【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)階段性測(cè)試題10(統(tǒng)計(jì)與概率)

階段性測(cè)試題十(統(tǒng)計(jì)與概率)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．(2021·湖南師大附中月考)我校三個(gè)班級(jí)共有24個(gè)班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個(gè)班編號(hào)，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，若抽到編號(hào)之和為48，則抽到的最小編號(hào)為()A．2 B．3C．4 D．5[答案]B[解析]從24個(gè)班中抽取4個(gè)班，抽樣間隔為6，設(shè)抽到的最小編號(hào)為x，則x＋(x＋6)＋(x＋12)＋(x＋18)＝4x＋36＝48，∴x＝3.2．(文)(2021·河南開(kāi)封二十二校聯(lián)考)如圖是某次詩(shī)歌競(jìng)賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)莖葉圖(其中a、b為數(shù)字0～9中的一個(gè))，分別去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，記甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為x1，x2，得分的方差分別為y1，y2，則下列結(jié)論正確的是()甲乙17a25535854484b96A.x1>x2，y1<y2 B．x1>x2，y1>y2C．x1<x2，y1<y2 D．x1<x2，y1>y2[答案]C[解析]由題計(jì)算可知x1＝84，y1＝eq\f(8,5)，x2＝85，y2＝eq\f(12,5)，∴x1<x2，y1<y2.(理)(2021·鄭州質(zhì)量猜想)已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤－2)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84[答案]A[解析]由于ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1，σ2)，所以P(ξ≤4)＝P(ξ≥－2)＝0.84，故P(ξ≤－2)＝1－P(ξ≥－2)＝1－0.84＝0.16.3．(文)(2021·湖南長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)月考)在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a、b，則使得函數(shù)f(x)＝4x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．1－eq\f(π,2)[答案]B[解析]要使f(x)有零點(diǎn)，應(yīng)有16a2－16(－b2＋π2)＝16(a2＋b2－π2)≥由題意知這是一個(gè)幾何概型，所求概率P＝eq\f(4π2－π·π2,4π2)＝eq\f(4－π,4)，故選B.(理)(2021·洛陽(yáng)市期中)已知x，y都是區(qū)間[0，eq\f(π,2)]內(nèi)任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，則使得y≤sinx的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,π)C.eq\f(4,π2) D．eq\f(2,π2)[答案]C[解析]如圖，正方形OABC的面積S＝eq\f(π2,4)，陰影部分的面積S1＝∫eq\f(π,2)0sinxdx＝(－cosx)|eq\f(π,2)0＝1，∴所求概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4,π2).4．(2021·內(nèi)蒙古寧城縣月考)甲、乙兩位同學(xué)在高二的5次月考中數(shù)學(xué)成果統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示，若甲乙兩人的平均成果分別是x甲，x乙，則下列結(jié)論正確的是()甲乙8727868882910A.x甲<x乙甲比乙成果穩(wěn)定B．x甲>x乙乙比甲成果穩(wěn)定C．x甲>x乙甲比乙成果穩(wěn)定D．x甲<x乙乙比甲成果穩(wěn)定[答案]D[解析]x甲＝eq\f(1,5)(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x乙＝eq\f(1,5)(78＋88＋88＋91＋90)＝87，∴x甲<x乙；又甲的成果較分散，∴乙比甲的成果穩(wěn)定，故選D.5．(2021·贛州市博雅文化學(xué)校月考)袋中有大小相同的三個(gè)白球和兩個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，兩球同色的概率為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]B[解析]從5個(gè)球中任取2個(gè)，共有10種不同取法，兩球同色的情形為4種，∴所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).6．(2021·浙江慈溪市、余姚市聯(lián)考)在一次射擊訓(xùn)練中，甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，設(shè)命題p是“甲射中目標(biāo)”，q是“乙射中目標(biāo)”，則命題“至少有一位運(yùn)動(dòng)員沒(méi)有射中目標(biāo)”可表示為()A．p∨q B．(?p)∨(?q)C．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)[答案]B[解析]命題?p：甲沒(méi)射中目標(biāo)，?q：乙沒(méi)射中目標(biāo)；∵“至少有一位運(yùn)動(dòng)員沒(méi)有射中目標(biāo)”就是“甲沒(méi)射中目標(biāo)，或乙沒(méi)射中目標(biāo)”，∴可表示為(?p)∨(?q)，故選B.7．