海南省儋州某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024年秋季學(xué)期高一年級(jí)第一次月考考試數(shù)學(xué)試題試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘第一部分（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本題包括8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）1.設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由全稱命題的否定：任意改存在并否定原結(jié)論，即可得答案.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為.故選：B2.下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（

）①，②，③，④．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系直接判斷①②③，根據(jù)的適用情況判斷④.【詳解】①是實(shí)數(shù)，故正確；②不是有理數(shù)，故正確；③，是自然數(shù)，故正確；④只能用于元素與集合之間的關(guān)系，故錯(cuò)誤；所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C.3.已知函數(shù)y=fx的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y=gx的圖象如圖，則的值為（123230A.3 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的圖像可知，，根據(jù)表格即可求得.【詳解】根據(jù)的圖像可知，，根據(jù)表格可知，.故選：B4.函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ瓵. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，再代入運(yùn)算即可.【詳解】由，得，所以．故選：C.5.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因一元二次方程有實(shí)根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A6.關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集是或，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求，再代入不等式，即可求解.【詳解】由條件可知，方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根是或，所以，得，，則不等式，即，得，即，所以不等式的解集為.故選：C7.已知，則的最小值是（）A.9 B.10 C.12 D.6【答案】A【解析】【分析】先分離常數(shù)，再配湊積為定值形式，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.8.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則稱為的“k倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蛞矠?，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論不正確的是（

）A.函數(shù)存在跟隨區(qū)間B.若為的跟隨區(qū)間，則C.函數(shù)存在跟隨區(qū)間D.二次函數(shù)存在“2倍跟隨區(qū)間”【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)“跟隨區(qū)間”的定義，結(jié)合選項(xiàng)中每個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和自變量的取值范圍，可列出相應(yīng)的方程組，如果解得存在區(qū)間符合題意，則判斷該選項(xiàng)正確，如果解得方程的解不符合題意，可判斷該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以對(duì)于，其值域?yàn)?，由“跟隨區(qū)間”的定義可知函數(shù)存在無(wú)數(shù)個(gè)跟隨區(qū)間，故A正確；對(duì)于B，若為的跟隨區(qū)間，且的對(duì)稱軸為，所以，解得或（舍），故B正確；對(duì)于C，假設(shè)存在“跟隨區(qū)間”，因?yàn)樵趩握{(diào)區(qū)間上均單調(diào)遞減，則有，解得，此時(shí)在內(nèi)包含0，時(shí)函數(shù)無(wú)意義，故不存在跟隨區(qū)間，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若函數(shù)存在2倍跟隨區(qū)間，設(shè)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則，則是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得或，故存在定義域?yàn)槭沟弥涤驗(yàn)?，D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決這類給出函數(shù)新定義的題目時(shí)，關(guān)鍵是要正確準(zhǔn)確地理解定義的含義，并能根據(jù)該定義去進(jìn)行解答.9.有以下判斷，其中是正確判斷的有（

