備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第十二章-§12-5-概率與統(tǒng)計的綜合問題

第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布§12.5

概率與統(tǒng)計

的綜合問題例1

2022年是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示.(1)試估計這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；題型一頻率分布直方圖與分布列的綜合問題估計這100名學(xué)生得分的平均數(shù)為10×(45×0.010＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.015＋95×0.010)＝70.5.(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[90,100]的人數(shù)為ξ，試求ξ的分布列和均值；從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，其中得分在[90,100]的人數(shù)為若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[90,100]的人數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0,1,2.則ξ的分布列為(3)以樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識競賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算s2＝42.25.現(xiàn)從所有參加知識競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取500人，若這500名學(xué)生的得分相互獨立，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.由題意知，μ＝70.5，σ2＝s2＝42.25，σ＝6.5.所以這500名學(xué)生得分高于77分的人數(shù)最有可能為0.15865×500≈79.高考常將頻率分布直方圖與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解題時要正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計算出各組數(shù)據(jù).概率問題以計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2023·濟(jì)南模擬)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)

(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(2)已知某用戶從該企業(yè)購買了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于[35,45]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率估計概率，求X的分布列.因為購買一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于[35,45]內(nèi)的概率為0.2，所以X～B(3,0.2)，因為X的所有可能取值為0,1,2,3，所以P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，P(X＝3)＝0.23＝0.008，所以X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.008題型二回歸模型與分布列的綜合問題例2

(2023·德州模擬)工信部發(fā)布的《“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》中明確提出建立“百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特新”“小巨人”“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細(xì)化、特色化、新穎化優(yōu)勢的中小企業(yè).下表是某地2017－2021年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量(y)817292442(1)請根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量(y)817292442(2)若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個為“專精特新”企業(yè)，3個為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個企業(yè)中隨機(jī)抽取3個，用X表示抽取的3個企業(yè)中為“專精特新”企業(yè)的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與均值.由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3，所以X的分布列為高考常將回歸模型與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，求線性回歸方程時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運算.求解概率問題時要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2023·成都模擬)2022年，中國新能源汽車銷售火爆，A省相關(guān)部門調(diào)查了該省2022年1月份至10月份的新能源汽車銷量情況，得到一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，其中xi表示第i個月，yi表示第i個月A省新能源汽車的銷量(單位：萬輛)，由樣本數(shù)據(jù)的散點圖可知，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，并將這10個月的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到右面一些統(tǒng)計量的值：(1)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計A省12月份新能源汽車的銷量；(2)為鼓勵新能源汽車銷售商積極參與調(diào)查，A省汽車行業(yè)協(xié)會針對新能源汽車銷售商開展抽獎活動，所有費用由某新能源汽車廠商贊助.共設(shè)一、二、三等獎三個獎項，其中一、二、三等獎分別獎勵2萬元、1萬元、5千元，抽中一、二、三等獎的概率分別為

現(xiàn)有甲、乙兩家汽車銷售商參加了抽獎活動，假設(shè)他們是否中獎相互獨立，求這兩家汽車銷售商所獲獎金總額X(單位：萬元)的分布列及均值.這兩家汽車銷售商所獲得的獎金總額X的所有可能取值為4,3,2.5,2,1.5,1，則X的分布列為獨立性檢驗與分布列的綜合問題例3

(2023·濱州模擬)新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機(jī)之外的所有其他能源汽車，有利于減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某車企隨機(jī)調(diào)查了3月份購買本車企生產(chǎn)汽車的100位車主，題型三(1)根據(jù)獨立性檢驗，判斷是否有95%的把握認(rèn)為購車種類與性別有關(guān)；性別購車種類總計購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車男性501060女性251540總計7525100經(jīng)統(tǒng)計其購車種類與性別情況如表所示(單位：人).所以有95%的把握認(rèn)為購車種類與性別有關(guān).(2)用樣本估計總體，用本車企售出汽車樣本的頻率代替售出汽車的概率，從該車企3月份售出的汽車中，隨機(jī)抽取3輛汽車，設(shè)被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的輛數(shù)為X，求X的分布列及均值.P(K2≥k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828隨機(jī)抽取1輛汽車屬于傳統(tǒng)燃油汽車的概率為

，設(shè)被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的輛數(shù)為X，則X的所有可能取值為0,1,2,3，所以X的分布列為高考常將獨立性檢驗與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解決獨立性檢驗問題，要注意過好“三關(guān)”：假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對比關(guān).解決概率問題要準(zhǔn)確地把握題中所涉及的事件，明確所求問題所屬的事件類型.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2023·昆明模擬)2022年，舉世矚目的冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有著可愛的外表和豐富的寓意，自亮相以來就好評不斷，深受各國人民的喜愛.某市一媒體就本市小學(xué)生是否喜愛這兩種吉祥物對他們進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，列聯(lián)表如下(單位：人)：性別是否喜愛總計喜愛不喜愛男生302050女生401050總計7030100(1)根據(jù)獨立性檢驗，推斷是否有99%的把握認(rèn)為喜愛吉祥物與性別有關(guān)；所以沒有99%的把握認(rèn)為喜愛吉祥物與性別有關(guān).性別是否喜愛總計喜愛不喜愛男生302050女生401050總計7030100(2)現(xiàn)從樣本的男生中采用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中有X人喜愛吉祥物，求X的分布列和均值.P(K2≥k0)0.10.050.01k02.7063.8416.635由題意得，采用分層抽樣方法抽取出的5人中，有3人喜愛吉祥物，有2人不喜愛吉祥物，則X的可能取值為1,2,3，所以X的分布列為課時精練基礎(chǔ)保分練1.(2023·大理模擬)第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在中國北京開幕，簡稱“北京冬奧會”.某媒體通過網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)采訪了某市100名關(guān)注“北京冬奧會”的市民，并將其年齡數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個年齡段的人數(shù)依次成等差數(shù)列，求a，b的值；123456123456解得a＝0.035，b＝0.025.(2)該媒體將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高關(guān)注人群，其他年齡段的人群定義為次高關(guān)注人群，為了進(jìn)一步了解其關(guān)注項目.現(xiàn)按“關(guān)注度的高低”采用分層抽樣的方式從參與采訪的100位關(guān)注者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行電視訪談，求此3人中來自高關(guān)注人群的人數(shù)X的分布列與均值.123456123456利用分層抽樣的方式從樣本中抽取10人，易知其中屬于高關(guān)注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，則屬于次高關(guān)注人群的有4人，則X的所有可能取值為3,2,1,0，123456所以X的分布列為2.(2022·衡陽模擬)某市某部門為了了解全市中學(xué)生的視力情況，采用分層抽樣的方法抽取了該市120名中學(xué)生，已知該市中學(xué)生男女人數(shù)比例為7∶5，他們的視力情況統(tǒng)計結(jié)果如表所示：123456性別視力情況總計近視不近視男生30