(2022·北京市西城區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－8≤0))所表示的平面區(qū)域是α，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤10))所表示的平面區(qū)域是β.從區(qū)域α中隨機(jī)取一點(diǎn)P(x，y)，則P為區(qū)域β內(nèi)的點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)[答案]C[解析]如圖所示，平面區(qū)域α為三角形OAB，β與α重合的區(qū)域?yàn)橹苯翘菪蜲CDB，由圖可知，α內(nèi)的點(diǎn)P落在β內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,2)×4＋8×4,\f(1,2)×8×8)＝eq\f(3,4)，故選C.8．(文)(2022·陜西寶雞金臺(tái)區(qū)月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[答案]D[解析]求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選D.(理)(2022·江西師大附中檢測(cè))高三畢業(yè)時(shí)，甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概率為()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,4)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[答案]B[解析]五人排隊(duì)，甲、乙相鄰的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)，若甲、丙相鄰，此時(shí)甲在乙、丙中間，排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故甲、丙相鄰的概率為eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).9．(文)(2021·江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋bx，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝30，則b的值為()A．1 B．3C．－3 D．－1[答案]B[解析]∵eq\i\su(i＝1,10,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝30，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，∵回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋bx，∴3＝－3＋2b，∴b＝3，故選B.(理)(2021·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)設(shè)隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從二項(xiàng)分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，則()A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45[答案]A[解析]∵隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從二項(xiàng)分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，∴np＝1.6，np(1－p)＝1.28，相除得p＝0.2，n＝8，故選A.10．(文)(2021·許昌、平頂山、新鄉(xiāng)調(diào)研)從正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)及其中心這7個(gè)點(diǎn)中，任取兩個(gè)點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)的距離大于該正六邊形邊長(zhǎng)的概率為()A.eq\f(1,7) B．eq\f(1,14)C.eq\f(3,7) D．eq\f(4,7)[答案]C[解析]∵O到正六邊形各頂點(diǎn)的距離都等于其邊長(zhǎng)，∴距離大于邊長(zhǎng)的兩點(diǎn)，只在其頂點(diǎn)中產(chǎn)生，從每個(gè)頂點(diǎn)能連三條大于邊長(zhǎng)的線，故共有eq\f(3×6,2)＝9條，從7個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)共有21種取法，∴所求概率P＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).(理)(2021·福建寧化一中段測(cè))若(x－eq\f(2,x))n的開(kāi)放式中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則直線y＝nx與曲線y＝x2圍成的封閉圖形的面積為()A．36 B．12C.eq\f(32,3) D．eq\f(22,3)[答案]C[解析]由題意知Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(3,n)，∴n＝4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))∴所求面積S＝eq\i\in(0,4,)(4x－x2)dx＝(2x2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(4,0)＝eq\f(32,3).11．(文)(2022·重慶模擬)如圖是收集重慶市2021年9月各氣象采集點(diǎn)處的平均氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，圖中有一處因污跡看不清．已知各采集點(diǎn)的平均氣溫范圍是[20.5,26.5]，且平均氣溫低于22.5℃的采集點(diǎn)個(gè)數(shù)為11，則平均氣溫不低于25.5℃A．6 B．7C．8 D．9[答案]D[解析]依題意得2x＝1－(0.10＋0.26＋0.22＋0.18)＝0.24，x＝0.12.留意到(0.10＋0.12)0.18＝2218＝119，因此平均氣溫不低于25.5℃(理)(2021·江西三縣聯(lián)考)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒子中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()A.eq\f(1,220) B．eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D．eq\f(21,55)[答案]C[解析]舊球個(gè)數(shù)X的可能取值為3,4,5,6，相應(yīng)的取到新球的個(gè)數(shù)依次為ξ＝0,1,2,3，ξ聽(tīng)從超幾何分布，∴P(X＝4)＝P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).12．(文)(2021·甘肅會(huì)寧二中模擬)某班有24名男生和26名女生，數(shù)據(jù)a1，a2，…，a50是該班50名同學(xué)一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬考試的成果，下面的程序用來(lái)同時(shí)統(tǒng)計(jì)全班成果的平均分A，男生平均分M和女生平均分W；為了便于區(qū)分性別，輸入時(shí)，男生的成果用正數(shù)，女生的成果用其成果的相反數(shù)．那么在圖中空白的推斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的()A．T>0？，A＝eq\f(M＋W,50) B．T<0？，A＝eq\f(M＋W,50)C．T<0？，A＝eq\f(M－W,50) D．T>0？，A＝eq\f(M－W,50)[答案]D[解析]M是用來(lái)統(tǒng)計(jì)男生成果的統(tǒng)計(jì)量，由于滿足條件時(shí)，執(zhí)行M＝M＋T，故第一個(gè)推斷框中條件應(yīng)為T(mén)>0？，又其次個(gè)推斷框中條件k<50不成立時(shí)，男生總成果M與女生總成果W都已求出，故處理框中應(yīng)賦值A(chǔ)＝eq\f(M－W,50)計(jì)算全班成果的平均分．(理)(2022·長(zhǎng)安一中質(zhì)檢)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279[答案]B[解析]有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字時(shí)，①含2個(gè)0，有9種，②含1個(gè)0,0不能排在百位，∴有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,9)＝18種；③不含0，有Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,8)＝216種(或Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝216種)；有三個(gè)重復(fù)數(shù)字時(shí)，有Ceq\o\al(1,9)＝9種，∴共有含重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)9＋18＋216＋9＝252個(gè)，故選B.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)13．(文)(2022·佛山市質(zhì)檢)一個(gè)總體分為甲、乙兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本．已知乙層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(1,9)，則總體中的個(gè)體數(shù)為_(kāi)_______．[答案]180[解析]由于分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，故總體中的個(gè)體數(shù)為20÷eq\f(1,9)＝180.(理)(2021·普寧二中、中山一中、航天中學(xué)聯(lián)考)各高校在高考錄用時(shí)實(shí)行專業(yè)志愿優(yōu)先的錄用原則．一考生從某高校所給的7個(gè)專業(yè)中，選擇3個(gè)作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個(gè)專業(yè)不能同時(shí)兼報(bào)，則該考生不同的填報(bào)專業(yè)志愿的方法有________種．[答案]180[解析]甲、乙都不選時(shí)，有Aeq\o\al(3,5)＝60種；甲、乙兩個(gè)專業(yè)選1個(gè)時(shí)，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝120種，依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得共有60＋120＝180種不同的填報(bào)專業(yè)志愿的方法．14．(2021·焦作市期中)學(xué)校為了解同學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)狀況，在1000名同學(xué)中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名同學(xué)的某次數(shù)學(xué)考試成果，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．依據(jù)頻率分布直方圖可估記這1000名同學(xué)在該次數(shù)學(xué)考試中成果不低于60分的同學(xué)數(shù)是________．