與圓x2＋y2＝4內(nèi)切，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)A(cosθ，sinθ)到直線x＋y＝eq\f(3\r(2),2)的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cosθ＋sinθ－\f(3\r(2),2))),\r(2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－\f(3,2)))＝eq\f(3,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，所以直線x＋y＝eq\f(3\r(2),2)被圓Ω所截得弦長(zhǎng)為2eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))\s\up12(2))≤2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2))＝eq\r(3)，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)A(cosθ，sinθ)到直線xcosα＋ysinα＝0的距離為eq\f(|cosθcosα＋sinθsinα|,\r(cos2α＋sin2α))＝|cos(θ－α)|≤1，所以直線xcosα＋ysinα＝0與圓Ω相交或相切，D錯(cuò)誤．答案：ABC3．解析：將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＋(y－2)2＝1，則圓C的圓心為C(0，2)，半徑為1.對(duì)于A，因?yàn)镃(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′(0，－2)，所以圓C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程為x2＋(y＋2)2＝1，即x2＋y2＋4y＋3＝0，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榉瓷涔饩€平分圓C的周長(zhǎng)，所以反射光線經(jīng)過(guò)圓心C(0，2)，所以入射光線所在的直線過(guò)點(diǎn)(0，－2)，所以入射光線所在直線的方程為y＋2＝eq\f(1－(－2),2－0)x，即3x－2y－4＝0，故B正確；對(duì)于C，由題意可知反射光線所在的直線過(guò)點(diǎn)P′(2，－1)，所以|PB|＋|BA|＝|P′B|＋|BA|＝|P′A|.因?yàn)閨P′A|＝eq\r(|P′C|2－1)＝eq\r((2－0)2＋(－1－2)2－1)＝2eq\r(3)，所以|PB|＋|BA|＝2eq\r(3)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)∠CMN＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則圓心C(0，2)到直線P′N(xiāo)的距離d＝sinθ，且|MN|＝2cosθ，所以S△CMN＝eq\f(1,2)d|MN|＝sinθcosθ＝eq\f(1,2)sin2θ，當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,4)時(shí)，△CNM面積取得最大值eq\f(1,2)，故D正確．答案：ABD4．解析：畫(huà)出圖形，如圖，圓心(2，0)到直線的距離為d＝eq\f(|2|,\r(12＋(\r(3))2))＝1，∴sin∠AOC＝eq\f(d,|OC|)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝eq\f(π,6)，∴∠CAO＝eq\f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3).答案：D5．解析：由切線的性質(zhì)可得△ABO是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，|AB|＝eq\r(3)，則|OB|＝1，|OA|＝2，△OAB的面積是eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).答案：B6．解析：圓心到直線的距離為eq\f(|3×2－4×(－1)＋5|,5)＝3，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝97．解析：設(shè)圓E的圓心為E，半徑為r，圓E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，則圓心E(1，0)，半徑r為1，由題意知直線l上存在點(diǎn)A，使得eq\f(r,|AE|)＝sin30°＝eq\f(1,2)，即|AE|＝2r.又因?yàn)閨AE|≥d(d為圓心到直線l的距離)，故要使點(diǎn)A存在，只需d≤2r＝2，可得eq\f(|1＋m|,\r(2))≤2，解得m