【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.3-典型例題剖析：等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和

等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、學(xué)問導(dǎo)學(xué)1.等比數(shù)列：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第２項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2.等比中項(xiàng)：若ａ，Ｇ，ｂ成等比數(shù)列，則稱Ｇ為ａ和ｂ的等比中項(xiàng)．3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：二、疑難學(xué)問導(dǎo)析1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不為0.2.對(duì)于公比q，要留意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.3.“從第2項(xiàng)起”是由于首項(xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)留意假如一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說此數(shù)列從.第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).6.等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=a1qn-1可改寫為.當(dāng)q>0，且q1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛an｝的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).7．在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知，a1，an，d，，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（）。A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列錯(cuò)解：（常數(shù)）為等比數(shù)列，即B。錯(cuò)因：忽視了中隱含條件n＞1.正解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1=S1＝aq;當(dāng)n>1時(shí)，（常數(shù)）但既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。[例2]已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于.錯(cuò)解：S30=S10·q2.q2＝7，q＝，S40=S30·q=.錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比數(shù)列誤會(huì)為Sm,S2m,S3m成等比數(shù)列.正解：由題意：得，S40=.[例3]求和：a+a2+a3+…+an.錯(cuò)解：a+a2+a3+…+an＝.錯(cuò)因：是（1）數(shù)列｛an｝不愿定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（2）用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)爭(zhēng)辯q是否等于1.正解：當(dāng)a＝0時(shí)，a+a2+a3+…+an＝0;當(dāng)a＝1時(shí)，a+a2+a3+…+an＝n;當(dāng)a1時(shí)，a+a2+a3+…+an＝.[例4]設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，，求證：成等比數(shù)列且公比為。證明：證法一：關(guān)于的二次方程有實(shí)根，∴，∴則必有：，即，∴非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)公比為，則，代入∵，即，即。證法二：∵∴∴，∴，且∵非零，∴。[例5]在等比數(shù)列中，，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。解：∵，∴前七項(xiàng)之積[例6]求數(shù)列前n項(xiàng)和解：①②兩式相減：[例7]從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水，問：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg？(2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{an}，則：a1=0.2（kg）,a2=×0.2（kg）,a3=()2×0.2（kg）由此可見：an=()n1×0.2（kg）,a5=()51×0.2=()4×0.2=0.0125（kg）。(2)由(1)得{an}是等比數(shù)列a1=0.2,q=答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a1=2,a3=8a1=5,且2an+1=3ana1=5,且2.在等比數(shù)列，已知，，求.3.已知無窮數(shù)列，求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的，（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。4.設(shè)數(shù)列為求