）A.與表示同一函數(shù)B.函數(shù)y=fx的圖像與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)C.與是同一函數(shù)D.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】根據(jù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系可判斷AC；根據(jù)函數(shù)定義可判斷B；由抽象函數(shù)的定義域的求法求得定義域可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的定義可知當(dāng)時(shí)，要么沒有定義，要么存在唯一確定的值，所以函數(shù)y=fx的圖像與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：和定義域均為且解析式相同，所以是同一個(gè)函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋詴r(shí)，令，即，所以定義域?yàn)?故選：BCD.10.以下正確的選項(xiàng)是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B和D，通過取特殊值，即可判斷出選項(xiàng)D和D的正誤；選項(xiàng)C，由，得到，即可判斷選項(xiàng)C的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得到，又，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，取，顯然有，，但，不滿足，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由，得到，又，所以，即，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，取，顯然有，，但，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.11.已知，且，下列結(jié)論中正確的是（）A.的最大值是 B.的最大值是1C.的最小值是9 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)均值不等式可判斷A，由二次函數(shù)可判斷B，由“1”的變形及均值不等式判斷C，式子變形后由A結(jié)論判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故A正確；對(duì)B，因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，故C正確；對(duì)D，，由A知，所以，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題（本題包括個(gè)3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)將正確答案填寫在答題卡中的橫線上）12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________【答案】【解析】【分析】由分式的分母不為零，偶次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，零次冪的底數(shù)不為零，求解函數(shù)的定義域即可.【詳解】由，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?3.2024屆歐洲杯以西班牙奪冠圓滿結(jié)束，小明統(tǒng)計(jì)了其所在班級(jí)50名同學(xué)中支持德國(guó)，西班牙，英格蘭的人數(shù)，每人都至少支持其中一個(gè)隊(duì)伍，有15人這三支隊(duì)伍都支持，18人不支持德國(guó)，20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，則同時(shí)支持兩支隊(duì)伍的同學(xué)的人數(shù)為_________【答案】16【解析】【分析】不妨設(shè)支持德國(guó)與西班牙的有人，支持德國(guó)與英格蘭的有人，支持西班牙與英格蘭的有人，只支持德國(guó)、西班牙、英格蘭的人數(shù)分別為，，，結(jié)合圖列式計(jì)算即得.【詳解】不妨設(shè)支持德國(guó)與西班牙的有人，支持德國(guó)與英格蘭的有人，支持西班牙與英格蘭的有人，只支持德國(guó)、西班牙、英格蘭的人數(shù)分別為，，，如圖，則，由18人不支持德國(guó)，得，由20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，得，，則，因此，所以同時(shí)支持兩支隊(duì)伍的同學(xué)的人數(shù)為16人.故答案為：1614.已知集合，若集合A只有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a可取的一個(gè)值為__________；若集合，集合，當(dāng)集合C有8個(gè)子集時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】①.2（答案不唯一，另兩個(gè)值為、）②.【解析】【分析】由方程根的情況求出值即可；由并集的元素個(gè)數(shù)，分類求解即得.【詳解】由，得或，由集合A只有兩個(gè)元素，得：①方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且該實(shí)根不為3，因此，解得，此時(shí)方程的根為1或，符合題意，所以，?。虎诜匠逃幸粋€(gè)實(shí)根為3，另一實(shí)根不為3，此時(shí)，，此時(shí)方程的另一實(shí)根為，符合題意；所以或；由集合C有8個(gè)子集，得集合中有3個(gè)元素，而，，則或或或，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，，解得，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根1，則，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根4，而方程有實(shí)根時(shí)，兩根之積為1，因此無(wú)解，當(dāng)時(shí)，方程的兩根分別為，同上無(wú)解，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：2；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步棸.15.（1）設(shè)全集，集合，，求.（2）解下列不等式.①；②.【答案】（1）；（2）①或；②【解析】【分析】（1）先表示出集合，然后根據(jù)并集和補(bǔ)集的概念計(jì)算出；（2）①通過因式分解求解出一元二次不等式的解集；②先將分式不等式化為一元二次不等式的形式，然后可求出解集.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?（2）①由，可得，即，解得或，不等式的解集為或.②，即，即，則，解得，所以不等式解集為.16.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2，預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為，將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬(wàn)元）.（1）要使不超過7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；（2）設(shè)備占地面積為多少時(shí)，的值最?。俊敬鸢浮浚?）（2）設(shè)備占地面積為時(shí)，y的值最小【解析】【分析】（1）由題意得，解不等式即可得解.（2）將變形為，再利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】由題意得，令即，整理得即，所以解得，所以設(shè)備占地面積的取值范圍為.【小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.17.已知集合，且.（1）當(dāng)時(shí)，（2）若“命題，”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）求解集合，再由集合交并補(bǔ)的定義求解；（2）命題是真命題，可知，且，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若是充分不必要條件，得是的真子集，且，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以；或，；【小?詳解】因?yàn)?，所以，命題是真命題，可知，因?yàn)?，，則或，解得，則的取值范圍是.【小問3詳解】若是的充分不必要條件，得是的真子集，，則（等號(hào)不同時(shí)成立），解得，故的取值范圍是.18.已知二次函數(shù).（1）若二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為3，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）或（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）令得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，令得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入三角形面積公式列式計(jì)算即可.（2）由題意化為恒成立，利用判別式法列不等式組求解即可.（3）根據(jù)和、、分類討論解不等式即可.【小問1詳解】令，則有，得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故的面積為，解得或.【小問2詳解】不等式可化為，若不等式恒成立，則必有解得，故若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，不等式解集為或，②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．19.已知，是的子集，定義集合，若，則稱集合A是的恰當(dāng)子集．用表示有限集合X的元素個(gè)數(shù)．（1）若，，求并判斷集合A是否為的恰當(dāng)子集；（2）已知是的恰當(dāng)子集，求a，b的值并說(shuō)明理由；（3）若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，求n的最大值．【答案】（1），集合A是的恰當(dāng)子集；（2），或，.（3）10【解析】【分析】（1）由定義求并判斷集合A是否為的恰當(dāng)子集；（2）已知是的恰當(dāng)子集，則有，列方程求a，b的值并檢驗(yàn)；（3）證明時(shí)，存