[答案]800[解析]成果不低于60分的同學(xué)頻率為(0.024＋0.028＋0.020＋0.008)×10＝0.8，∴用頻率作為概率的估量值可得這1000名同學(xué)中，成果不低于60分的同學(xué)數(shù)是1000×0.8＝800.15．(文)(2021·湖南師大附中月考)從區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間[－3,3]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，則使得|x|＋|y|≤4的概率為_(kāi)_______．[答案]eq\f(1,2)[解析]點(diǎn)(x，y)所在區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD，其面積S＝60，其中陰影部分的面積為S1＝2×(2＋8)×3×eq\f(1,2)＝30.∴所求概率為P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(1,2).(理)(2021·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)袋中有三個(gè)白球，兩個(gè)黑球，現(xiàn)每次摸出一個(gè)球，不放回的摸取兩次，則在第一次摸到黑球的條件下，其次次摸到白球的概率為_(kāi)_______．[答案]eq\f(3,4)[解析]由于是不放回取球，所以在第一次取到黑球的條件下，袋中還有3白1黑共4個(gè)球，從中取出一球，摸到白球的概率為eq\f(3,4)，即在第一次取到黑球的條件下，第2次摸到白球的概率為eq\f(3,4).16．(文)(2022·海南省文昌市檢測(cè))在區(qū)域M＝(x，y)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y<4,y>x,x>0))))內(nèi)撒一粒豆子，落在區(qū)域N＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤2}內(nèi)的概率為_(kāi)_______．[答案]eq\f(π,4)[解析]∵⊙C：x2＋(y－2)2＝2的圓心C(0,2)與直線y＝x和x＋y＝4都相切．∴區(qū)域M中落在區(qū)域N內(nèi)的部分為半圓．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y＝4，))得A(2,2)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×4×2＝4，又S半圓＝π，∴所求概率P＝eq\f(π,4).(理)(2021·宜春中學(xué)、新余四中聯(lián)考)過(guò)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交，使弦長(zhǎng)均為整數(shù)的全部直線中，等可能地任取一條直線，所取弦長(zhǎng)不超過(guò)4的概率為_(kāi)_______．[答案]eq\f(5,12)[解析]過(guò)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交，最小弦長(zhǎng)為通徑eq\f(2b2,a2)＝2，最大弦長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)8，弦長(zhǎng)均為整數(shù)的全部直線中，等可能地任取一條直線，共有2×5＋2＝12種狀況，所取弦長(zhǎng)不超過(guò)4，有2×2＋1＝5種狀況，∴所求概率為P＝eq\f(5,12).三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．)17．(本小題滿分12分)(文)(2021·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考)已知某單位有50名職工，從中按系統(tǒng)抽樣抽取10名職工．(1)若第5組抽出的號(hào)碼為22，寫(xiě)出全部被抽出職工的號(hào)碼；(2)分別統(tǒng)計(jì)這10名職工的體重(單位：公斤)，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)從這10名職工中隨機(jī)抽取兩名體重超過(guò)平均體重的職工，求體重為76公斤的職工被抽取到的概率.59625770368981[解析](1)由題意，第5組抽出的號(hào)碼為22，由于2＋5×(5－1)＝22，所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)當(dāng)為2，抽出的10名職工的號(hào)碼分別為2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)由于10名職工的平均體重為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71.從10名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于71公斤的職工，共有10種不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，體重為76公斤的職工被抽到有4種，故所求概率為P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(理)(2021·石光中學(xué)段測(cè))下圖是依據(jù)部分城市某年9月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5，26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5℃(1)求抽取的樣本個(gè)數(shù)和樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；(2)若用分層抽樣的方法在數(shù)據(jù)組[21.5,22.5)和[25.5，26.5]中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2個(gè)城市，求恰好抽到2個(gè)城市在同一組中的概率．[解析](1)設(shè)抽取的樣本個(gè)數(shù)為N，則eq\f(11,N)＝(0.10＋0.12)×1，解之得N＝50.由圖知樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為eq\f(23.5＋24.5,2)＝24.所以抽取的樣本個(gè)數(shù)為50，樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為24.(2)由圖知?dú)鉁財(cái)?shù)據(jù)組[21.5,22.5)與[25.5,26.5]的概率比為0.120.18＝23，又用分層抽樣共抽取5個(gè)城市，所以在[21.5,22.5)中抽取5×eq\f(2,5)＝2個(gè)城市，不妨設(shè)為甲、乙；在[25.5,26.5]中抽取5×eq\f(3,5)＝3個(gè)城市，不妨設(shè)為A，B，C.于是在這5個(gè)城市中抽到的2個(gè)城市有如下?tīng)顩r：甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC，共10種狀況.2個(gè)城市在同一氣溫?cái)?shù)據(jù)組的有：甲乙、AB、AC、BC，共4種狀況．所以在這5個(gè)城市中恰好抽到2個(gè)城市在同一氣溫?cái)?shù)據(jù)組的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).18．(本小題滿分12分)(文)(2021·山東師大附中模擬)某公司有男職員45名，女職員15名，依據(jù)分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的科研攻關(guān)小組．(1)求某職員被抽到的概率及科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；(2)經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、爭(zhēng)辯，這個(gè)科研攻關(guān)組打算選出兩名職員做某項(xiàng)試驗(yàn)，方法是先從小組里選出1名職員做試驗(yàn)，該職員做完后，再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的職員中選一名做試驗(yàn)，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率；(3)試驗(yàn)結(jié)束后，第一次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74，其次次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74，請(qǐng)問(wèn)哪位職員的試驗(yàn)更穩(wěn)定？并說(shuō)明理由．[解析](1)P＝eq\f(n,m)＝eq\f(4,60)＝eq\f(1,15)，所以某職員被抽到的概率為eq\f(1,15).設(shè)有x名男職員，則eq\f(45,60)＝eq\f(x,4)，所以x＝3，所以男、女職員的人數(shù)分別為3、1.(2)把3名男職員和1名女職員記為a1，a2，a3，b，則選取兩名職員的基本大事有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12種，其中有一名女職員的有6種．所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(68＋70＋71＋72＋74,5)＝71，eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(69＋70＋70＋72＋74,5)＝71，seq\o\al(2,1)＝eq\f(68－712＋70－712＋71－712＋72－712＋74－712,5)＝4，seq\o\al(2,2)＝eq\f(69－712＋70－712×2＋72－712＋74－712,5)＝3.2，∵seq\o\al(2,2)<seq\o\al(2,1)，∴其次次做試驗(yàn)的職員做的試驗(yàn)更穩(wěn)定．(理)(2021·江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)為了增加中同學(xué)的法律意識(shí)，某中學(xué)高三班級(jí)組織了普法學(xué)問(wèn)競(jìng)賽．并隨機(jī)抽取了A、B兩個(gè)班中各5名同學(xué)的成果，成果如下表所示：A班8788919193B班8589919293(1)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別求出A、B兩個(gè)班成果的平均數(shù)和方差，并推斷對(duì)法律學(xué)問(wèn)的把握哪個(gè)班更為穩(wěn)定？(2)用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法從B班5名同學(xué)中抽取2名，他們的成果組成一個(gè)樣本，求抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)差值至少是4分的概率．[解析](1)eq\x\to(XA)＝eq\f(1,5)(87＋88＋91＋91＋93)＝90，eq\x\to(XB)＝eq\f(1,5)(85＋89＋91＋92＋93)＝90，Seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(24,5)，Seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.A班法律學(xué)問(wèn)的把握更為穩(wěn)定．(2)從B班抽取兩名同學(xué)的成果分?jǐn)?shù)，全部基本大事有：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)共有10個(gè)基本大事；抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)差值至少是4分的有(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)共5個(gè)基本大事．∴P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).19．(本小題滿分12分)(文)(2021·內(nèi)蒙寧城縣月考)某企業(yè)員工500人參與“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第1組[25,30)，第2組[30,35)，第3組[35,40)，第4組[40,45)，第5組[45,50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)下表是年齡的頻率分布表，求正整數(shù)a，b的值；區(qū)間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人數(shù)5050a150b(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機(jī)抽取2人參與社區(qū)宣揚(yáng)溝通活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．[解析](1)由題設(shè)可知，a＝0.08×5×500＝200，b＝0.02×5×500＝50.(2)由于第1,2,3組共有50＋50＋200＝300人，利用分層抽樣在300名同學(xué)中抽取6名同學(xué)，每組抽取的人數(shù)分別為：第1組的人數(shù)為6×eq\f(50,300)＝1，第2組的人數(shù)為6×eq\f(50,300)＝1，第3組的人數(shù)為6×eq\f(200,300)＝4，所以第1,2,3組分別抽取1人，1人，4人．設(shè)第1組的1位同學(xué)為A，第2組的1位同學(xué)為B，第3組的4位同學(xué)為C1，C2，C3，C4，則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15種可能．其中2人年齡都不在第3組的只有(A，B)1種可能，所以至少有1人年齡在第3組的概率為1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).(理)(2021·福建寧化一中段測(cè))某校為了解高一班級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科的狀況，從高一的全部數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取n份試卷進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)成果頻率分布直方圖如下圖，其中成果在[70,80)的人數(shù)為15，規(guī)定成果≥80分為優(yōu)秀．(1)求樣本中成果優(yōu)秀的試卷份數(shù)，并估量該校高一班級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率；(2)從樣本成果在[50,60)和[60,70)這兩組中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求抽取的2名同學(xué)中不及格(成果<60分為不及格)的人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解析](1)由頻率分布直方圖可得[70,80)的頻率：0.030×10＝0.30，所以，n＝15÷0.30＝50，∴第四組[80,90)的頻數(shù)：0.024×10×50＝12；第五組[90,100]的頻數(shù)：0.016×10×50＝8；所以，樣本中優(yōu)秀的試卷份數(shù)為20，樣本的優(yōu)秀率＝eq\f(12＋8,50)＝40%，∴估量該校高一班級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率為40%.(2)第一組[50,60)的頻數(shù)：0.012×10×50＝6；其次組[60,70)的頻數(shù)：0.018×10×50＝9；ξ的全部可能取值為0,1,2.依題意，得P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(2,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(2,15))＝eq\f(18,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,15))＝eq\f(1,7).∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(1,7)∴E(ξ)＝0×eq\f(12,35)＋1×eq\f(18,35)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(4,5).20．(本小題滿分12分)(文)(2022·廣東執(zhí)信中學(xué)期中)某校高三文科分為五個(gè)班．高三數(shù)學(xué)測(cè)試后，隨機(jī)地在各班抽取部分同學(xué)進(jìn)行成果統(tǒng)計(jì)，各班被抽取的同學(xué)人數(shù)恰好成等差數(shù)列，人數(shù)最少的班被抽取了18人．抽取出來(lái)的全部同學(xué)的測(cè)試成果統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05，此分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人．(1)問(wèn)各班被抽取的同學(xué)人數(shù)各為多少人？(2)在抽取的全部同學(xué)中，任取一名同學(xué)，求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率．[解析](1)由頻率分布條形圖知，抽取的同學(xué)總數(shù)為eq\f(5,0.05)＝100人．∵各班被抽取的同學(xué)人數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由5×18＋10d＝100，解得d＝1.∴各班被抽取的同學(xué)人數(shù)分別是18人，19人，20人，21人，22人．(2)在抽取的同學(xué)中，任取一名同學(xué)，則分?jǐn)?shù)不小于90分的頻率為0.35＋0.25＋0.1＋0.05＝0.75.用頻率作為概率的估量值知所求概率約為0.75.(理)(2021·洛陽(yáng)市期中)某旅行社為3個(gè)旅游團(tuán)供應(yīng)甲、乙、丙、丁共4條旅游線路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條．(1)求恰有2條線路沒(méi)有被選擇的概率；(2)設(shè)選擇甲旅行線路的旅游團(tuán)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)恰有2條線路沒(méi)有被選擇的概率為P＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3)A\o\al(2,2),43)＝eq\f(9,16).(2)ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,43)＝eq\f(1,64).所以ξ的分布列為：ξ0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)所以E(ξ)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).21．(本小題滿分12分)(文)(2021·韶關(guān)市十校聯(lián)考)對(duì)某校全體老師在教學(xué)中是否經(jīng)常使用信息技術(shù)實(shí)施教學(xué)的狀況進(jìn)行了調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：老師年齡5年以下5年至10年10年至20年20年以上老師人數(shù)8103018經(jīng)常使用信息技術(shù)實(shí)施教學(xué)的人數(shù)24104(1)求該校老師在教學(xué)中不經(jīng)常使用信息技術(shù)實(shí)施教學(xué)的概率．(2)在教齡10年以下，且經(jīng)常使用信息技術(shù)教學(xué)的老師中任選2人，其中恰有一人教齡在5年以下的概率是多少？[解析](1)該校老師總?cè)藬?shù)為66人，其中經(jīng)常使用信息技術(shù)教學(xué)的老師有20人，不經(jīng)常使用信息技術(shù)實(shí)施教學(xué)的有46人，所以該校老師在教學(xué)中不經(jīng)常使用信息技術(shù)實(shí)施教學(xué)的概率P＝eq\f(46,66)＝eq\f(23,33).(2)在教齡10年以下且經(jīng)常使用信息技術(shù)教學(xué)的老師中，教齡在5年以下的有2人分別記為A1，A2；教齡5年至10年的有4人分別記為B1，B2，B3，B4，從這6人中任選2人的狀況有：(A1A2)，(A1B1)，(A1B2)，(A1B3)，(A1B4)，(A2B1)，(A2B2)，(A2B3)，(A2B4)，(B1B2)，(B1B3)，(B1B4)，(B2B3)，(B2B4)，(B3B4)，共15種設(shè)其中恰有一人教齡在5年以下為大事A，則大事A包含的基本大事有8種．所以P(A)＝eq\f(8,15).答：在教齡10年以下，且經(jīng)常使用信息技術(shù)教學(xué)的老師中任選2人，其中恰有一人教齡在5年以下的概率是eq\f(8,15).(理)(2021·豫南九校聯(lián)考)某市為“市中同學(xué)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽”進(jìn)行選拔性測(cè)試，且規(guī)定：成果大于或等于90分的有參賽資格，90分以下(不包括90分)的則被淘汰．現(xiàn)有500名同學(xué)參與測(cè)試，參與測(cè)試的同學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求獲得參賽資格的同學(xué)人數(shù)，并且依據(jù)頻率分布直方圖，估算這500名同學(xué)測(cè)試的平均成果；(2)若學(xué)問(wèn)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止答題，答對(duì)3題者方可參與復(fù)賽．已知同學(xué)甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率都相同，并且相互之間沒(méi)有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為eq\f(1,9)，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[解析](1)由頻率分布直方圖得，獲得參賽資格的人數(shù)為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．設(shè)500名同學(xué)的平均成果為eq\o(x,\s\up6(－))，則eq\o(x,\s\up6(－))＝(40×0.0065＋60×0.0140＋80×0.0170＋100×0.0050＋120×0.0043＋140×0.0032)×20＝78.48分．(2)設(shè)同學(xué)甲答對(duì)每道題的概率為P(A)，則(1－P(A))2＝eq\f(1,9)，∴P(A)＝eq\f(2,3).同學(xué)甲答題個(gè)數(shù)ξ的可能值為3,4,5，則P(ξ＝3)＝(eq\f(2,3))3＋(eq\f(1,3))3，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))(eq\f(2,3))3＋Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,3))(eq\f(1,3))3＝eq\f(10,27)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))2＝eq\f(8,27).所以ξ的分布列為ξ345Peq\f(1,3)eq\f(10,27)eq\f(8,27)Eξ＝eq\f(1,3)×3＋eq\f(10,27)×4＋eq\f(8,27)×5＝eq\f(107,27).22．(本小題滿分14分)(文)某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類(lèi)