女生

40

總計

120123456性別視力情況總計近視不近視男生30

女生

40

總計

120(1)請把表格補(bǔ)充完整，判斷是否有99%的把握認(rèn)為近視與性別有關(guān)；123456∵該市中學(xué)生男女人數(shù)比例為7∶5，∴抽取的120名學(xué)生中男生有70人，女生有50人，2×2列聯(lián)表如下：性別視力情況總計近視不近視男生304070女生104050總計4080120123456根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，∴有99%的把握認(rèn)為近視與性別有關(guān).(2)如果用這120名中學(xué)生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學(xué)生中男生和女生近視的概率，且每名同學(xué)是否近視相互獨立.現(xiàn)從該市中學(xué)生中任選4人，設(shè)隨機(jī)變量X表示4人中近視的人數(shù)，求X的分布列及均值.123456P(K2≥k0)0.10.050.01k02.7063.8416.635123456∵用這120名中學(xué)生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學(xué)生中男生和女生近視的概率，由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，123456∴X的分布列為3.隨著生活水平的不斷提高，人們越來越注重養(yǎng)生.科學(xué)健身有利于降低脂肪含量，健身器材成為人們的新寵.某小區(qū)物業(yè)決定選購一款健身器材，物業(yè)管理員從該品牌的銷售網(wǎng)站了解到此款健身器材近五個月的實際銷量如表所示：123456月份7月8月9月10月11月月份編號t12345銷量y(萬臺)0.50.611.41.7(1)求出銷量y關(guān)于月份編號t的線性回歸方程，并預(yù)測12月份該品牌此款健身器材的銷量；123456123456123456故可預(yù)測12月份該品牌此款健身器材銷量為2萬臺.(2)該品牌銷售商為了促銷，采取“摸球定價格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號為1,2,3的三個完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號的享受七折優(yōu)惠，三次僅有兩次摸到相同編號的享受八折優(yōu)惠，其余均九折優(yōu)惠.已知此款健身器材一臺標(biāo)價為10000元，設(shè)物業(yè)公司購買此款健身器材的價格為X，求X的分布列與均值.123456123456公司購買此款健身器材的價格X的所有可能取值為7000，8000，9000，其分布列為1234564.2022年3月，“兩會”在北京召開，會議吸引了全球的目光，對我國以后的社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展有深刻的歷史意義，某媒體為調(diào)查本市市民對“兩會”的了解情況，進(jìn)行了一次“兩會”知識問卷調(diào)查(每位市民只能參加一次)，隨機(jī)抽取年齡在15～75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年齡落在區(qū)間[15,35)和[35,75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”.123456(1)若“青少年人”中有15人在關(guān)注“兩會”，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為關(guān)注“兩會”與年齡有關(guān)；年齡是否關(guān)注總計關(guān)注不關(guān)注青少年人15

中老年人

總計5050100123456依題意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，“中老年人”共有100－45＝55(人)，2×2列聯(lián)表如下：年齡是否關(guān)注總計關(guān)注不關(guān)注青少年人153045中老年人352055總計5050100123456結(jié)合列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得所以有99%的把握認(rèn)為關(guān)注“兩會”與年齡有關(guān).123456(2)由(1)中結(jié)果，采用分層抽樣的方法從“青少年人”關(guān)注“兩會”和不關(guān)注“兩會”的人中抽取6人，再從這6人中選3人進(jìn)行專訪，設(shè)這3人中關(guān)注“兩會”的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.P(K2≥k0)0.050.010.001k03.8416.63510.828123456依題意可知，樣本中青少年人關(guān)注“兩會”的有15人，不關(guān)注“兩會”的有30人，采用分層抽樣的方法抽取6人，則關(guān)注“兩會”的抽取2人，不關(guān)注“兩會”的抽取4人，則X的所有可能取值為0,1,2，123456故隨機(jī)變量X的分布列為5.(2023·南平模擬)某學(xué)校共有3000名學(xué)生，其中男生1800人，為了解該校學(xué)生在校的月消費情況，采取分層抽樣的方式抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，先統(tǒng)計他們某月的消費金額，然后按“男生、女生”分成兩組，再分別將兩組學(xué)生的月消費金額(單位：元)分成5組：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.123456綜合提升練(1)樣本中將月消費金額不低于600元的學(xué)生稱為“高消費群”.請你根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表，分析是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費群”與性別有關(guān)；123456性別是否屬于“高消費群”總計屬于不屬于男生

女生

總計

123456P(K2≥k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828123456由題意及頻率分布直方圖可得，性別是否屬于“高消費群”總計屬于不屬于男生154560女生202040總計3565100123456所以有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費群”與性別有關(guān).(2)以樣本估計總體，將調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該學(xué)校中每次隨機(jī)抽取1名學(xué)生，共抽取4次，且每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，記被抽取的4名學(xué)生中屬于“高消費群”的人數(shù)為X，求X的均值E(X)和方差D(X).1234561234561234566.(2023·成都