【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)-浙江專(zhuān)用-課時(shí)作業(yè)-第八章-解析幾何-7-

第7講拋物線基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2021·合肥質(zhì)量檢測(cè))拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))解析拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).答案D2．(2022·西寧復(fù)習(xí)檢測(cè))已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2，故選A.答案A3．點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2解析分兩類(lèi)a>0，a<0可得y＝eq\f(1,12)x2，y＝－eq\f(1,36)x2.答案D4．(2021·福建質(zhì)量檢查)已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(2)，一條漸近線為l，拋物線C2：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為直線l與拋物線C2異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，則|PF|＝()A．2B．3C．4D．5解析依題意，不妨設(shè)直線l：y＝x，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝4x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))此時(shí)點(diǎn)P(4,4)，|PF|＝4＋1＝5，故選D.答案D5．(2022·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()A.eq\f(\r(30),3)B．6C．12D．7eq\r(3)解析焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直線AB的斜率為eq\f(\r(3),3)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq\f(1,3)x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(3,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21,2)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，故選C.答案C二、填空題6．(2021·北京西城區(qū)模擬)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M為拋物線C上一點(diǎn)，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則|MF|＝________.解析由拋物線的定義可知|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝2＋1＝3.答案37．(2022·臺(tái)州高三模擬)若拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線x2－y2＝1的左頂點(diǎn)，則p＝________.解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，雙曲線x2－y2＝1的左頂點(diǎn)為(－1,0)，所以－eq\f(p,2)＝－1，p＝2.答案28．(2022·銀川質(zhì)量檢測(cè))已知一條過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_(kāi)_______．解析依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，兩式相減得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝2(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝0三、解答題9.如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長(zhǎng)分別為1和8，求拋物線的方程．解設(shè)直線OA的方程為y＝kx，k≠0，則直線OB的方程為y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px，))得x＝0或x＝eq\f(2p,k2).∴A點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4p2\f(k2＋1,k4)＝1，①,4p2k2k2＋1＝64，②))②÷①解方程組得k6＝64，即k2＝4.則p2＝eq\f(16,k2k2＋1)＝eq\f(4,5).又p>0，則p＝eq\f(2\r(5),5)，故所求拋物線方程為y2＝eq\f(4\r(5),5)x.10．設(shè)拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)設(shè)l的斜率為1，求|AB|；(2)求證：eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))是一個(gè)定值．(1)解∵由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，∴直線l的方程為y＝x－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直線l過(guò)焦點(diǎn)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)證明設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x，))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))是一個(gè)定值．力量提升題組(建議用時(shí)：35分鐘)11．(2021·太原模擬)已知P是拋物線y2＝2x上動(dòng)點(diǎn)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A．4B.eq\f(9,2)C．5D.eq\f(11,2)解析由于點(diǎn)P在拋物線上，所以d1＝|PF|－eq\f(1,2)(其中點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn))，則d1＋d2＝|PF|＋|PA|－eq\f(1,2)≥|AF|－eq\f(1,2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－\f(1,2)))2＋42)－eq\f(1,2)＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AF與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故選B.答案B12．(2022·四川卷)已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是()A．2B．3C.eq\f(17\r(2),8)D.eq\r(10)解析如圖，可設(shè)A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，則eq\o(OA,\s\up8(→))＝(m2，m)，Oeq\o(B,\s\up8(→))＝(n2，n)，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴l(xiāng)AB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×2×m＋eq\f(1,2)×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×m＝eq\f(1,8)m，則S△AOB＋S△AOF＝m－n＋eq\f(1,8)m＝eq\f(9,8)m－n＝eq\f(9,8)m＋eq\f(2,m)≥2eq\r(\f(9,8)m·\f(2,m))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(9,8)m＝eq\f(2,m)，即m＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立．故△ABO與△AFO面積之和的最小值為3.答案B13．(2022·湖南卷)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________．解析設(shè)機(jī)器人為A(x，y)，依題意得點(diǎn)A在以F(1,0)為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線上，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.過(guò)點(diǎn)P(－1,0)，斜率為k的直線為y＝k(x＋1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋k，))得ky2－4y＋4k＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，明顯不符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，依題意得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，化簡(jiǎn)得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，因此k的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)14．(2021·福建卷)如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑．解(1)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d＝2，又|CO|＝eq\r(5)，所以|MN|＝2eq\r(|CO|2－d2)＝2eq\r(5－4)＝2.(2)設(shè)C(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，則圓C的方程為(x－eq\f(y\o\al(2,0),4))2＋(y－y0)2＝eq\f(y\o\al(4,0),16)＋yeq\o\al(2,0)，即x2－eq\f(y\o\al(2,0),2)x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝0，設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4y\o\al(2,0)－41＋\f(y\o\al(2,0),2)＝2y\o\al(2,0)－4>0，,y1y2＝\f(y\o\al(2,0),2)＋1.))由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以eq\f(y\o\al(2,0),2)＋1＝4，解得y0＝±eq\r(6)，此時(shí)Δ>0.所以圓心C的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\r(6))或(eq\f(3,2)，－eq\r(6))，從而|CO|2＝eq\f(33,4)，|CO|＝eq\f(\r(33),2)，即圓C的半徑為eq\f(\r(33),2).15．設(shè)點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線y＝－eq\f(3,2)相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.(1)求曲線W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作相互垂直的直線l1，l2分別交曲線W于A，B和C，D.求四邊形ACBD面積的最小值．解(1)過(guò)點(diǎn)P作PN垂直于直線y＝－eq\f(3,2)于點(diǎn)N，依題意得|PF|＝|PN|，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))為焦點(diǎn)，直線y＝－eq\f(3,2)為準(zhǔn)線的拋物線，即曲線W的方程是x2＝6y.(2)如圖所示，依題意，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設(shè)直線l1的方程為y＝kx＋eq\f(3,2)，由l1⊥l2得l2的方程為y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(3,2).將y＝kx＋eq\f(3,2)代入x2＝6y，化簡(jiǎn)得x2－6kx－9＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6k，x1x2＝－9，∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝6(k2＋1)．同理可得|CD|＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))，∴四邊形ACBD的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·|CD|＝18(k2＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))＝18eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)＋2))≥72.當(dāng)且僅當(dāng)k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1時(shí)，Smin＝72，故四邊形ACBD面積的最小值是72.16．(2022·臺(tái)州質(zhì)量評(píng)估)已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K(0，－1)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D.(1)證明：點(diǎn)F在直線BD上；(2)設(shè)eq\o(FA,\s\up8(→))·eq\o(FB,\s\up8(→))＝eq\f(8,9)，求∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l的方程為y＝kx－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs