【同步輔導】2021高中數學北師大版必修四導學案：《兩角和與差的正切》

第3課時兩角和與差的正切1.能夠依據兩角和與差的正弦公式和余弦公式導出兩角和與差的正切公式,了解各個公式之間的內在聯(lián)系.2.能夠利用和差角的三角函數公式進行簡潔的三角恒等變換.同學們好,上節(jié)課我們學習了兩角差的余弦公式,并知道將公式進行適當的變形或變換后,可得到兩角和與差的正弦、余弦公式.這節(jié)課我們將連續(xù)學習這種技巧,并由此推導出兩角和與差的正切公式,以及正切公式的變形和有關的角度變換.問題1:在下列空白處填寫適當的式子:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ,①sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ.②當時,②①得tan(α+β)=sin(α當時,分子分母同時除以,得:tan(α+β)=;

在上式中,以代換得:tan(α-β)=.

問題2:在公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ中在公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ中,問題3:你能寫出兩角和與差的三角函數的6個公式的規(guī)律聯(lián)系框圖嗎?問題4:由公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ(1)tanα+tanβ=tan(α+β)·;

(2)tanα-tanβ=tan(α-β)·;

(3)tan(α+β)-(tanα+tanβ)=;

(4)tan(α-β)-(tanα-tanβ)=.

1.不查表,求3-tan15°1+3A.1 B.6+24 C.322.tanθ=2,則tan(θ-π6)的值是()A.53-811 B.8-53 C.533.若tan(α+π4)=25,則tanα=4.求tan15°,tan75°的值.直接利用兩角和與差的正切公式進行化簡或求值求tan(π6-θ)+tan(π6+θ)+3tan(π6-θ)tan(π6已知角的某種三角函數值求角已知tan(π4+α)=2,tanβ=1(1)求tanα的值;(2)求sin(α兩角和與差的正切公式的綜合運用方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的兩根為tanA,tanB,且A,B∈(-π2,π2),則A+B=求值:(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan45°).已知0<α<π2<β<π,tanα=43,cos(β-α)=(1)求sinα的值;(2)求β的值.已知角A是△ABC的一個內角,若sinA+cosA=713,則tan(A+π4)等于(A.-717 B.717 C.-7121.已知sinx=55,x∈(π2,3π2),則tan(x-π4)A.0 B.12 C.-3 D.-2.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,則tanαtanβ=(A.12 B.-12 C.323.已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,那么tan(α+π44.求下列各式的值:(1)1+tan75°(2)tan17°+tan28°+tan17°tan28°.(2010年·新課標全國Ⅰ卷)已知α為第三象限的角,cos2α=-35,則tan(π4+2α)=考題變式(我來改編):

答案第3課時兩角和與差的正切學問體系梳理問題1:cos(α+β)≠0cosαcosβ≠0cosαcosβtanα+tan問題2:kπ+π2,k∈Zkπ+π2,k問題3:-ββ誘導公式-ββ誘導公式相除-ββ相除問題4:(1-tanαtanβ)(1+tanαtanβ)tan(α+β)tanαtanβ-tan(α-β)tanαtanβ基礎學習溝通1.A3-tan15°1+3tan15°=tan60°-tan15°1+tan602.C∵tanθ=2,∴tan(θ-π6)=tanθ-tanπ61+tanθ·tan3.-37tan(α+π4)=tanα+11-tanα=25,∴5tanα+5=2-2tanα,∴4.解:tan15°=tan(45°-30°)=1-331+33=3-tan75°=tan(45°+30°)=1+331-33=3+3重點難點探究探究一:【解析】原式=tan[(π6-θ)+(π6+θ)][1-tan(π6-θ)·tan(π6+θ)]+3tan(π6-θ)tan(π【小結】在三角函數求值的問題中,要留意“三看”口訣,即(1)看角,把角盡量轉化為特殊角或可計算的角,合理拆角,化異為同;(2)看名稱,把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱,例如把全部的切都轉化為弦,或把全部的弦都轉化為切;(3)看式子,看式子是否滿足三角函數的公式.假如滿足則直接使用,假如不滿足則需轉化一下角或轉換一下名稱.探究二:【解析】(1)由tan(π4+α)=2,得1+tanα1-tanα=2,即1+tanα=2-2tanα,(2)sin=sin=-(sinα=-tan(α-β)=-tan=-13-1【小結】對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數的值,求另外一些角的三角函數值,關鍵在于“變角”,使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?若角所在象限沒有確定,則應分類爭辯.留意公式的機敏運用,把握其結構特征,學會拆角、拼角等技巧.探究三:【解析】由題意知tanA+tanB=-3a,tanA·tanB=3a+1,∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-3a1-(3a+1)=1,∵A,B∈(-π2,[問題]A+B=π4成立嗎[結論]∵tanA+tanB=-3a<-6,tanA·tanB=3a+1>7,∴tanA<0,tanB<0,又∵A,B∈(-π2,π2),∴A,B∈(-π2,0),∴A+B∈(-π,于是,正確解答如下:由題意知tanA+tanB=-3a<-6,tanA·tanB=3a+1>7,∴tanA<0,tanB<0,∵A,B∈(-π2,π2),∴A,B∈(-π2,0),∴A+B∈(-π,0),tan(A+B)=tanA+tan∵A+B∈(-π,0),∴A+B=-3π【答案】-3【小結】涉及三角函數值是二次方程的根,除了要考慮二次方程有根的條件,還要留意依據根的符號和三角函數的意義確定角的范圍.思維拓展應用應用一:若α+β=45°,則1=tan45°=tan(α+β)=tanα∴tanα+tanβ+tanα·tanβ=1,即(1+tanα)(1+tanβ)=2,∴(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=…=(1+tan22°)(1+tan23°)=2,∴原式=222(1+tan45°)=222×2=223.應用二:(1)∵0<α<π2,tanα=43,∴sinα=(2)∵0<α<π2,sinα=45,∴cosα=35.又0<α<π2<β<π,∴由cos(β-α)=210,得sin(β-α)=7∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=7210×35+210×45由π2<β<π,得β=34π(或求cosβ=-22或tanβ=-1,得β=3應用三:A由sin得sinA=1213,∴tanA=-125,∴tan(A+π4)=1+tanA1-tanA基礎智能檢測1.C∵sinx=55,x∈(π2,3π2),∴cosx=-1-sin2x=-255,∴tanx=-12.∴tan(2.A由已知,得cosαcosβ-sinαsinβ=15,cosαcosβ+sinαsinβ=35,則有cosαcosβ=25,sinαsinβ=15,所以sinαsinβcosα3.322tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan4.解:(1)原式=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan((2)∵tan(17°+28°)=tan17°∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1-tan17°tan28°,∴原式=