【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：D4數(shù)列求和

D4數(shù)列求和【數(shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（202211）】19．（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且 （Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式： （Ⅱ）設(shè)，設(shè)為的前n項(xiàng)和，求.【學(xué)問點(diǎn)】等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列求和D2D3D4【答案解析】(1),.（2）（1）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化為bn=3bn-1．

∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．

∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．綜上可得：an=2n-1，bn=3n．

（2）cn=an?bn=（2n-1）?3n．

∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3n-1+（2n-1）?3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1．

∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）?3n+1=-（2n-1）?3n+1-3=（2-2n）?3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路點(diǎn)撥】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】20.（本小題滿分13分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列的求和；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合．B7D4D5【答案】【解析】（1）；（2）解析：(1)由，得，解得．…………2分由……=1\*GB3①，當(dāng)時(shí)，有……=2\*GB3②，…………3分=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，…………4分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列…………5分，…………6分（2）由（1）知．…………7分所以…………9分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，…………11分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以…………13分【思路點(diǎn)撥】（1）由，得，解得，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減可得數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)條件得到的通項(xiàng)，然后對(duì)n分類爭辯即可得到.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】16.（本小題滿分12分）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，公比，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．D3D4【答案】【解析】（1）;（2）解析：，，是正項(xiàng)等比數(shù)列，，，..（2），且為遞減數(shù)列當(dāng)當(dāng)取最大值時(shí)，【思路點(diǎn)撥】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河南省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】20.(本小題滿分12分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)全部都成立的最小正整數(shù)m.【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列求和D4【答案解析】（Ⅰ）an＝6n－5（）（Ⅱ）10（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),則f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又由于點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,當(dāng)且僅當(dāng)≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)數(shù)列求和公式求出通項(xiàng)公式，再依據(jù)裂項(xiàng)求和求出m的最小值?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】20.（本小題滿分13分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)于任意的有，，成等差數(shù)列；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知（），記，若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍?！緦W(xué)問點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和；數(shù)列與函數(shù)的綜合.D3D4D5【答案】【解析】(1)；(2)解析：（1）…………4分（2），………10分若對(duì)于恒成立，則，，，令，所以為減函數(shù)，…………13分【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用對(duì)于任意的有，，成等差得代入首項(xiàng)和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首項(xiàng)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；(2)把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用錯(cuò)位相減法求Tn，把Tn代入后分別變量m，使問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，分析函數(shù)的單調(diào)性時(shí)可用作差法．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】13.已知函數(shù)的部分圖像如圖，令則．【學(xué)問點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；數(shù)列的求和．C4D4【答案】【解析】0解析：由圖象可知，T=，解得T=π，故有．函數(shù)的圖象過點(diǎn)（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，從而有f（x）=sin（2x+）．a(chǎn)1=sin（2×+）=1，a2=sin（2×+）=a3=sin（2×+）=﹣，a4=sin（2×+）=﹣1a5=sin（2×+）=﹣，a6=sin（2×+）=a7=sin（2×+）=1，a8=sin（2×+）=…觀看規(guī)律可知an的取值以6為周期，且有一個(gè)周期內(nèi)的和為0，且2022=6×335+4，所以有：a2022=sin（2×+）=﹣1．則a1+a2+a3+…+a2022=a2011+a2022+a2021+a2022=1+=0．故答案為：0．【思路點(diǎn)撥】先依據(jù)圖象確定ω，φ的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式，然后分別寫出數(shù)列an的各項(xiàng)，留意到各項(xiàng)的取值周期為6，從而可求a1+a2+a3+…+a2022的值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（202211）】19．（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且 （Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式： （Ⅱ）設(shè)，設(shè)為的前n項(xiàng)和，求.【學(xué)問點(diǎn)】等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列求和D2D3D4【答案解析】(1),.（2）（1）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化為bn=3bn-1．

∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．

∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．綜上可得：an=2n-1，bn=3n．

（2）cn=an?bn=（2n-1）?3n．

∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3n-1+（2n-1）?3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1．

∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）?3n+1=-（2n-1）?3n+1-3=（2-2n）?3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路點(diǎn)撥】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，

(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列及數(shù)列求和D1,D4【答案】【解析】(I)(II)解析：(Ⅰ)由

①

可得：．

同時(shí)

②

②-①可得：．——4分

從而為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為．

．————————6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

————8分

故．—【思路點(diǎn)撥】由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再依據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)求出前n項(xiàng)和【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】19.（本小題滿分12分）數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定．D2D4【答案】【解析】（1）見解析；（2）解析：（1）證：由已知可得，……………3分即……………4分所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列……………6分（2）解：由（Ⅰ）得，所以……………7分從而……………8分①②……………9分①-②得……………10分……………11分所以……………12分【思路點(diǎn)撥】（1）變形利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若則（）A．27B．36C．44D．54【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列的求和．D4【答案】【解析】B解析：∵等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，∴成等差數(shù)列．∴2（）=+．∴2×（15﹣3）=3+﹣15，解得=36．故選：B．【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，可得成等差數(shù)列．即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】21．（本小題12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列．求證：.【學(xué)問點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和等差數(shù)列D1D2D4【答案】【解析】（1），（2）略解析：（1），（）=即()當(dāng),得=6即（2）①，則，設(shè)①則②①-②得：2+=+因此.【思路點(diǎn)撥】遇到數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)構(gòu)成的遞推公式，可先利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的遞推公式進(jìn)行解答，遇到與n項(xiàng)和有關(guān)的不等式，可考慮先求和再證明.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】15．如圖都是由邊長為1的正方體疊成的幾何體,例如第(1)個(gè)幾何體的表面積為6個(gè)平方單位，第(2)個(gè)幾何體的表面積為18個(gè)平方單位，第(3)個(gè)幾何體的表面積是36個(gè)平方單位.依此規(guī)律,則第個(gè)幾何體的表面積是_______個(gè)平方單位.1515題圖【學(xué)問點(diǎn)】歸納推理數(shù)列求和D4M1【答案】【解析】3n(n+1)解析：1.從上向下看，每層頂面的面?zhèn)€數(shù)為：第一層是1，其次層是2，第三層是3………第五層是5，共5個(gè)面；2.左邊和右邊還有底面的面積相等，5層時(shí)為，1+2+3+4+5=15個(gè)面3.剩下最終2個(gè)面了，這2個(gè)面的特征就是都有一個(gè)角，一個(gè)角有3個(gè)面，一共有第一層1個(gè)角，其次層2角，第三層3個(gè)角……第五層5個(gè)角，共有1+2+3+4+5=15個(gè)角,45個(gè)面；4.計(jì)算：1層時(shí)=62層時(shí)=（1+2）×3+（1+2）×3=9+9=183層時(shí)=（1+2+3）×3+（1+2+3）×3=18+18=36第n層時(shí)為（1+2+3+……+n）×3+（1+2+3+……+n）×3也就是6×（1+2+3+……+n）所以當(dāng)n=5是，表面積為6×15=90故第n個(gè)幾何體的表面積是3n(n+1)個(gè)平方單位【思路點(diǎn)撥】可先由n=1,2,3,4,5觀看規(guī)律，進(jìn)而得到一般性結(jié)論，即利用歸納推理得到一般性規(guī)律，再利用等差數(shù)列求和公式得到最終結(jié)果.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（2